江西省2018年中考數(shù)學(xué)專題九-二次函數(shù)

1、2018 2018 江西江西專題九二次函數(shù)的綜合專題九二次函數(shù)的綜合考情分析考情分析二次函數(shù)的綜合題每年必考，分二次函數(shù)的綜合題每年必考，分值值912分分.2017年第年第22題為二次函數(shù)的變換探究題為二次函數(shù)的變換探究問題；問題；2016年第年第23題、題、2013年第年第24題為二次函數(shù)題為二次函數(shù)的規(guī)律探究問題；的規(guī)律探究問題；2015年第年第23題、題、2012年第年第23題題為二次函數(shù)的一般探究問題；為二次函數(shù)的一般探究問題；2014年第年第24題為二題為二次函數(shù)的新定義探究問題次函數(shù)的新定義探究問題例例1如圖如圖1，在平面直角坐，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線標(biāo)系中，拋物線ya(x1)

2、24a(a0)交交x軸于軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B的左邊，其頂點(diǎn)為點(diǎn)的左邊，其頂點(diǎn)為點(diǎn)C，一條開口向下的拋物線經(jīng)過，一條開口向下的拋物線經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)，其頂點(diǎn)三點(diǎn)，其頂點(diǎn)D在在x軸軸上方，且其縱坐標(biāo)為上方，且其縱坐標(biāo)為3，連接，連接AC，AD，CD，CD交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)E.類型類型 一般探究問題一般探究問題 (1)求求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過求經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)當(dāng)ACD為等腰三角形時(shí)，求為等腰三角形時(shí)，求a的值；的值；(4)將將AEC繞點(diǎn)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，若點(diǎn)，若點(diǎn)C的的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

3、恰好落在對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在(2)中的拋物線上，直接寫出中的拋物線上，直接寫出a的的值值解：解：(1)令令y0，a(x1)24a0.a0，(x1)240.x11，x23.A(1,0)，B(3,0)(2)A(1,0)，B(3,0)，過過A，B，D三點(diǎn)的三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為拋物線的對(duì)稱軸為x1.又頂點(diǎn)又頂點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為3，D(1,3)設(shè)經(jīng)過設(shè)經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)的拋物線解析式三點(diǎn)的拋物線解析式為為ym(x1)23，把，把A(1,0)代入可得代入可得4m30.訓(xùn)練訓(xùn)練1.(2017樂山節(jié)選樂山節(jié)選)如圖如圖2，拋物線，拋物線C1：yx2ax與與C2：yx2bx相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，C，C1與與C2

4、分別交分別交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)B，A，且，且B為線段為線段AO的中的中點(diǎn)點(diǎn)例例2拋物線拋物線C1：y1a1x2b1xc1中，函數(shù)中，函數(shù)值值y1與自變量與自變量x之間的部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：之間的部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：(1)設(shè)拋物線設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)為P，則點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_；(2)現(xiàn)將拋物線現(xiàn)將拋物線C1沿沿x軸翻折，得到拋物線軸翻折，得到拋物線C2：y2a2x2b2xc2，試求，試求C2的解析式；的解析式；類型類型 變換探究問題變換探究問題 x 3 2 1134y1 4 104 16 25 (1,0) (3)現(xiàn)將拋物線現(xiàn)將拋物線C2向下平移，設(shè)拋物線在平移向下平移，設(shè)拋物線在平移

5、過程中，頂點(diǎn)為點(diǎn)過程中，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與，與x軸的兩交點(diǎn)為點(diǎn)軸的兩交點(diǎn)為點(diǎn)A，B(點(diǎn)點(diǎn)A在在B左邊左邊)在最初的狀態(tài)下，至少要向下平移多少個(gè)在最初的狀態(tài)下，至少要向下平移多少個(gè)單位，點(diǎn)單位，點(diǎn)A，B之間的距離才不小于之間的距離才不小于6個(gè)單位？個(gè)單位？在最初的狀態(tài)下，若向下平移在最初的狀態(tài)下，若向下平移m(m0)個(gè)單個(gè)單位時(shí)，對(duì)應(yīng)的線段位時(shí)，對(duì)應(yīng)的線段AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為n，請(qǐng)直接寫出，請(qǐng)直接寫出m與與n的的數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系解：解：(1)【提示【提示】觀察表格可知，拋物線上點(diǎn)觀察表格可知，拋物線上點(diǎn)(3，4)與點(diǎn)與點(diǎn)(1，4)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，拋物拋物線的對(duì)稱軸為線的對(duì)稱軸為x1.頂點(diǎn)頂點(diǎn)

