江西省2018年中考數(shù)學專題九-二次函數(shù)

1、2018 2018 江西江西專題九二次函數(shù)的綜合專題九二次函數(shù)的綜合考情分析考情分析二次函數(shù)的綜合題每年必考，分二次函數(shù)的綜合題每年必考，分值值912分分.2017年第年第22題為二次函數(shù)的變換探究題為二次函數(shù)的變換探究問題；問題；2016年第年第23題、題、2013年第年第24題為二次函數(shù)題為二次函數(shù)的規(guī)律探究問題；的規(guī)律探究問題；2015年第年第23題、題、2012年第年第23題題為二次函數(shù)的一般探究問題；為二次函數(shù)的一般探究問題；2014年第年第24題為二題為二次函數(shù)的新定義探究問題次函數(shù)的新定義探究問題例例1如圖如圖1，在平面直角坐，在平面直角坐標系中，拋物線標系中，拋物線ya(x1)

2、24a(a0)交交x軸于軸于A，B兩點，點兩點，點A在點在點B的左邊，其頂點為點的左邊，其頂點為點C，一條開口向下的拋物線經(jīng)過，一條開口向下的拋物線經(jīng)過A，B，D三點，其頂點三點，其頂點D在在x軸軸上方，且其縱坐標為上方，且其縱坐標為3，連接，連接AC，AD，CD，CD交交x軸于點軸于點E.類型類型 一般探究問題一般探究問題 (1)求求A，B兩點的坐標；兩點的坐標；(2)求經(jīng)過求經(jīng)過A，B，D三點的拋物線所對應的函三點的拋物線所對應的函數(shù)表達式；數(shù)表達式；(3)當當ACD為等腰三角形時，求為等腰三角形時，求a的值；的值；(4)將將AEC繞點繞點A順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90，若點，若點C的的對應點

3、恰好落在對應點恰好落在(2)中的拋物線上，直接寫出中的拋物線上，直接寫出a的的值值解：解：(1)令令y0，a(x1)24a0.a0，(x1)240.x11，x23.A(1,0)，B(3,0)(2)A(1,0)，B(3,0)，過過A，B，D三點的三點的拋物線的對稱軸為拋物線的對稱軸為x1.又頂點又頂點D的縱坐標為的縱坐標為3，D(1,3)設經(jīng)過設經(jīng)過A，B，D三點的拋物線解析式三點的拋物線解析式為為ym(x1)23，把，把A(1,0)代入可得代入可得4m30.訓練訓練1.(2017樂山節(jié)選樂山節(jié)選)如圖如圖2，拋物線，拋物線C1：yx2ax與與C2：yx2bx相交于點相交于點O，C，C1與與C2

4、分別交分別交x軸于點軸于點B，A，且，且B為線段為線段AO的中的中點點例例2拋物線拋物線C1：y1a1x2b1xc1中，函數(shù)中，函數(shù)值值y1與自變量與自變量x之間的部分對應關系如下表：之間的部分對應關系如下表：(1)設拋物線設拋物線C1的頂點為的頂點為P，則點，則點P的坐標為的坐標為_；(2)現(xiàn)將拋物線現(xiàn)將拋物線C1沿沿x軸翻折，得到拋物線軸翻折，得到拋物線C2：y2a2x2b2xc2，試求，試求C2的解析式；的解析式；類型類型 變換探究問題變換探究問題 x 3 2 1134y1 4 104 16 25 (1,0) (3)現(xiàn)將拋物線現(xiàn)將拋物線C2向下平移，設拋物線在平移向下平移，設拋物線在平移

5、過程中，頂點為點過程中，頂點為點D，與，與x軸的兩交點為點軸的兩交點為點A，B(點點A在在B左邊左邊)在最初的狀態(tài)下，至少要向下平移多少個在最初的狀態(tài)下，至少要向下平移多少個單位，點單位，點A，B之間的距離才不小于之間的距離才不小于6個單位？個單位？在最初的狀態(tài)下，若向下平移在最初的狀態(tài)下，若向下平移m(m0)個單個單位時，對應的線段位時，對應的線段AB長為長為n，請直接寫出，請直接寫出m與與n的的數(shù)量關系數(shù)量關系解：解：(1)【提示【提示】觀察表格可知，拋物線上點觀察表格可知，拋物線上點(3，4)與點與點(1，4)關于對稱軸對稱，關于對稱軸對稱，拋物拋物線的對稱軸為線的對稱軸為x1.頂點頂點

