初中數(shù)學(xué)輔助線(xiàn)添加技巧：角平分線(xiàn)

1、初中數(shù)學(xué)輔助線(xiàn)添加技巧：角平分線(xiàn)方法總結(jié)與角平分線(xiàn)有關(guān)的常用輔助線(xiàn)作法，即角平分線(xiàn)的四大基本模型.已知P是3ON平分線(xiàn)上一點(diǎn)，(1) 若只4丄OM于點(diǎn)A，可以過(guò)P點(diǎn)作丄ON于點(diǎn)則PB = PA.可記為“圖中 有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)”.(2) 若點(diǎn)A是射線(xiàn)OM上任意一點(diǎn)，可以在ON上截取OB=OA,連接PB,構(gòu)造 AOPBAOPA,可記為“圖中有角平分線(xiàn)，可以將圖對(duì)折看，對(duì)折以后關(guān)系現(xiàn)“.(3) 若AP丄OP于點(diǎn)P,可以延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)構(gòu)造AAOB是等腰三角形，P是 底邊的中點(diǎn)，可記為“角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看“.(4) 若過(guò)P點(diǎn)作PQ / ON交0M于點(diǎn)Q,可以構(gòu)造厶戶(hù)。是等腰三角

2、形，可記為“角 平分線(xiàn)+平行線(xiàn)，等腰三角形必呈現(xiàn)(3)(4)典例精析例 1.如圖，在aABC 中，ZC = 90°, AD 平分ZCAB. BC=6cm, BD=4cm,那么點(diǎn) D到直線(xiàn)AB的距離是cm.(2) 如圖，已知Z1 = Z2Z3 = Z4.求證：AP平分ABAC.A解：(1) 2 (提示：作丄AB交AB于點(diǎn)H)(2)證明：過(guò)點(diǎn)P分別作PM丄初于PN1.BC于點(diǎn)N, P0丄/1C于點(diǎn)QQV Z1 = Z2> PM = PN Z3 = Z4, PQ = PN PQ = PMAP 平分 ZBAC.例2如圖1, RtA ABC中，ZAC£? = 90°,

3、 CD 丄 AB.垂足為 D 4F 平分 Z CAB.交CD于點(diǎn)F.(1) 求 iiE： CE = CF (2) 將圖(1)中bACD沿AB向右平移到 ADE的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其它條件不變，如圖2所示.試猜想.BE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.B圖1圖2解：(1)證明：VCD丄AB, ZADC = 90°I ZACB = 90° ZC4F + ZCFA = 90°, ADAE + ZAED = 90。VAF 平分 ZC4B, ZCAF = ZDAE ZCFA = ZAED = ZCEF A CE = CF (2)解：BE = CF 證明：過(guò)點(diǎn)E

4、作EG丄AC于點(diǎn)G又 TAF 平分 ZCAB9 ED 丄 AB,:.ED = EG由平移的性質(zhì)可知：D'E' = DE» DE = GE I ZACB = 90° , ZACE+ZDCB = 90。I CD 丄 AB 于 D、:.AB + ZDCB = 90。 ZACE = AB在 RtACEG 與 RtA BErDf 中, ZGCE = ZB.乙CGE = ABDE, EG = ED9,:.CE = BE 由(1)可知C£ = CF, CF = BE 點(diǎn)撥：以上兩例使用了輔助線(xiàn)方法(1)，“可向兩邊作垂線(xiàn)"，苴中例2還可以過(guò)點(diǎn)F 作AB

5、的垂線(xiàn).例3.讀下而的材料：如圖1所示，0P平分ZMON, A為0M上一點(diǎn)，C為0P上一點(diǎn).連接AC,在射線(xiàn)ON上截取OB=OA,連接BC,如圖2所示，易證AAOCABOC.根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：(1) 如圖3所示，在AABC中，AD是的外角平分線(xiàn)，P是AD上異于點(diǎn)A的 任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說(shuō)明理由.(2) 如圖4所示，AD是AABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，其它條件不變，試比較PC-PB與AC-AB 的大小并說(shuō)明理由.圖3圖4解：(1) PB + PC>AB + AC 證明：在的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AE=AC.連接PEABPDTAD是ABAC的外角平分線(xiàn)，乙CAP = E

