中心極限定理證明

1、中心極限定理證明一、例子高爾頓釘板試驗.圖中每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列，下一 排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有排釘子，從入口中處放 入小圓珠.由于釘板斜放，珠子在下落過程中碰到釘子后以的概率滾向左 邊,也以的概率滾向右邊.如果較大，可以看到許多珠子從處滾到釘板底端 的格子的情形如圖所示，堆成的曲線近似于正態(tài)分布.如果定義：當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊，令;當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左 邊，令.則是獨立的，且那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài) .可以想象，當(dāng)越來越 大時接近程度越好.由于時，.因此，顯然應(yīng)考慮的是的極限分布.歷史上德 莫佛第一個證明了二項分布的極限

2、是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.二、中心極限定理設(shè)是獨立隨機變量序列，假設(shè)存在，若對于任意的，成立稱服從中心極限定理.設(shè)服從中心極限定理，則服從中心極限定理，其中為數(shù)列.解:服從中心極限定理，則表明其中.由于，因此故服從中心極限定理三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理在重貝努里試驗中，事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則用頻率估計概率時的誤差估計.由德莫佛一拉普拉斯極限定理，由此即得第一類問題是已知，求，這只需查表即可.第二類問題是已知，要使不小于某定值，應(yīng)至少做多少次試驗這時利 用求出最小的.第三類問題是已知，求.解法如下:先找，使得.那么，即.

3、若未知，則利用，可得如下估計:.拋擲一枚均勻的骰子，為了至少有的把握使出現(xiàn)六點的概率與之差不超過，問需要拋擲多少次解:由例4中的第二類問題的結(jié)論，.即.查表得.將代入，便得.由此可見, 利用比利用契比曉夫不等式要準(zhǔn)確得多.已知在重貝努里試驗中，事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則服從二項分布：的隨機變量.求.解：因為很大，于是所以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以求出的值.某單位內(nèi)部有260架電話分機，每個分機有的時間要用外線通話，可 以認(rèn)為各個電話分機用不用外線是是相互獨立的，問總機要備有多少條外線才能以的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.解:以表示第個分機用不用外線，若使用

4、，則令;否則令.則.如果260架電話分機同時要求使用外線的分機數(shù)為，顯然有.由題意 得，查表得，故取.于是取最接近的整數(shù)，所以總機至少有16條外線，才能有以上的把握保 證各個分機在使用外線時不必等候.根據(jù)孟德爾遺傳理論，紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃 果植株的比率為3:1，現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和 117之間的概率.解:將觀察一株雜交種的果實顏色看作是一次試驗，并假定各次試驗 是獨立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為，則.由德莫佛一拉普拉斯極限定理，有其中，即有四、林德貝格-勒維中心極限定理若是獨立同分布的隨機變量序列，假設(shè)，則有證明:設(shè)的特征函數(shù)為，則的特

5、征函數(shù)為又因為，所以于是特征函數(shù)的展開式從而對任意固定的，有而是分布的特征函數(shù).因此，成立.在數(shù)值計算時，數(shù)用一定位的小數(shù)來近似，誤差.設(shè)是用四舍五入法得 到的小數(shù)點后五位的數(shù)，這時相應(yīng)的誤差可以看作是上的均勻分布.設(shè)有個數(shù)，它們的近似數(shù)分別是，令用代替的誤差總和.由林德貝格一一勒維定理，以，上式右端為，即以的概率有設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，且互相獨立 淇中，證明：的分布函 數(shù)弱收斂于.證明:為獨立同分布的隨機變量序列，且互相獨立，所以仍是獨立同分 布的隨機變量序列，易知有由林德貝格一一勒維中心極限定理，知的分布函數(shù)弱收斂于，結(jié)論得 證.作業(yè):p222ex32,33,34,35五、林德貝爾

6、格條件設(shè)為獨立隨機變量序列，又令，對于標(biāo)準(zhǔn)化了的獨立隨機變量和的分布當(dāng)時，是否會收斂于分布除以外，其余的均恒等于零，于是.這時就是的分布函數(shù).如果不是正 態(tài)分布，那么取極限后，分布的極限也就不會是正態(tài)分布了.因而，為了使得成立，還應(yīng)該對隨機變量序列加上一些條件.從例題中看出，除以外，其 余的均恒等于零，在和式中，只有一項是起突出作用.由此認(rèn)為，在一般情 形下，要使得收斂于分布，在的所有加項中不應(yīng)該有這種起突出作用的加 項.因為考慮加項個數(shù)的情況，也就意味著它們都要均勻地斜.設(shè)是獨立隨機變量序列，又,，這時(1)若是連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為，如果對任意的，有(2)若是離散型隨機變量，的分布列為