6、P坐標(biāo)坐標(biāo)(1,0)(2)設(shè)拋物線設(shè)拋物線C1的解析式為的解析式為y1a(x1)2，把把(2，1)代入得到代入得到a1，拋物線拋物線C1的解析式為的解析式為y1(x1)2.將拋物線將拋物線C1沿沿x軸翻折，得到拋物線軸翻折，得到拋物線C2，根據(jù)，根據(jù)對(duì)稱性可知，拋物線對(duì)稱性可知，拋物線C2的頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)為(1,0)，a1，C2的解析式為的解析式為y2(x1)2.(3)拋物線拋物線C2向下平移過程中，對(duì)稱軸為向下平移過程中，對(duì)稱軸為x1，當(dāng)，當(dāng)AB之間的距離為之間的距離為6時(shí)，可知時(shí)，可知A(4,0)，B(2,0)，此時(shí)拋物線此時(shí)拋物線C2的解析式為的解析式為y(x4)(x2)即即y(x1)29

7、.拋物線拋物線C2至少要向下平移至少要向下平移9個(gè)單位，點(diǎn)個(gè)單位，點(diǎn)A，B之間的距離才不小于之間的距離才不小于6個(gè)單位個(gè)單位訓(xùn)練訓(xùn)練2.(2017張家張家界界)已知拋物線已知拋物線C1的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)為為A(1,4)，與，與y軸的交軸的交點(diǎn)為點(diǎn)為D(0,3)(1)求求C1的解析式；的解析式；(2)若直線若直線l1：yxm與與C1僅有唯一的交僅有唯一的交點(diǎn)，求點(diǎn)，求m的值；的值；(3)若拋物線若拋物線C1關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記作軸對(duì)稱的拋物線記作C2，平行于平行于x軸的直線記作軸的直線記作l2：yn.試結(jié)合圖形回試結(jié)合圖形回答：當(dāng)答：當(dāng)n為何值時(shí)，為何值時(shí)，l2與與C1和和C2共有：共有：兩個(gè)交

8、兩個(gè)交點(diǎn)；點(diǎn)；三個(gè)交點(diǎn)；三個(gè)交點(diǎn)；四個(gè)交點(diǎn)；四個(gè)交點(diǎn)；(4)若若C2與與x軸正半軸交點(diǎn)記作軸正半軸交點(diǎn)記作B，試在，試在x軸上求軸上求點(diǎn)點(diǎn)P，使，使PAB為等腰三角形為等腰三角形解：解：(1)拋物線拋物線C1的頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)為A(1,4)，設(shè)拋物線設(shè)拋物線C1的解析式為的解析式為ya(x1)24.把把D(0,3)代入代入ya(x1)24得得3a4，a1.拋物線拋物線C1的解析式為的解析式為y(x1)24，即即yx22x3.(3)拋物線拋物線C1關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記作軸對(duì)稱的拋物線記作C2，拋物線拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，與，與y軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)為為(0,3)拋物線拋物線

9、C2的解析式為的解析式為yx22x3.當(dāng)直線當(dāng)直線l2過拋物線過拋物線C1的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)(1,4)和拋物和拋物線線C2的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)(1,4)，即，即n4時(shí)，時(shí)，l2與與C1和和C2共有兩共有兩個(gè)交點(diǎn)；個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線當(dāng)直線l2過過D(0,3)，即，即n3時(shí)，時(shí)，l2與與C1和和C2共有三個(gè)交點(diǎn)；共有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)3n4或或n3時(shí)，時(shí)，l2與與C1和和C2共有四個(gè)共有四個(gè)交點(diǎn)交點(diǎn)(4)如答圖如答圖2，例例3已知：拋物線已知：拋物線Ck：yx22kxk2k1(k1,2,3，k為正整數(shù)為正整數(shù))，拋物線，拋物線Ck的頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)為Mk.(1)當(dāng)當(dāng)k1時(shí)，時(shí)，M1的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_，當(dāng)，當(dāng)k2時(shí)，時(shí)，M2

10、的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_；(2)拋物線拋物線Ck的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)Mk是否在同一條直線上？是否在同一條直線上？如在，請(qǐng)直接寫出這條直線的解析式；如在，請(qǐng)直接寫出這條直線的解析式；類型類型 規(guī)律探究問題規(guī)律探究問題 (1,2) (2,3) (3)若若(2)中的直線為直線中的直線為直線l，直線，直線l與拋物線與拋物線Ck的左交點(diǎn)為的左交點(diǎn)為Ak，求證：，求證：Mk與與Ak1重合；重合；(4)拋物線拋物線Ck與與x軸的右交點(diǎn)為軸的右交點(diǎn)為Bk，是否存在，是否存在AkBkMk是直角三角形？若存在，求是直角三角形？若存在，求k的值，若的值，若不存在，請(qǐng)說明理由不存在，請(qǐng)說明理由(1)解：解：【提示【提示】由由yx2

