周道祥彈性力學 第四章(1,2)

1、第四章第四章 平面問題的極坐標解答平面問題的極坐標解答4-1 4-1 極坐標下的平衡方程極坐標下的平衡方程一極坐標與直角坐標系一極坐標與直角坐標系Pxyoyxr平面上任一點P:直角坐標直角坐標 P(x,y)極坐標極坐標 r向徑，向徑， 極角極角P(r， )sincosryxxxyarctgyxr,222求解平面問題時，對于圓，楔，扇型構(gòu)件，求解平面問題時，對于圓，楔，扇型構(gòu)件，因為極坐標使其邊界與坐標線一致，因而使因為極坐標使其邊界與坐標線一致，因而使邊界條件簡單，使問題易于求解。邊界條件簡單，使問題易于求解。二極坐標中應力分量，體力分量的表示二極坐標中應力分量，體力分量的表示研究構(gòu)件在極坐標

2、中的應力狀態(tài)：取一研究構(gòu)件在極坐標中的應力狀態(tài)：取一微元體用一對微元體用一對r坐標線和一對坐標線和一對 坐標線坐標線記號：應力分量記號：應力分量徑 向 應 力 ：r（ 正 應 力 ）r（剪應力）環(huán)向應力（切向應力） 正應力 rr剪應力 r r其符號規(guī)定與直角坐標系情況類同。rkrkrrrd0r三三.平衡微分方程平衡微分方程可以通過坐標變換直接由直角坐標下的平衡微分可以通過坐標變換直接由直角坐標下的平衡微分方程（方程（2-22-2）得到，為了較深對積坐標下的應力）得到，為了較深對積坐標下的應力應變的理解這里仍舊單元體的平衡推導。應變的理解這里仍舊單元體的平衡推導。體力分量： rK體力向徑向投影,

3、 K體力向切向投影 krkrdrrr rd rdr仍取微元體研究仍取微元體研究： ddrrCArdBP)( rrdrrrrdrd0PACBxyr厚厚度度為為， 體體力力（rK，K） 2） PBAC, PABC 方向在方向在rr產(chǎn)產(chǎn)生生附附加加影影響響 0rF由由02cos2cos)(2sin2sin)()(rdrdKddrddrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrrr注：） d微小sin22dd cos2d1rrkrkd rdrrdrrrrdrrr ryPACBd0 xdrr整整理理， 略略去去高高一一階階小小量量， 除除以以 rdrd,利利用用剪剪應應力力互互等等定定理理 0Krrr

4、rrrr同同理理： 0F 02Krrrrr 平平衡衡微微分分方方程程： 01rrrrKrrr021Krrrrr（41）尚可利用尚可利用0pM 可證明可證明rr（剪應力互等定理）（剪應力互等定理） 4.2 4.2 極坐標中的幾何方程極坐標中的幾何方程及物理方程及物理方程一、極坐標中的應變分量與位移分量：一、極坐標中的應變分量與位移分量：1、應變分量、應變分量：),),),(直角的改變（剪應變徑向和環(huán)向兩線段之間（向正應變）環(huán)向線段的正應變（環(huán)（向正應變）徑向線段的正應變（徑rrrr2、位移分量、位移分量環(huán)向位移徑向位移uur二二. . 幾何方程幾何方程（1 1）位移分兩步）位移分兩步欲欲研究平面

5、彈性體在極坐標下的變形，選取徑向線段研究平面彈性體在極坐標下的變形，選取徑向線段PA=dr, 研究。研究。rdBP第一步： PA，PB只有徑向位移 （不考慮環(huán)向位移） P A P A ， PB P BurAAdrPy0 xdrBpBdruurrdrruurr各點坐標為各點坐標為),(),(),(drBdrrArP各點位移列表各點位移列表點點徑向位移徑向位移環(huán)向位移環(huán)向位移drruurrdruurrru000PABur由徑向位移產(chǎn)生的應變分量：由徑向位移產(chǎn)生的應變分量： 徑向線徑向線PA的正應變的正應變：PAPPAAPAPAAPrrurudrruurrrrr(a) 環(huán)向環(huán)向PB的正應變的正應變

6、：rurdrddurPBPBBPPBPBBPrr)(1(b)0BPpABxydrdrAB1druurrdrruurr 徑向徑向PA的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角： 0(c)環(huán)向線環(huán)向線PB的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：rduduuPBPPBBrrr)(rur1(d)故剪應變故剪應變:rrur1(e)ur0BPpABxydrdrAB1第二步第二步 ：在第一步的基礎上：在第一步的基礎上：PA,PB只有環(huán)向移只有環(huán)向移（不考慮徑向位移）（不考慮徑向位移）duuBBBdrruuAAAuPPP : : : 徑向線徑向線PA線應變：線應變：0 APAPAPr(f)drPABdroxyuA2PABA1drruuduu000點點徑向位移徑

7、向位移環(huán)向位移環(huán)向位移drruuduuuPABdPAdrBPABru環(huán)向環(huán)向PBPB線應變：線應變：rduduuBPPPBBBPBPBP)( 0 xy ur1(g)徑向線徑向線PAPA轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：環(huán)向線環(huán)向線PBPB的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：ruPOPPAOAAPA 121rudrudrruuAPAAAPPPAA )(2(h)A2A1（2）疊加后，總的徑向、環(huán)向應變、剪應變?yōu)椋┋B加后，總的徑向、環(huán)向應變、剪應變?yōu)閹缀畏匠處缀畏匠?剪應變：剪應變：rurururururuurrurrrrrr1（4-2）是由徑向位移產(chǎn)生的環(huán)向應變是由徑向位移產(chǎn)生的環(huán)向應變；rurur是由環(huán)向位移產(chǎn)生的剛體轉(zhuǎn)動角度是由環(huán)向位移產(chǎn)生的剛體轉(zhuǎn)動角度； rrrr三三. 物理方程物理方程由于極坐標也是正交坐標系，故物理方程形式不變：由于極坐標也是正交坐標系