6、AP 在ZVICP 和 A/1EP 中，AC = AE.ZCAP = ZE4R AP = AP,:.AACP/AEP.:.PC = PE 在ZBPE 中 PB+PE>BE,I BE = BA + AE = AB + AC, PB + PC>AB + AC （2） PC-PB<AC-AB 證明：在AC上取一點(diǎn)E,使A£ = M,連接PECAD 平分 ABAC, ZEAP = ZBAPV AE = AB,AP = AP f:.APE/XAPB.:.PE = PB 在AEPC 中，PC-PE<EC$ 即 PC-PB<AC-AE,:.PC-PB<AC-AB

7、 點(diǎn)撥：本例使用了輔助線(xiàn)方法（2）, “對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)例4如圖，已知等腰直角三角形ABC中，zA=90°, AB=AC. BD平分zjBC. CE丄BD,垂足為點(diǎn)&求證：BD=2CED -E解：證法一：延長(zhǎng)BA交CE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,A BE 丄 CF , ABEC = ZBEF J FBE = ZCBE.BE = BE,:.HBCFOHBFE CE = EF =CF2 ZFC4 + ZF = 90°.ZDBA + ZF = 90。作CA = MBA 又 V AC = AB. ZFAC = ZDAB = 90°,FCA 竺 ADBA A CF = BDV CF

8、 = 2CE、:.BD = 2CE證法二：過(guò)點(diǎn)D作DH !/BC交AB于H過(guò)點(diǎn)H作HF丄BD,垂足為點(diǎn)F ZAHD = ZABC = 45。.ZHDB = SBC = ZHBD,:.HB = HD.HF是BD的垂直平分線(xiàn).:.bf = Lbd2又AH=AD.AB = AC ,:.HB = DC ABHF = ZBDA = /CDE,A Rt ABFHRt A CED : BF = CE、CE =、BD,即 BD = 2CE 2證法三：作ZACB的平分線(xiàn)CF,交AB于點(diǎn)F.過(guò)點(diǎn)D作曲丄CF于點(diǎn)連接FDV ZABC = Z4CB , BD 平分 ZABC, CF 平分 ZACB,:HBFC 竺 H

9、CDB、:.BD = CF,BF = CD、AF = AD. ZAFD = ZABC = 45Q. FD/ BC FD/ BC 乙 DFC =乙 BCF = -ZACB = 22.5° 2 ZDFC = ZDCF ,:.DF = DC:.DH是CF的垂直平分線(xiàn)， HC = HF = -CF = -BD 2 2 AECD + ZCDE = 90ZABD + ZADB = 90o、ZCDE = ZADB :.ZECD = ZABD = 225。 ZECD = ZHCD.又 V ZDEC = ZHCD = 90°> DC 為公共邊，DCE 仝DCH :CE = CH = L

10、bD,即 BD = 2CE 2證法四：作BD的垂直平分線(xiàn)GH,交BC于連接DH,則BH = DH、ZHDG = ZHBGA ZABG = ZHBG ,: AHDG = ZABG ,從而 HD “ AB :.ZDHC = ZABC = 45。, ADHC = ZDCH : HD = CD,即 BH=CDX V ZECD + ZCDE = 90°. ZABD + ZADB = 90° , ZADB = ZCDE :在CD = ZABD、即 ZECD = ZGBH “CED 竺 RtABGH :CE = BG =丄 BD,即 BD = 2CE 證法五：作BC的中線(xiàn)AM.則AAZ丄

11、BC, AM平分ZBAC ,取CD的中點(diǎn)F,連接MF、ME,則 MF = LbD VME是RtABCE斜邊上的中線(xiàn),4琢如0心22.5。， ZCME = ZMEB + ZEBM = 45。， ZCME = ZMAF = 45。XV ZEC + ZCBE = 90°, ZADB + ZABD = 90° , ZCBE = ZABD, :.ZECB = ZADB MF H BD,:如FA = ZADB、即 ZWE4 = ZECB:.AAMFAMEC 、: MF = CE、即 CE = = BD，所以 BD = 2CE 點(diǎn)撥：本題是一個(gè)一題多解題，其中方法一體現(xiàn)了角平分線(xiàn)+垂線(xiàn)構(gòu)