6、P坐標坐標(1,0)(2)設拋物線設拋物線C1的解析式為的解析式為y1a(x1)2，把把(2，1)代入得到代入得到a1，拋物線拋物線C1的解析式為的解析式為y1(x1)2.將拋物線將拋物線C1沿沿x軸翻折，得到拋物線軸翻折，得到拋物線C2，根據(jù)，根據(jù)對稱性可知，拋物線對稱性可知，拋物線C2的頂點為的頂點為(1,0)，a1，C2的解析式為的解析式為y2(x1)2.(3)拋物線拋物線C2向下平移過程中，對稱軸為向下平移過程中，對稱軸為x1，當，當AB之間的距離為之間的距離為6時，可知時，可知A(4,0)，B(2,0)，此時拋物線此時拋物線C2的解析式為的解析式為y(x4)(x2)即即y(x1)29

7、.拋物線拋物線C2至少要向下平移至少要向下平移9個單位，點個單位，點A，B之間的距離才不小于之間的距離才不小于6個單位個單位訓練訓練2.(2017張家張家界界)已知拋物線已知拋物線C1的頂點的頂點為為A(1,4)，與，與y軸的交軸的交點為點為D(0,3)(1)求求C1的解析式；的解析式；(2)若直線若直線l1：yxm與與C1僅有唯一的交僅有唯一的交點，求點，求m的值；的值；(3)若拋物線若拋物線C1關于關于y軸對稱的拋物線記作軸對稱的拋物線記作C2，平行于平行于x軸的直線記作軸的直線記作l2：yn.試結(jié)合圖形回試結(jié)合圖形回答：當答：當n為何值時，為何值時，l2與與C1和和C2共有：共有：兩個交

8、兩個交點；點；三個交點；三個交點；四個交點；四個交點；(4)若若C2與與x軸正半軸交點記作軸正半軸交點記作B，試在，試在x軸上求軸上求點點P，使，使PAB為等腰三角形為等腰三角形解：解：(1)拋物線拋物線C1的頂點為的頂點為A(1,4)，設拋物線設拋物線C1的解析式為的解析式為ya(x1)24.把把D(0,3)代入代入ya(x1)24得得3a4，a1.拋物線拋物線C1的解析式為的解析式為y(x1)24，即即yx22x3.(3)拋物線拋物線C1關于關于y軸對稱的拋物線記作軸對稱的拋物線記作C2，拋物線拋物線C2的頂點坐標為的頂點坐標為(1,4)，與，與y軸的交點軸的交點為為(0,3)拋物線拋物線

9、C2的解析式為的解析式為yx22x3.當直線當直線l2過拋物線過拋物線C1的頂點的頂點(1,4)和拋物和拋物線線C2的頂點的頂點(1,4)，即，即n4時，時，l2與與C1和和C2共有兩共有兩個交點；個交點；當直線當直線l2過過D(0,3)，即，即n3時，時，l2與與C1和和C2共有三個交點；共有三個交點；當當3n4或或n3時，時，l2與與C1和和C2共有四個共有四個交點交點(4)如答圖如答圖2，例例3已知：拋物線已知：拋物線Ck：yx22kxk2k1(k1,2,3，k為正整數(shù)為正整數(shù))，拋物線，拋物線Ck的頂點為的頂點為Mk.(1)當當k1時，時，M1的坐標為的坐標為_，當，當k2時，時，M2

10、的坐標為的坐標為_；(2)拋物線拋物線Ck的頂點的頂點Mk是否在同一條直線上？是否在同一條直線上？如在，請直接寫出這條直線的解析式；如在，請直接寫出這條直線的解析式；類型類型 規(guī)律探究問題規(guī)律探究問題 (1,2) (2,3) (3)若若(2)中的直線為直線中的直線為直線l，直線，直線l與拋物線與拋物線Ck的左交點為的左交點為Ak，求證：，求證：Mk與與Ak1重合；重合；(4)拋物線拋物線Ck與與x軸的右交點為軸的右交點為Bk，是否存在，是否存在AkBkMk是直角三角形？若存在，求是直角三角形？若存在，求k的值，若的值，若不存在，請說明理由不存在，請說明理由(1)解：解：【提示【提示】由由yx2

