2016年全國3卷文科數(shù)學(xué)試題及答案詳解

1、絕密啟封并使用完畢前試題類型:2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)注意事項：1 .本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至3頁，第n卷3至5頁.2 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置3 .全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效4 .考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回第I卷.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的.(1)設(shè)集合 A 0,2,4,6,8,10, B 4,8,則 6aB =(D)0,2,4,6,8,10(A)4,8(B)0,2,6(C)0,2,6,10(2)若 z 4 3

2、i,貝U 三二 |z|4 3.4 3.i i i(A) 1(B) 1(C) 5 5(D) 5 5(3)已知向量BA=L & BC=(l, L,則/ABC 2222(A) 30° ( B) 45°(C) 60° (D) 120°(4)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15C, B點表示四月的平均最低氣溫約為5 C .下面敘述不正確的是(A)各月的平均最低氣溫都在0 c以上(B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同(D)平均最

3、高氣溫高于 20 c的月份有5個(5)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M, I,N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是8111(A) 15 (B) 8 (C) 15 (D) 30(6)若 tan 0 =3 ,貝U cos2 0 =4114(A)5 (B)5 (C)5(D)5421(7)已知 a 2ab 33,c 251 則(A)b<a<c (B) a<b<c(C) b<c<a (D)c<a<b(8)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的a=4, b=6,那么輸出的n=(A)

4、3(B) 4(C) 5(D) 6 1一.一,BC邊上的局等于 BCUsinA(9)在 VABC 中，b=4331053 10(A)10(B) 10(C) 5(D) 10(10)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗實現(xiàn)畫出的是某多面 體的三視圖，則該多面體的表面積為(A)18 36 5(B)54 18 5(C)(D)9081(11)在封閉的直三棱柱 ABC A1B1C1內(nèi)有一個體積為 V的球.若ABBC, AB=6, BC=8, AA1=3, 則V的最大值是(A) 4 兀(B) 9? (C) 6 兀(D) 312t22(12)已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C:與4 1(a b 0)的左焦點，A,

5、B分別為C的 a b左，右頂點.P為C上一點，且PF±x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E. 若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為1123(A) (B) (C) (D)-3234第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題，每個試題考生都 必須作答.第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共3小題，每小題5分2x y 1 0,(13)設(shè)x, y滿足約束條件 x 2y 1 0,則z=2x+3y - 5的最小值為 .x 1,(14)函數(shù)y=sin x-錯誤!未指定書簽。cosx的圖像可由函數(shù) y=2sin x的

6、圖像至少向右平移 個單位長度得到.(15)已知直線l: x 芯丫 6 0與圓x2+y2=12交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與x軸交于C、D兩點，則|CD|=.(16)已知f(x)為偶函數(shù)，當x 0時，f(x) e x 1 x,則曲線y= f(x)在點(1,2)處的切線方程式.三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足& 1, a2 (2an 1 1)an 2an 1 0.(I)求 a2,a3 ；(II)求an的通項公式(18)(本小題滿分12分)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)

7、的折線圖I.sotj.ao年份代碼工1.60I 401.20,00(n)建立y關(guān)于 附注：注：年份代碼1-7分別對應(yīng)年份 2008 -2014.(I )由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合Y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;參考公式:回歸方程Yi9.32 ，7tiYii 140.17 ,n(ti i 1nn(ti t)2 (Yi y)i 1i 1t)(Yi Y)7(Yi Y)20.55,錯誤！未指定書簽。=2.646.i 1Y a bt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:n(ti t)( Y Y)i 1n(tii 1,a=y bt.t)2(19)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐 P-ABCD中

8、，PAa地面 ABCD, AD/BC, AB=AD=AC=3 PA=BC=4 M 為線段 AD上一點，AM=2MD , N為PC的中點.(I)證明MN /平面PAB;(II)求四面體 N-BCM的體積.t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量(20)(本小題滿分12分)已知拋物線C: y2=2x的焦點為F,平彳T于x軸的兩條直線11, 12分別交C于A, B兩點, 交C的準線于P, Q兩點.(I)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明 AR/ FQ;(II)若 PQF的面積是 ABF的面積的兩倍，求 AB中點的軌跡方程.(21)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) f

9、(x) 1n x x 1.(I)討論f (x)的單調(diào)性；,x 1(II)證明當x (1,)時，1x；In x(ill)設(shè) c 1,證明當 x (0,1)時，1 (c 1)x cx.請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號(22)(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖，。中舊的中點為P,弦PC, PD分另1J交AB于E, F兩點。(I )若/ PFB=2/ PCD 求/ PCD的大小;(II)若EC的垂直平分線與 FD的垂直平分線交于點 G,證明OGL CD。(23)(本小題滿分10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程0為參數(shù))。以坐標原點為極

10、點, N=(刈/在直線坐標系xoy中，曲線G的參數(shù)萬程為x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為psin伊十：)=d1.(I)寫出Ci的普通方程和 C2的直角坐標方程；(II)設(shè)點P在G上，點Q在C2上，求I PQI的最小值及此時 P的直角坐標(24)(本小題滿分10分)，選修45:不等式選講已知函數(shù) f(x)= I 2x-a I +a.絕密啟封并使用完畢前試題類型：新課標出2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)正式答案、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(1) C(2) D A(8) B(3) A(4) D C(6)