7、如果對于任意的，有則稱滿足林德貝爾格條件.以連續(xù)型情形為例，驗證:林德貝爾格條件保證每個加項是均勻地斜.證明:令，則于是從而對任意的，若林德貝爾格條件成立，就有這個關(guān)系式表明，的每一個加項中最大的項大于的概率要小于零 ，這 就意味著所有加項是均勻地斜.六、費勒條件設(shè)是獨立隨機變量序列，又，稱條件為費勒條件.林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件，但不是必要條件.費勒指出若費勒條件得到滿足，則林德貝爾格條件也 是中心極限定理成立的必要條件.七、林德貝爾格-費勒中心極限定理引理1對及任意的，證明:記，設(shè)，由于因此，淇次，對，用歸納法即得.由于，因此，對也成立.引理2對于任意滿足

8、及的復(fù)數(shù)，有證明:顯然因此，由歸納法可證結(jié)論成立.引理3若是特征函數(shù)，則也是特征函數(shù)，特別地證明定義隨機變量其中相互獨立，均有特征函數(shù)，服從參數(shù)的普哇松分布，且與諸獨立 不難驗證的特征函數(shù)為，由特征函數(shù)的性質(zhì)即知成立.林德貝爾格-費勒定理定理設(shè)為獨立隨機變量序列，又.令，則(1)與費勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.證明:(1)準(zhǔn)備部分記(2)顯然(3)(4)以及分別表示的特征函數(shù)與分布函數(shù)，表示的分布函數(shù)，那么(5)這時因此林德貝爾格條件化為：對任意，(6)現(xiàn)在開始證明定理.設(shè)是任意固定的實數(shù).為證(1)式必須證明(7)先證明，在費勒條件成立的假定下，(7)與下式是等價的：事實上，由

9、(3)知,又因為故對一切，把在原點附近展開彳導(dǎo)到因若費勒條件成立，則對任意的，只要充分大，均有(9)這時(10)對任意的，只要充分小，就可以有(11)因止匕由引理3,引理2及(10),(11)只要充分大，就有(12)因為可以任意小，故左邊趨于0,因止匕證得(7)與(8)的等價性.(2)充分性先證由林德貝爾格條件可以推出費勒條件.事實上，(13)右邊與無關(guān)，而且可選得任意??；對選定的，由林德貝爾格條件(6)知 道第二式當(dāng)足夠大時，也可以任意地小，這樣,費勒條件成立.其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4)，可知，當(dāng)時，當(dāng)時，因此(14)對任給的，由于的任意性，可選得使，對選

10、定的，用林德貝爾格條件知 只要充分大，也可使.因此，已證得了(8)，但由于已證過費勒條件成立，這時 (8)與(7)是等彳的，因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相應(yīng)的特征函數(shù)應(yīng)滿足(7).但在費勒條件成立時 這又推出了,因此，(15)上述被積函數(shù)的實部非負(fù)，故而且(16)因為對任意的，可找到，使,這時由(15),(16)可得故林德貝爾格條件成立.八、李雅普諾夫定理設(shè)為獨立隨機變量序列，又.令,若存在，使有則對于任意的，有一，大數(shù)定律的證明二，中心極限定理的證明中心極限定理我們曾特別強調(diào)了正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的地位與作用為什么客觀實際中許多隨機變量服從正態(tài)分布是經(jīng)驗猜測還是

11、確有科 學(xué)的理論依據(jù)，下面我們就來解釋這一問題.我們已經(jīng)知道，炮彈的彈著點射擊誤差服從正態(tài)分布，我們來分 析其原因.要知道誤差是什么樣的隨機變量，有必要研究一下造成誤差 的原因是什么每次射擊后，炮彈會因為震動而造成很微小的偏差x1,炮彈外形細(xì)小的差別而引起空氣阻力不同而出現(xiàn)的誤差x2,炮彈前進(jìn)時遇到的空氣流的微小擾動而造成的誤差x3, 等等，有許多原因，每種原因引起一個微小的誤差都是隨機的，而彈著點的總誤差x是許多隨機誤差的總和，即x=xk而且xk之間可以看成是相互獨立的，因此 要討論x的分布就要討論這些相互獨k立的隨機變量之和的分布.在概率論中，我們把研究在一定條件下，大量獨立隨機變量和的

12、極限分布是正態(tài)分布的那些定理通常叫做中心極限定理.本節(jié)只介紹兩個條件簡單，也較常用的中心極限定理.定理4 (同分布中心極限定理)設(shè)隨機變量 x1, x2,xn 相互獨 立，服從同一分布，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差， e(xk)=,d(xk)=(k=1,2,則隨機變量2xk-nk=1n的分布函數(shù)對任意的x,滿足nnxk-nk=1nx12e-xt22dt中心極限定理及其應(yīng)用【摘要】中心極限定理的產(chǎn)生具有一定的客觀背景，最常見的是 德莫佛-拉普拉斯中心極限定理和林德貝格-勒維中心極限定理。它們表 明了當(dāng)n充分大時，方差存在的n個獨立同分布的隨機變量和近似服 從正態(tài)分布，在實際中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。本文討