12、造等腰三角形.由 于作輔助線(xiàn)的方法不同，此題還有苴它解法，可以自行研究.例5.(1)如圖1, 3D和CE分別是ABC的外角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作CD丄AD,CE丄BE,垂足分別為 D、E.求證：(1) DE/AB； (2) DE = 1(AB + BC + C4):(2) 如圖2, BD、CE分別是ZVIBC的內(nèi)角平分線(xiàn)，其它條件不變；(3) 如圖3, BD為ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，CE為ABC的外角平分線(xiàn)，其它條件不變.則在圖2、圖3兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與MC的三邊又有怎樣的數(shù)量 關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)岀你的猜測(cè)，并對(duì)其中的一種情況進(jìn)行證明.解：(1)證明：分別延長(zhǎng)AD, AE交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F .

13、G. AD 丄 BD， ZADB = ZFDB = 9(rT ZADB = "DB、BD = BL), ZSABDFBD I AB = FB、AD = FD 同理：AC = CG,AE = EG :.DE是AFG中位線(xiàn). DE H BC DE =、FG,2:.DE = FG = (BF + BC + CG) = (AB + AC + BC).(2) DE 與 BC 平行：DE = FG = AB + AC-BC).證明：延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)M,延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)N,由(1)同理可得，E是AM中點(diǎn)，D 是 AN 中點(diǎn)，AB = BN,AC = CM C DE/BC. DE = 1mN=J

14、bN + CM-BC) =丄(AB + AC-BC)2 2 2(3) DE與BC平行：m4(BC + AC A3),輔助線(xiàn)作法如下，證法同(2).點(diǎn)撥：本例常見(jiàn)輔助線(xiàn)方法（3）角平分線(xiàn)+垂線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形.舉一反三：1. 在/MBC中，AB = 3AC. ABAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D 過(guò)點(diǎn)B作3E丄AD于點(diǎn)E,求證：AD = DE.A例 6.如圖 1, AB = AC, BD. CD 分別平分 ZABC, ZACB.問(wèn)：<1）圖1中有幾個(gè)等腰三角形？（2）過(guò)D點(diǎn)、EF “ BC，如圖2,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,圖中又增加了幾個(gè)等腰 三角形？<3）如圖3,若將題中ZVIBC改為不

15、等邊三角形，苴他條件不變，圖中有幾個(gè)等腰三 角形？寫(xiě)出EF與BE、CF有什么關(guān)系？（4）如圖4, 平分ZABC, CD平分外角ZACG.交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)、F.線(xiàn)段EF與BE、CF有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.（5）如圖5BD、CE為外角ZCBM、ZBCN的平分線(xiàn)，DE/BC交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,直接寫(xiě)出線(xiàn)段EF與B© CF有什么關(guān)系？圖1圖2圖3AA圖5解：（1）圖1中有兩個(gè)等腰三角形：AABC. BCD.（2）圖2中又增加三個(gè)等腰三角形：ZSAEF、/BED、CTO（3）圖3中有兩個(gè)等腰三角形：MED、ACFD.由于 £D = BE、DF = CF,E

16、F = ED+FD = BE + CF ,所以 EF = BE + CF （4）圖4中有兩個(gè)等腰三角形： MED、ACFD.證明:TBD平分ZABC,:.ZABD = ZDBCI DE/BC. AEDB = ZDBC，:.ZABD = ZEDB， DE = DF EF = DE-DF, EF = BE-CF （5）EF = BE + CF,證法與同（3）點(diǎn)撥：本題利用的是角平分線(xiàn)+垂線(xiàn)，等腰三角形必呈現(xiàn).例 7如圖，已知ABC 中，AC = AB, ZC = 90Q.AD 平分ZCAB，求圧 AB = AC + CD.解：證法一：過(guò)點(diǎn)D作加丄于點(diǎn)EI CD 丄 ACCAD = AEAD.AD

