19-20版第2章2.22.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義

1、2.2 平面向量的線性運(yùn)算2.2.1 向量加法運(yùn)算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解并掌握向量加法的概念， 了解 向量加法的幾何意義及運(yùn)算律 （難 點(diǎn)）2.掌握向量加法運(yùn)算法則， 能熟練地 進(jìn)行向量加法運(yùn)算 （重點(diǎn) ） 3.能區(qū)分?jǐn)?shù)的加法與向量的加法的 聯(lián)系與區(qū)別 （易混點(diǎn) ）1.教材從幾何角度給出向量加法的三角 形法則和平行四邊形法則， 結(jié)合了對(duì)應(yīng)的 物理模型，提升了學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué) 建模的核心素養(yǎng) .2.對(duì)比數(shù)的加法， 給出了向量的加法運(yùn)算 律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng) .1向量加法的定義 定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法對(duì)于零向量與任一向量 a，規(guī)定 0aa0 a2向量

2、求和的法則三角形法則已知非零向量 a，b，在 則向量AC叫做 a與b的平面內(nèi)任取一點(diǎn) 和，記作 ab，A，作ABa，BCb， 即 a b AB BC AC.平行四 邊形法 則已知兩個(gè)不共線向量 a鄰邊作 ?ABCD，b，作 AB a，則對(duì)角線上的AD b，以AB，AD為 向量 AC a b.思考： 兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加嗎？提示 不是，向量的相加滿足三角形法則 ，而模相加是數(shù)量的加法3向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：(2)結(jié)合律：abba(ab) ca(bc)1下列各式不一定成立的是 ()CACCBABAab baB0aaD|ab|a|b|D A ，B，C項(xiàng)滿足運(yùn)算律 ，而D 項(xiàng)向量和

3、的模不一定與向量模的和相等 滿足三角形法則 2.CBADBA等于 ()ADBBCACCDDDCCBADBACBBAADCD.3如圖，在平行四邊形 ABCD 中， DADCDB 由平行四邊形法則可知 DA DCDB.4小船以 10 3 km/h 的速度按垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為 10 km/h，則小船實(shí)際航行速度的大小為km/h.20 根據(jù)平行四邊形法則 ， 因?yàn)樗鞣较蚺c船速方向垂直 ，所以小船實(shí)際 速度大小為 (10 3) 210220(km/h)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則探究問(wèn)題 1求作兩個(gè)向量和的法則有哪些？這些法則的物理模型是什么？ 提示 ：(1)平行四邊形法則

4、 ，對(duì)應(yīng)的物理模型是力的合成等(2)三角形法則 ，對(duì)應(yīng)的物理模型是位移的合成等2設(shè) A1，A2，A3， An(nN，且 n3)是平面內(nèi)的點(diǎn) ，則一般情況下 ， A1A2A2A3A3A4An1An的運(yùn)算結(jié)果是什么？提示 ：將三角形法則進(jìn)行推廣可知 A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.【例 1】 (1)如圖，在ABC中，D，E分別是 AB，AC上的點(diǎn)， F 為線段 DE 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， DEBC，ABCF，連接 CD，那么 (在橫線上只填上一個(gè)向 量)： ABDF ADFC ADBCFC(2)如圖甲所示，求作向量和 ab；如圖乙所示，求作向量和 ab c.甲乙， 并進(jìn)行代換 ，思路點(diǎn)撥：

5、(1)先由平行四邊形的性質(zhì)得到有關(guān)的相等向量 然后用三角形法則化簡(jiǎn)(2)用三角形法則或平行四邊形法則畫(huà)圖(1) AC AB AC 如題圖，由已知得四邊形 DFCB 為平行四邊形 ， 由向量加法的運(yùn)算法則可知： ABDFABBCAC. ADFCADDBAB.ADBCFCADDFFCAC.(2)解 首先作向量 OAa，然后作向量 ABb，則向量 OB a b.如圖所 示法一(三角形法則 )：如圖所示 ，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn) O，作向量OAa，再作向量 AB b， 則得向量 OBa b，然后作向量 BC c，則向量 OC (a b) cabc 即為所求法二(平行四邊形法則 )：如圖所示，首先在平面內(nèi)