13、論了中心極限定理的 內(nèi)容、應(yīng)用與意義?！娟P(guān)鍵詞】：中心極限定理正態(tài)分布隨機變量一、概述概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象、統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科。隨機現(xiàn) 象的規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)的實驗才會呈現(xiàn)出來，而 研究大量的隨機現(xiàn)象常常采用極限的形式，由此導(dǎo)致了對極限定理的 研究。極限定理的內(nèi)容很廣泛，中心極限定理就是其中非常重要的一 部分內(nèi)容。中心極限定理主要描述了在一定條件下，相互獨立的隨機 變量序列x1、x2 , xn ,的部分和的分布律：當(dāng) n00時的極限符合 正態(tài)分布。因此中心極限定理這個結(jié)論使正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計中具有 很重要的地位，也使得中心極限定理有了廣泛的應(yīng)用。二、定理及應(yīng)用1、定理一

14、(林德貝格一勒維定理)若k1, =a,2, 是一列獨立同分布的隨機變量，且 edk=kx2(20),k=1,2,貝U有l(wèi)imp(k1nnnax)nn12et22dt。當(dāng)n充分大時，k1knan-n (0,1) , k1nkn (na,n) 22、定理二(棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理)在n重伯努利試驗中，事件a在每次試驗中出現(xiàn)的概率為錯誤！未 找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為n次試驗中事件a出現(xiàn)的次數(shù)，則limp(nnnpnpqx)21xet22dt其中q1p。這個定理可以簡單地說成二項分布漸近正態(tài)分布，因此當(dāng)n充分大時，可以利用該定理來計算二項分布的概率。同分布下中心極限定理的簡單應(yīng)用獨立

15、同分布的中心極限定理可應(yīng)用于求隨機變量之和sn落在某區(qū)間的概率和已知隨機變量之和 sn取值的概率，求隨機變量的個數(shù)。例1:設(shè)各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立且服從相同的 分布，其數(shù)學(xué)期望為，均方差為，問 5000只零件的總重量超過2510kg 的概率是多少解：設(shè)xi(i=1, 2,，5000)表示第i個零件的重量 x1, x2,， x5000 獨立同分布且 e(xi)=, d(xi)=。由獨立同分布的中心極限定理可知3=i-()()=例2: 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的且同分 布，設(shè)每箱平均重50kg,標(biāo)準(zhǔn)差為5kg,若用最大載重為50噸的汽車 承運，每輛車最多可以裝多

16、少箱才能保證不超載的概率大于解：設(shè)xi(i=1, 2,，n)是裝運第i箱的重量，n為所求箱數(shù)。由 條件可把x1, x2,，xn看作獨立同分布的隨機變量，而 n箱的總重 量為tn=x1+x2+-+xn是獨立同分布的隨機變量之和。由 e(xi)=50、d(xi)=52 得：e(tn)=50n, d(tn)=52n根據(jù)獨立同分布的中心極限定理：3即最多可以裝98箱例3:報名聽心理學(xué)課程的學(xué)生人數(shù) k是服從均值為100的泊松分布的隨機變量，負(fù)責(zé)這門課的教授決定，如果報名人數(shù)不少于120,就分成兩班，否則就一班講授。問該教授講授兩個班的概率是多少分析：該教授講授兩個班的情況出現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)報名人數(shù)x不少于1

17、20,精確解為p (x120 =e-100100i/i!很難求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值為100的泊松分布隨機變量等于100個均值為1的獨立泊松分布隨機變量之和，即 x=xi,其中每個xi具有參數(shù)1的泊松分布，則我們可利用中心極限定理求近似解。2解：可知 e(x)=100, d(x)=100教授講授兩個班的概率是。例4:火炮向目標(biāo)不斷地射擊，若每次射中目標(biāo)的概率是0、1。(1)求在400次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)在區(qū)間30, 50內(nèi)的概率。(2)問最少要射擊多少次才能使擊中目標(biāo)的次數(shù)超過10次的概率不小于分析：顯然火炮射擊可看作是伯努利實驗。1即我們知道，正態(tài)分布可近似于二項分布，而且