11、2kxk2k1(xk)2k1，可得頂點，可得頂點Mk(k，k1)，k1時，時，M1(1,2)；k2時，時，M2(2,3)Ak(k1，k)Ak1(k，k1)Mk(k，k1)，Mk與與Ak1重合重合(4)當當AkBkMk是直角三角形時，有兩種可是直角三角形時，有兩種可能：能：當當BkAkAkMk時，時，直線直線l的解析式為的解析式為yx1，AkBkO45.過點過點Ak作作AkNkx軸，軸，Ak(k1，k)，ONkk1.AkNkk.BkNkk.OBk2k1，即，即Bk(2k1,0)把把Bk(2k1,0)代入代入yx22kxk2k1得得(2k1)22k(2k1)k2k10，解得解得k3或或0(舍去舍去

12、)當當BkMkAkMk時，時，直線直線l的解析式為的解析式為yx1，MkBkO45.Mk(k，k1)，同理可得同理可得Bk(2k1,0)把把Bk(2k1,0)代入代入yx22kxk2k1得得(2k1)22k(2k1)k2k10，解得解得k1或或0(均不符合題意舍去均不符合題意舍去)綜上所述，滿足條件的綜上所述，滿足條件的k的值為的值為3.(3)探究如下問題：探究如下問題：(用含用含a的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示)拋物線拋物線y3的頂點坐標為的頂點坐標為(_，_)；依此類推第依此類推第n條拋物線條拋物線yn的頂點坐標為的頂點坐標為(_，_)；(4)若拋物線若拋物線C10的頂點為的頂點為N，是否存在，

13、是否存在MNA10是等腰直角三角形的情況？若存在，求是等腰直角三角形的情況？若存在，求出出a的值；若不存在，請說明理由的值；若不存在，請說明理由325a n(n2)2a 解：解：(1)拋物線拋物線C1：y1a(x1)2k1(a0)交交x軸于點軸于點M(2,0)與點與點A1(b1,0)，對稱軸為直線，對稱軸為直線x1，拋物線與拋物線與x軸的另一個交點為軸的另一個交點為(4,0)b14.(2)由與由與(1)相同的方法可得相同的方法可得b26，b38，b410，按此規(guī)律可得，按此規(guī)律可得bn2n2，An1Anbnbn12n22(n1)22.例例4如圖如圖4，拋物線，拋物線yax2bxc(a0)的頂點

14、為的頂點為M，若，若MCB為等邊三角形，且點為等邊三角形，且點C，B在拋物線上，我們把這種在拋物線上，我們把這種拋物線稱為拋物線稱為“完美拋物線完美拋物線”，已知點已知點M與點與點O重合，重合，BC2.類型類型 新定義探究問題新定義探究問題 (1)求過點求過點O，B，C三點的完美拋物線三點的完美拋物線y1的解的解析式；析式；( 2 ) 如 圖如 圖 4 ， 若 依 次 在， 若 依 次 在 y 軸 上 取 點軸 上 取 點 M1，M2，Mn，分別作等邊三角形及完美拋物線，分別作等邊三角形及完美拋物線y1，y2，y3，其中等邊三角形的相似比都是，其中等邊三角形的相似比都是2 1，n為正整數(shù)為正整

15、數(shù)B2的橫坐標為的橫坐標為_，B3的橫坐標為的橫坐標為_，Bn的橫坐標為的橫坐標為_；判斷點判斷點B1，B2，Bn是否在同一直線是否在同一直線上，若在，求出直線的解析式；若不在，說明理上，若在，求出直線的解析式；若不在，說明理由由求求Bn的坐標及完美拋物線的坐標及完美拋物線yn1的頂點坐標的頂點坐標(2)點點B1，B2，Bn在在同一條直線上；理由如下：同一條直線上；理由如下：考慮考慮Bn2，Bn1，Bn情形，情形，關系如答圖關系如答圖3，Mn1，Mn，Mn1分別為分別為Cn2Bn2，Cn1Bn1，CnBn的中點，都在的中點，都在y軸上，連接軸上，連接Bn2Bn1，Bn1Bn.4小明在課外學習時遇到這樣一個問題：小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定 義 ： 如 果 二 次 函 數(shù)定 義 ： 如 果 二 次 函 數(shù) y a1x2 b1x c1(a10，a1，b1，c1是常數(shù)是常數(shù))與與ya2x2b2xc2(a20，a2，b2，c2是常數(shù)是常數(shù))滿足滿足a1a20，b1b2，c1c20，則稱這兩個函數(shù)互為，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函旋轉(zhuǎn)函數(shù)數(shù)”求函數(shù)求函數(shù)yx23x2的的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)旋轉(zhuǎn)函數(shù)”小明是這樣思考的：由小明是這樣