11、 D(9) D(10 ) B(11) B(12 ) A第II卷、填空題：本大題共3小題，每小題5分(13 ) 10(14 ) (15) 4(16 ) y 2x3三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)1 1解：(I)由題息得a2 -,a3 5 分2 4()由a；(2an1 1)an2an1 0得 2%1(41)an(an1).a因為an的各項都為正數(shù)，所以 n 1an一11故an是首項為1,公比為一的等比數(shù)列，因此 an 12分22n 1(18)(本小題滿分12分)解：(I)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得72t 4,(tt)i 1728,(y y) 0

12、.55,i 1(ti 1t)( y y)ti yii 140.17 4 9.32 2.89 ,2.890.99.0.55 2 2.646因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99 ,說明y與t的線性相關(guān)程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(II)由 y932 1.331 及(I)得 b?77(ti t)(yiy)i 172(ti t)2i 12.89 0.103, 281.331 0.103 4 0.92.所以，y關(guān)于t的回歸方程為：？ 0.920.10t.10將2016年對應(yīng)的t 9代入回歸方程得：,0.92 0.10 9 1.82 .所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1

13、.82億噸12 分(19)(本小題滿分12分)2解：(I)由已知得 AM -AD 2 ,取BP的中點T ,連接AT,TN ,由N為PC中點知 31 -TN / BC , TN -BC 23 分2又AD/ BC ,故TN平行且等于AM ,四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN /AT .因為AT 平面PAB , MN 平面PAB ,所以MN 平面PAB6 分(n)因為PA 平面ABCD, N為PC的中點,1 _.所以N到平面ABCD的距離為-PA9 分2取BC的中點E ,連結(jié)AE .由AB AC 3得AEbc, ae Jab2 be2 5.由AM / BC得M到BC的距離為寸5，故S bCmBCM

14、1所以四面體N BCM的體積Vn bcm 1 S BCM31 452PA 4 52 32 5.12(20)(本小題滿分12分)1 .解：(i)由題設(shè) F(5，0).設(shè)l1:y a,l2:y b ,則 ab 0,且22a b11a b、2 ).A(； ,0),B(b2 ,b),P( ；,a),Q( ；,b),R(記過A,B兩點的直線為l ,則l的方程為2x(ab)y ab 0.(I)由于F在線段AB上，故1 ab 0.記AR的斜率為ki, FQ的斜率為k2,則kia b a b1ab221aa abaab k2.所以 AR / FQ .(n)設(shè)l與x軸的交點為D(x,0),一 11則 Sabf

15、21b a|FD| -|ba xiPQF由題設(shè)可得-|b a|x1所以x1(舍去)，x11.設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y).當AB與x軸不垂直時，由kAB kDE可得I, x 11).而ab y ,所以y2 x21(x 1).當AB與x軸垂直時，E與D重合.所以,所求軌跡方程為1.12 分(21)(本小題滿分12分)解：(I)由題設(shè)，f(x)的定義域為(0,)，f (x)0,解得x 1 .當0 x 1時，f (x) 0 , f (x)單調(diào)遞增；當x 1時,f (x)0, f(x)單調(diào)遞減.(n)由(i)知， f (x)在x 1處取得最大值,最大值為f(1)0.即1 x 1 ln x1 c

16、xlnc,令 g'(x) 0,所以當x 1時，ln x x 1.11故當 x (1,)時，lnx x 1, ln - - 1, x x(m)由題設(shè) c 1,設(shè) g(x) 1 (c 1)x cx,則 g'(x) c22.解:23.解:c 1 ln解得x0lncln c當 x Xo 時，g'(x)減.c 1由(n)知，1 ln c所以當x (0,1)時,_ , ' 、0 , g(x)單倜遞增；當 x %時，g (x)c,故 0 Xo 1,又 g(0)g(1) 0,故當 0(c 1)x cx.12分(本小題滿分10分)選修(I)連結(jié)PB, BC ,則因為AP BP ,

17、所以又 PFD BFDPCD 60 .(n)因為 PCD4-1 :幾何證明選講BFD PBA BPD,PCD PCBPBA180 ,PCB,又 BPDBCD ,所以PFB所以圓，其圓心既在CE的垂直平分線上,以 3 PCDPCD EFD0 , g(x)單調(diào)遞x 1 時，g(x) 0.180 ,由此知BCD.BFD PCD.C,D,F,E四點共又在DF的垂直平分線上，故G就是過C,D,F,E四點的圓的圓心，所以 G在CD的垂直平分線上，因此 OG CD.(本小題滿分10分)選修4-4 :(I) Ci的普通方程為2x 2一y3(n)由題意，可設(shè)點最小值,d()當且僅當產(chǎn)坐標系與參數(shù)方程1,P的直角坐標為C2 的| 3cos sin 4|2C2的直角坐標方程為(3 cos,sin )，因為C2是直線，所以| PQ|的d()2|sin( 3)2|.2k -(k Z)時，d()取得最小值，最小值為 *2,此時P的直角坐標3