完整word版,浙江大學(xué)2010-2011數(shù)學(xué)分析(2)-試卷及答案,推薦文檔

1、浙江大學(xué)200 -20/1學(xué)年春夏學(xué)期數(shù)學(xué)分析（n）課程期末考試試卷（A）課程號(hào)：061Z0010 ,開課學(xué)院：理學(xué)部考試形式：閉卷，允許帶 筆 入場(chǎng)考試日期： 2011 年6月 24日，考試時(shí)間： 120 分鐘誠(chéng)信考試，沉著應(yīng)考，杜絕違紀(jì)。請(qǐng)注意：所有題目必須做在答題本上！做在試卷紙上的一律無效！請(qǐng)勿將答題本拆開或撕頁(yè)！如發(fā)生此情況責(zé)任自負(fù)！考生姓名： 學(xué)號(hào)： 所屬院系： 計(jì)算下列各題：（前4題每題5分，最后一題6分，共26分）1.求：lim(x, y) (0,3)2sin xy（X, yi）m（0,3）2sin xy(X, I%2sin xy2xyy2 9.13令r , x2 y2 z2,

2、貝h x3則rx (1 ,2,2)1272. 設(shè)f(x, y, z) ,2122 計(jì)算：gradfl(122).2 222(iw)同樣,22y (1,2,2)27 z (1,2,2)271 因此，gradf(i2 2)12,2.(iyy)073.求曲面 S: x2 2y2 3z220在點(diǎn)（3,2,1處的法線方程4.5.1.令：F(x,y,z)x22y23z220,貝U:Fx2x,Fy, 一，一 r x 3因此，在點(diǎn)(3,2,1)的法向量n 6,8,6,故法線為： 32設(shè)曲線c：2 y242y)2ds1的長(zhǎng)度為L(zhǎng).計(jì)算：?(x 2y)2ds.C22(x 4y 4xy)dsC設(shè)為曲面z &y2介于

3、平面z dS;由于z因此,dxdy.y2,則：zxdSy2dxdyX2計(jì)算題：(每題8分,設(shè)f(x)是周期為2的函數(shù),4y, Fz 6z.y 2 z 143雌ds 4L.其中：xyds=0.0和z 2之間部分的下側(cè)，計(jì)算:dxdy 4 .y2 4共56分)zy2且 f(x) 2( x2),求：f(x)的Fourier級(jí)數(shù)，并計(jì)算 口的和. n 1 n(1)由于f(x)是周期為2x2ao 0(72)dx的偶函數(shù),5 2二，an3則：bn2x2一(0 20.)cos nxdx邛(nn1,2,L ).因此，f (x)Six nR)(*)(2)(*)式中，令x0,則:f(0)令:因此,12， n 1

4、n1n 1 n則：一221n1麗.(1)n2 . n11麗(1)n12 n 1 n(1)n1n 1 n212212在(*)式中令x2 則：一22.計(jì)算級(jí)數(shù)n 1(x 2廣的收斂域及和函數(shù),n 4并計(jì)算(1) limn因此,Un 1(x)Un(x)limn2)2nn nn 4(x 2)2n 2(nn 11) 4nn 4(x 2)2n(x 2)2級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1發(fā)散；當(dāng)x 4時(shí), n 1 n(。，4).422 n1 n 4n1,則：0 x 4.Q)令t(x 2)2tnL,則:1 nS(t)故，S(t)ln(1t).所以,(x 2)2nn nn 4In其中：0 x4.(3)上式中令x 3,可得,t

5、n(x【或】：令t4匚而言, n 1 nlim nan 1an收斂半徑為1.而當(dāng)t1時(shí),級(jí)數(shù)(1)nn 1 n收斂；當(dāng)t2)4小其中:2In 4nlim 一n n 11時(shí)，級(jí)數(shù)1 t 1).ln(4x1,因此,發(fā)散.1 nx2).tn 二的1 ntn故級(jí)數(shù)t的收斂域?yàn)閚 1 n11).因此,當(dāng)收斂.因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?0,4).(x 2)24F面與上同1,(x2)2nn 4n23.設(shè)z f(x2 y；Y),且f具有2階連續(xù)偏導(dǎo)，計(jì)算： xx x y二 2xf1-y2 f2.x x22x 2yfn x y4xyl (21 .1 .y -.f12 f22 2yf21x x x魚)f2 ) M2

6、 x-f22.x4.計(jì)算(x2 y2)dxdy,其中 D (x, y) |x2Dx y.方法區(qū)域D:(x(y322.令:1212r cosr sin(r，102(r2r cosrsin 1)rdr方法令:1212方法三、則:上y(u，v)1.I(u(vdudvdudv(r21) rdr23jd4cossinr3dr 1434 (cos7sin )4dN、2sin(44)4 dsin4 udu 2 2 sin4 udu05.計(jì)算三重積分:ezdxdydz,其中22(x, y, z)|x y1.由于積分區(qū)域關(guān)于xoy平面對(duì)稱,被積函數(shù)ez關(guān)于小奇函數(shù),因此，I2x2 y2 (zz20)ezdV.1