6、任取一點(diǎn) O，作向量 OA a，OBb，OCc，以 OA，OB為鄰邊作?OADB，連接 OD，則ODOAOB ab.再以 OD，OC 為鄰邊作?ODEC，連接 OE，則OEODOCabc 即 為所求1在本例(1)條件下，求 CBCF.解 因?yàn)?BCDF ，BDCF，所以四邊形 BCFD 是平行四邊形 ，所以CB CF CD.2在本例 (1)圖形中求作向量 DA DF CF. 解 過(guò)A作AGDF交 CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G，則DADFDG，作GHCF，連接DH，則DHDADFCF，如圖所示1向量求和的注意點(diǎn)(1)三角形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)也適用(2)兩個(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量(3)平行四邊形法則

7、對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)不適用2利用三角形法則時(shí) ，要注意兩向量 “首尾順次相連 ”， 其和向量為 “起 點(diǎn)指向終點(diǎn) ”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量 “共起點(diǎn) ”，其和向量 為共起點(diǎn)的 “對(duì)角線 ”向量提醒 ：(1)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí) ，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 是統(tǒng)一的； (2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用【例 2】 (1)化簡(jiǎn)：BCAB；DBCDBC； ABDFCDBCFA.(2)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形 ABCD的邊 AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)， 化簡(jiǎn)下列各式：DGEACB；EGCGDAEB. 思路點(diǎn)撥：根據(jù)向量加法的交

8、換律使各向量首尾連接 ，再運(yùn)用向量的結(jié)合律 調(diào)整向量順序后相加解 (1)BCABABBCAC；DBCDBCBCCDDB0；ABDFCDBCFAABBCCDDFFA0.(2) DGEA CBGCBECBGCCBBEGBBEGE；EGCGDAEBEGGDDAAEEDDAAEEAAE0.向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù) ，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法 則運(yùn)算的目的實(shí)際上 ，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律 ，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以 按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行(2)應(yīng)用原則：1利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律 ，使各向量 “首尾相連 ”，通過(guò)向量加

9、 法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序向量(ABPB)(BOBM)OP化簡(jiǎn)后等于 ()ABCBABCACDAM原式 (ABBM)(PBBOOP)AM0AM.向量加法的實(shí)際應(yīng)用例 3】 如圖，用兩根繩子把重 10 N 的物體 W 吊在水平桿子 AB 上，ACW150°， BCW120°，求A和B處所受力的大小 （繩子的重量忽略不計(jì) ）思路點(diǎn)撥：作出對(duì)應(yīng)的幾何 圖形 ，構(gòu)造有關(guān) 向量 回答實(shí)際問(wèn)題解 如圖所示 ，設(shè)CE，示，則CECFCG.利用三角形法則或 平行四邊形法則運(yùn)算CF分別表示 A，B所受的力，10 N 的重力用 CG表易得ECG180°150°FCG18

10、0°120°60°.|CE|CG| ·cos 30 °10×235 3，|CF|CG| ·cos 60 °10×125.A處所受的力的大小為 5 3 N，B 處所受的力的大小為 5 N.利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟2在某地抗震救災(zāi)中，一架飛機(jī)從 A地按北偏東 35°的方向飛行 800 km到 達(dá) B 地接到受傷人員，然后又從 B 地按南偏東 55°的方向飛行 800 km 送往 C 地 醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和解 設(shè)AB，BC分別表示飛機(jī)從 A地按北偏東 35

11、°的方向飛行 800 km，從 B 地按南偏東 55°的方向飛行 800 km，則飛機(jī)飛行的路程指的是 |AB| |BC|； 兩次飛行的位移的和是 ABBCAC.依題意，有|AB|BC|8008001 600(km)，又 35°， 55°， ABC35°55°90°，所以 |AC| |AB|2|BC|2 80028002800 2(km)其中 BAC45°，所以方向?yàn)楸逼珫| 35°45°80°.從而飛機(jī)飛行的路程是 1 600 km， 兩次飛行的位移和的大小為 800 2 km， 方向

12、為北偏東 80°.1三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng) 一的，當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)，常選用三角形法則；當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，常選 用平行四邊形法則2向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照 任意的次序和任意的組合去進(jìn)行3使用向量加法的三角形法則時(shí)要特別注意“首尾相接”和向量的特征 是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn) 向量相加的結(jié)果是向量， 如果結(jié) 果是 零向量，一定要寫(xiě)成 0，而不應(yīng)寫(xiě)成 0.1下列判斷正確的是 ()A任意兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量B兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加C任意兩個(gè)向量的和向量不可能與這兩個(gè)向量共線