11、2kxk2k1(xk)2k1，可得頂點(diǎn)，可得頂點(diǎn)Mk(k，k1)，k1時(shí)，時(shí)，M1(1,2)；k2時(shí)，時(shí)，M2(2,3)Ak(k1，k)Ak1(k，k1)Mk(k，k1)，Mk與與Ak1重合重合(4)當(dāng)當(dāng)AkBkMk是直角三角形時(shí)，有兩種可是直角三角形時(shí)，有兩種可能：能：當(dāng)當(dāng)BkAkAkMk時(shí)，時(shí)，直線直線l的解析式為的解析式為yx1，AkBkO45.過點(diǎn)過點(diǎn)Ak作作AkNkx軸，軸，Ak(k1，k)，ONkk1.AkNkk.BkNkk.OBk2k1，即，即Bk(2k1,0)把把Bk(2k1,0)代入代入yx22kxk2k1得得(2k1)22k(2k1)k2k10，解得解得k3或或0(舍去舍去

12、)當(dāng)當(dāng)BkMkAkMk時(shí)，時(shí)，直線直線l的解析式為的解析式為yx1，MkBkO45.Mk(k，k1)，同理可得同理可得Bk(2k1,0)把把Bk(2k1,0)代入代入yx22kxk2k1得得(2k1)22k(2k1)k2k10，解得解得k1或或0(均不符合題意舍去均不符合題意舍去)綜上所述，滿足條件的綜上所述，滿足條件的k的值為的值為3.(3)探究如下問題：探究如下問題：(用含用含a的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示)拋物線拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(_，_)；依此類推第依此類推第n條拋物線條拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(_，_)；(4)若拋物線若拋物線C10的頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)為N，是否存在，

13、是否存在MNA10是等腰直角三角形的情況？若存在，求是等腰直角三角形的情況？若存在，求出出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由的值；若不存在，請(qǐng)說明理由325a n(n2)2a 解：解：(1)拋物線拋物線C1：y1a(x1)2k1(a0)交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M(2,0)與點(diǎn)與點(diǎn)A1(b1,0)，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸為直線x1，拋物線與拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(4,0)b14.(2)由與由與(1)相同的方法可得相同的方法可得b26，b38，b410，按此規(guī)律可得，按此規(guī)律可得bn2n2，An1Anbnbn12n22(n1)22.例例4如圖如圖4，拋物線，拋物線yax2bxc(a0)的頂點(diǎn)

14、為的頂點(diǎn)為M，若，若MCB為等邊三角形，且點(diǎn)為等邊三角形，且點(diǎn)C，B在拋物線上，我們把這種在拋物線上，我們把這種拋物線稱為拋物線稱為“完美拋物線完美拋物線”，已知點(diǎn)已知點(diǎn)M與點(diǎn)與點(diǎn)O重合，重合，BC2.類型類型 新定義探究問題新定義探究問題 (1)求過點(diǎn)求過點(diǎn)O，B，C三點(diǎn)的完美拋物線三點(diǎn)的完美拋物線y1的解的解析式；析式；( 2 ) 如 圖如 圖 4 ， 若 依 次 在， 若 依 次 在 y 軸 上 取 點(diǎn)軸 上 取 點(diǎn) M1，M2，Mn，分別作等邊三角形及完美拋物線，分別作等邊三角形及完美拋物線y1，y2，y3，其中等邊三角形的相似比都是，其中等邊三角形的相似比都是2 1，n為正整數(shù)為正整

15、數(shù)B2的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為_，B3的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為_，Bn的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為_；判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)B1，B2，Bn是否在同一直線是否在同一直線上，若在，求出直線的解析式；若不在，說明理上，若在，求出直線的解析式；若不在，說明理由由求求Bn的坐標(biāo)及完美拋物線的坐標(biāo)及完美拋物線yn1的頂點(diǎn)坐標(biāo)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)點(diǎn)點(diǎn)B1，B2，Bn在在同一條直線上；理由如下：同一條直線上；理由如下：考慮考慮Bn2，Bn1，Bn情形，情形，關(guān)系如答圖關(guān)系如答圖3，Mn1，Mn，Mn1分別為分別為Cn2Bn2，Cn1Bn1，CnBn的中點(diǎn)，都在的中點(diǎn)，都在y軸上，連接軸上，連接Bn2Bn1，Bn1Bn.4小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定 義 ： 如 果 二 次 函 數(shù)定 義 ： 如 果 二 次 函 數(shù) y a1x2 b1x c1(a10，a1，b1，c1是常數(shù)是常數(shù))與與ya2x2b2xc2(a20，a2，b2，c2是常數(shù)是常數(shù))滿足滿足a1a20，b1b2，c1c20，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函旋轉(zhuǎn)函數(shù)數(shù)”求函數(shù)求函數(shù)yx23x2的的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)旋轉(zhuǎn)函數(shù)”小明是這樣思考的：由小明是這樣