7、方法一、I1rdr01 r20ezdz1 dr (令r sin x)cosx42sinxcosx Icosxe dx0ueudu 2方法2 1 ezdz0dxdy11ez(10)dz方法三、2dcos2 sin dcos e2d(e 1)dc cos2e02 sin d6.設(shè)點(diǎn)M (,）是球面x2 y2 z2 a2第一卦限中的一點(diǎn),S是球面在該點(diǎn)處的切平面被3個(gè)坐標(biāo)平面所載三角形的上側(cè)，求：點(diǎn) M（）使曲面積分：I xdydzSydzdx zdxdy為最小，并求此最小值.球面x2 y2z2 a2 在點(diǎn) M(,xdydzSydzdx zdxdy(xcosS）處的切平面方程為:ycoszcos ）

8、dSdSa dSS22a a 1 cos（2）由于a2,則:6a273a3、3.因此，xdydzSydzdx zdxdy3,3 a3.等號(hào)在2-a時(shí)成立.3故，點(diǎn)乂為（石國(guó),時(shí),曲面積分有最小值3.3【或】：（1肺加切平面與坐標(biāo)平面所圍立體的另三個(gè)三角形Sxy、Syz、Szx,使其與S所圍閉曲面方向?yàn)橥鈧?cè).則：根據(jù)Guass公式可得：xdydz ydzdx zdxdySxy +Syz SzxI 0 xdydz ydzdx zdxdyS Sxy +Syz Sx63dV 0 .切平面:2222x y z a2,截距分別為：.構(gòu)造Lagrange函數(shù)：f(x, y,fxyz2x0fyzx2y0fzx

9、y2z02222 cfxyz a 02222z,) xyz (x y z a ).(1)(2)(3).將其代入（4）可得,由于x、y、z 0,則：區(qū)zx 0 xyz由于駐點(diǎn)唯一，根據(jù)實(shí)際問題當(dāng)xaz 3.3z 時(shí)，xyz有最大值.33 3因此,Imin3.3 3a .27.計(jì)算 xdy2 ydx c 4x y,其中曲線C是從點(diǎn)A( ,0)沿ycos-x至U點(diǎn)B( ,0)再?gòu)狞c(diǎn)B沿直線到點(diǎn)D( , 2 ).方法一、? P2V 2 , Q4x y?連接 DA,作 L: 4x2 y22. 2x 則. y 4x _Q“2 2，2 2 224x y y (4x y ) x2(0,足包小)，方向?yàn)轫槙r(shí)針.

10、則：?jiǎn)崞??C 4x yC DAxdy l 4x2ydx-2-yxdy ydxxdy ydxdy y1.裝xdyL,22,22da 4x y l 4x y0, yydx arctan 22122dxdy4x2 y221-2方法二、從點(diǎn)A( ,0)沿直線到點(diǎn)A( ,2卜再?gòu)狞c(diǎn)A沿直線到點(diǎn)A2( ,2卜從點(diǎn)A2沿直線到點(diǎn)兒( , 2卜再?gòu)狞c(diǎn)A3沿直線到點(diǎn)D;記此路徑為L(zhǎng).由于P2 y 2, Q2x 2 ,則：-4x y 4x y所圍區(qū)域內(nèi)P、Q都有一階連續(xù)連導(dǎo)數(shù),P y2 4x2y (4x2因此，22 y)且在由曲線C、L xxdy ydx2 TC 4x yxdy ydx224x yAA1AA2A

11、2 A3A3Ddy2224 y2 dx4x2 4 2, yarctan 22,x arctandy2 dxA222 224 y 4x 4arctan y22arctanx 4f(x)cos nxn 0 n2 1三、證明題：(每題9分，共18分)1 .敘述級(jí)數(shù)un(xK數(shù)集D上一致收斂的定義，并證明:n 1在(0,2 )內(nèi)連續(xù)，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(1)由于對(duì)x(0,2 )第；1n2 1在(0,2 )內(nèi)一致收斂.另外，對(duì)n N ,函數(shù)10 n2 1cosnx n2 1收斂，故級(jí)數(shù)cosnx n 0 n2 1在(0,2 )內(nèi)連續(xù)，因止匕,f(x)記g(x)cosnx n2 1nsin nx n 0 1 n

12、2，由于彳二單調(diào)趨向于零, n且對(duì)0(),及,2nsin kxk 1,1、 xcos(n -) cos-22 sin- 2sin2根據(jù)Dirichlet判別法，nnsinnx在 0 1 n上一致收斂，即噢x在(0,2 ) n 0 1 ncosnx在(0,2 )內(nèi)也連續(xù).n 0 n 1v cosnx乂 27n 1上內(nèi)閉一致收斂.竺萼在(0,2 )內(nèi)連續(xù)，故，f(x)在(0,2 )內(nèi)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)1 n2 .證明：存在 0,及定義在(,)內(nèi)的具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y f(x),滿足 f(0) 0,且 sin x 2ycos(x y ) dxx 0 f 2(x) 2 f (x) cosx 1.并計(jì)算業(yè) 的值. dxx 0?令：F(x, y) sin(x2 y2) 2y cosx 1,(*)則：(1)F(x, y)在R2上連續(xù)；(2)F(0,0) 0;(3) Fy 2ycos(x2 y2) 2在R2上連續(xù)；(4)Fy(0,0) 2 0;(5)Fx 2xcos(x2 y2