17、= AD, RtzMCDRtzMED,CD=DE > AC = AE.又 V DE 丄 ABZB = 45。，:.ABED為等腰宜角三角形.: DE = BE, BE = CD :.AB = AE+BE = AC + CD 證法二：延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E,使CE = C£>,連接EDC/： ZECD = 90°,又 I ZEAD = ABAD. ZE = ZB = 45。, AD = AD.: AE = AB AB = AC+CE = AC + CD 點(diǎn)撥：線(xiàn)段之間的關(guān)系通常有以下幾種提問(wèn)方式：（1）若問(wèn)兩條線(xiàn)段之間的關(guān)系時(shí)，一般要回答數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）若問(wèn)線(xiàn)段

18、之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，一般情況下要寫(xiě)等量關(guān)系，或是和差倍分關(guān)系：（3）若問(wèn)線(xiàn)段之間的大小關(guān)系時(shí)，必須填大（等）于或?。ǖ龋┯?；當(dāng)所求線(xiàn)段關(guān)系為和差倍分關(guān)系時(shí)，一般情況我們作輔助線(xiàn)的方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短.舉一反三1如圖，ABC中，AB = AC, ZA = 108°, 3D平分ZABC交AC于D點(diǎn).求證:BC=AC+CD2. 如圖，ZXABC 中，AB = AC, ZA = 100°, BQ平分ZABC,求證：BC = BD + AD. A例8.如圖所示，OP是ZMON的平行線(xiàn)，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形.請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：(1)

19、 如圖(2),在 'ABC 中，ZACB 是宜角，ZB=60°, AD. CE 分別是 ZBAC、ZBCA 的平分線(xiàn)，AD. CE相交于點(diǎn)F.請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系.(2) 如圖(3),在AABC中，如果ZACB不是直角，而中的英他條件均不變，請(qǐng)問(wèn)，你 在(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1圖3解：圖略(1 )F£與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD.(2)答：(1)中的結(jié)論F民FD仍然成立.證法一：如圖，在AC k截取AG=AE,連接FG因?yàn)閆1=Z2. AF為公共邊，可證AEF9AAGF.所以 ZAFE=ZAFG

20、. FE=FG 由ZB=60% AD. CE分別是"AC、ZBCA的平分線(xiàn)，可得Z2+Z3=60°.所以 ZAFE= Z CFD= ZA FG=60° 所以 ZCFG=60°.由Z3=Z4及FC為公共邊，可得 CFG竺CFD所以FG=FD所以FE=FD證法二：如圖，過(guò)點(diǎn)F分別作FG丄AB于點(diǎn)G, FH丄BC于點(diǎn)H.因?yàn)閆B=60%且AD、CE分別是ZBAC、ZBCA的平分線(xiàn)，所以可得Z2+Z3=60°, F是ABC的內(nèi)心.所以 ZGEF=60°+ZL FG=FH又因?yàn)閆HDF=ZB十Zl,所以 ZGEF=ZHDF.因此可證厶EGF竺HDHF所以FE=FD點(diǎn)撥：本題的輔助線(xiàn)，作垂宜和對(duì)稱(chēng)皆可.當(dāng)我們證明兩條線(xiàn)段相等時(shí)，可以用以下方 法：(1) 兩條線(xiàn)段共端點(diǎn)且共線(xiàn)時(shí)，證明公共端點(diǎn)是中點(diǎn)或在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上：(2) 兩條線(xiàn)段共端點(diǎn)但不共線(xiàn)時(shí)，證明底角相等；(3) 兩條線(xiàn)段既不共端點(diǎn)又不共線(xiàn)時(shí)，可通過(guò)找到中間等量代換一下或者放到兩個(gè)三 角形當(dāng)中，直接證明三角形全等，如果不存在這樣的三角形，那么就需要你去構(gòu)造三角形.跟蹤訓(xùn)練1.(1)如圖1,在ABC中，ZABC與ZACB的角