13、D|a|b|>|ab|A 任意兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量 ，根據(jù)向量加法的幾何意義知 B，C，D 均錯(cuò)誤 2對(duì)于任意一個(gè)四邊形ABCD，下列式子不能化簡(jiǎn)為 BC的是 ()ABAADDCBBDDAACCABBDDCDDCBAAD在 A 中，BAADDCBDDCBC；在 B 中，BDDAACBAACBC；在 C 中，ABBDDCADDCAC；在 D 中，DCBAADDC BD BDDCBC.3若 a 表示“向東走 8 km”，b 表示“向北走 8 km”，則|a b| ab 的方向是8 2 km 東北方向如圖所示 ，作 OAa， ABb，則 abOA ABOB.所以|a b|OB| 82 82

14、8 2(km)，因?yàn)锳OB 45°，所以 ab 的方向是東北方向 4如圖所示，設(shè) O 為正六邊形 ABCDEF 的中心，求下列向量：(1)OAOC；(2)BCFE.解 (1)由題圖可知 ，四邊形 OABC為平行四邊形 由向量加法的平行四邊 形法則 ，得OAOCOB.(2)由題圖可知 ， BCFEODAO，BCFEAOODAD.課時(shí)分層作業(yè) (十五 )(建議用時(shí)： 45 分鐘)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練 一、選擇題1下列等式不正確的是 ()a(bc)(ac)b；ABBA0； ACDCABBD.ABCDB 錯(cuò)誤，ABBA0，正確 2已知向量 ab，且|a|>|b|>0，則向量 ab 的方向(

15、)A與向量 a 方向相同B與向量 a 方向相反C與向量 b 方向相同D與向量 b 方向相反A 因?yàn)?ab，且|a|>|b|>0，由三角形法則知向量 ab與 a 同向3若向量 a 表示“向東航行 1 km”，向量 b 表示“向北航行 3km”，則 向量 ab 表示 ()A向東北方向航行 2 kmB向北偏東 30°方向航行 2 kmC向北偏東 60°方向航行 2 kmD向東北方向航行 (1 3)kmB ABa 表示“ 向東航行 1 km，km”， 根據(jù)三角形法則 ，ACab，tan A 3，A60°，且AC （ 3） 212 2，所以 a b 表示向北偏東

16、 30°方向航行 2 km.BOG4.如圖所示的方格中有定點(diǎn) O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則OPOQ （AOHCFODEOC 設(shè)aOPOQ，以O(shè)P，OQ為鄰邊作平行四邊形 （圖略），則夾在 OP， OQ之間的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量即為向量 aOPOQ，則 a與FO長(zhǎng)度相等 ，方向 相同 ，所以 aFO.5a，b 為非零向量，且 |ab|a| |b|，則（）Aab，且 a 與 b 方向相同Ba， b 是共線向量且方向相反CabDa，b 無(wú)論什么關(guān)系均可A 根據(jù)三角形法則可知 ，ab，且a與 b方向相同 二、填空題6設(shè) a0，b0 分別是 a，b 的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（填序號(hào)）a0

17、 b0； a0 b0； |a0| |b0| 2； a0b0. 單位向量不一定相等或相反 ，也不一定共線 ，但其模為 1，故只有 正 確7.如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AD AB，ADDC，ACBAAC AC BC（或AD） 利用三角形法則和平行四邊形法則求解 8.如圖所示，在正六邊形ABCDEF 中，若 AB1，則 |ABFE CD|等于2 正六邊形 ABCDEF 中，AB ED，CD AF， ABFECDEDFE AFAFFEEDAD， |AB|1，|AD|2.三、解答題9如圖所示，試用幾何法分別作出向量 BABC，CA CB.解 以 BA，BC 為鄰邊作 ?ABCE，根據(jù)平行四邊形法則 ，可知BE就是BA BC.以 CB，CA為鄰邊作 ?ACBF，根據(jù)平行四邊形法則 ，可知CF就是CACB.10如圖所示， P，Q是ABC的邊 BC上兩點(diǎn)，且BPCQ0.求證： APAQABAC.證明 APABBP，AQACCQ，APAQABACBPCQ. 又BPCQ0，APAQABAC.能力提升練 1若 a(ABCD)(BCDA)，b 是任一非零向量，則在下列結(jié)論中： ab；aba；abb；|ab|<