18、泊松分布可近似于二項分布，當(dāng)二項分布 b(n, p), n較大、p較小時可用泊松分布估計近似值。如果p接近1,有q=l-p很小，這時也可用泊松分布計算；但是當(dāng)n較大，p不接近0或1時，再用泊松分布估計二項分布的概率就 不夠精確了，這時應(yīng)采用拉普拉斯定理來計算。解：(1)設(shè)在射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為yn,所求概率(30yn0 使得：也就是說，無論各個隨機變量 xi服從什么分布，只要滿足李雅普諾夫條件，當(dāng) n很大時，它們的和 近似服從正態(tài)分布。由于在大學(xué)本科階段接觸的不同分布的樣本較 少，本文對它的應(yīng)用將不舉例說明。中心極限定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式闡明了在大樣本條件下，不論總 體的分布如何，樣本均值總是

19、近似地服從正態(tài)分布。正是這個結(jié)論使 得正態(tài)分布在生活中有著廣泛的應(yīng)用。四、中心極限定理的意義首先，中心極限定理的核心內(nèi)容是只要n足夠大，便可以把獨立同分布的隨機變量和的標(biāo)準(zhǔn)化當(dāng)作正態(tài)變量，所以可以利用它解決很 多實際問題，同時這還有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈 現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實，從而正態(tài)分布成為概率論中最重 要的分布，這就奠定了中心極限定理的首要功績。其次，中心極限定 理對于其他學(xué)科都有著重要作用。例如數(shù)理統(tǒng)計中的參數(shù)（區(qū)間）估 計、假設(shè)檢驗、抽樣調(diào)查等；進(jìn)一步，中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計在統(tǒng) 計學(xué)中的應(yīng)用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌握樣本特征值的抽樣分布，而中心

20、極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得 知未知總體的樣本特征值就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量 觀察法獲得足夠多的隨機樣本數(shù)據(jù)，幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計的全部處 理問（更多內(nèi)容請訪問好范文網(wǎng)）題的方法應(yīng)用于統(tǒng)計學(xué)，這從另一個方 面也間接地開辟了統(tǒng)計學(xué)的方法領(lǐng)域，其在現(xiàn)代推斷統(tǒng)計學(xué)方法論中 居于主導(dǎo)地位。參考文獻(xiàn)1鄧永錄著應(yīng)用概率及其理論基礎(chǔ).清華大學(xué)出版社。2魏振軍著概率論與數(shù)理統(tǒng)計三十三講.中國統(tǒng)計出版社。3程依明等著概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題與解答.高等數(shù)學(xué)出版社。中心極限定理中心極限定理（centrallimittheorems ）什么是中心極限定理大數(shù)定律揭示了大量隨機變量的平均結(jié)果，但沒有

21、涉及到隨機變 量的分布的問題。而中心極限定理說明的是在一定條件下，大量獨立 隨機變量的平均數(shù)是以正態(tài)分布為極限的。中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一。它提出，大量的獨 立隨機變量之和具有近似于正態(tài)的分布。因此，它不僅提供了計算獨 立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么有很 多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形（即正態(tài)）曲線這一事實，因此中心極 限定理這個結(jié)論使正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計中具有很重要的地位，也使正 態(tài)分布有了廣泛的應(yīng)用。中心極限定理的表現(xiàn)形式中心極限定理也有若干個表現(xiàn)形式，這里僅介紹其中四個常用定理：（一）辛欽中心極限定理設(shè)隨機變量相互獨立，服從同一分布且有有限的數(shù)學(xué)期望

22、a和方差（2,貝! J隨機變量，在n無限增大時，服從參數(shù)為a和的正態(tài)分布即n-s時，將該定理應(yīng)用到抽樣調(diào)查，就有這樣一個結(jié)論：如果抽樣總體的 數(shù)學(xué)期望a和方差0 2是有限的，無論總體服從什么分布，從中抽取容量為n的樣本時，只要n足夠大，其樣本平均數(shù)的分布就趨于數(shù)學(xué)期 望為a,方差為（r2/n的正態(tài)分布。（二）德莫佛一一拉普拉斯中心極限定理設(shè)wn是n次獨立試驗中事件a發(fā)生的次數(shù)，事件a在每次試驗中 發(fā)生的概率為p,則當(dāng)n無限大時，頻率設(shè)wn/n趨于服從參數(shù)為的正態(tài)分布。即：該定理是辛欽中心極限定理的特例。在抽樣調(diào)查中，不論總體服 從什么分布，只要n充分大，那么頻率就近似服從正態(tài)分布。（三）李亞普洛夫中心極限定理設(shè)差：是一個相互獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數(shù)學(xué)期望 和方O記，如果能選擇這一個正數(shù) 8 0使當(dāng)ns時，,則對任意的x有：該定理的含義是：如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素影響 所造成的，而每一個別因素在總影響中所起的作用不很大，則這個量 服從或近似服從正態(tài)分布。（四）林德貝爾格定理設(shè)是一個相對獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差滿足林德貝爾格條件，則當(dāng)ns時，對任意的x,有O中心極限定理案例分析案例一：中