從圓到橢圓,一個(gè)不得不說(shuō)的性質(zhì)

1、從圓到橢圓，一個(gè)不得不說(shuō)的性質(zhì)思考：請(qǐng)將圓中的其它性質(zhì)類(lèi)比到橢圓中，進(jìn)行探究.1、圓的垂徑定理： 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦.類(lèi)比：橢圓中， 過(guò)中心平分橢圓弦的直線(xiàn)與弦所在直線(xiàn)的斜率之積是否為一定值？（假 設(shè)它們的斜率存在）；2、圓的重要性質(zhì)：圓的一條直徑的兩端點(diǎn)與圓上除這兩個(gè)端點(diǎn)外的任一點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率之 積為定值。類(lèi)比：橢圓中，過(guò)橢圓中心的一條弦的兩端點(diǎn)與橢圓上除這兩個(gè)端點(diǎn)外的任一點(diǎn)的連線(xiàn) 的斜率之積是否為一定值？3、圓的切線(xiàn)定理： 過(guò)切點(diǎn)的直徑垂直于圓的切線(xiàn).類(lèi)比：橢圓中， 橢圓上一點(diǎn)與中心連線(xiàn)的斜率與該點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率之積是否為一定值？ （假設(shè)它們的斜率存在）.命題1和2是一致的，命

2、題 3是命題1的極限狀態(tài)。22結(jié)論1：橢圓與 / i（a b o）長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與橢圓上除這兩個(gè)頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)連線(xiàn) a b斜率之積為.思考：能否對(duì)結(jié)論1作一般性推廣？結(jié)論如何?2_ 1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于P, A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作X軸的垂線(xiàn)，垂足為 C,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) B.設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為k.(1)若直線(xiàn)PA平分線(xiàn)段NM時(shí)，求k的值;(2)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離d ;X22結(jié)論2:橢圓勺 4 1(a b 0)上任意經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)與橢圓上的任一點(diǎn)(除 a b這兩點(diǎn)外)連線(xiàn)斜率之積為 拓展運(yùn)用(江蘇2011高考第18題)2如圖，在平面直角

3、坐標(biāo)系xOy中，M,N分別是橢圓 y(3)對(duì)任意的k> 0,求證：PA! PB.你能利用我們所探究的結(jié)論來(lái)解決(3)嗎?2思考1：（4）如圖，若D為橢圓二1的右頂點(diǎn)，直線(xiàn) AD、PD交直線(xiàn)x 3于E,F兩點(diǎn)，則EF的最小值為你能利用我們所探究的結(jié)論來(lái)解決（4）嗎?4思考2:以江蘇2011年高考試題第18題為例，能否對(duì)第（3）問(wèn)的結(jié)論作一般性研究？即22對(duì)于橢圓x_ 2_ 1（a b 0）,滿(mǎn)足題設(shè)的PA PB的斜率乘積是否為定值? a2 b2練習(xí)：1 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，F(xiàn)i, F2分別為橢圓2 2 41(a b 0)的左、右焦點(diǎn)，B, C分別為橢圓的 a b上、下頂點(diǎn)，

4、直線(xiàn) BF2與橢圓的另一交點(diǎn)為 D.若12cos F1BF27,則直線(xiàn)CD的斜率為 一2525解答：由cos F1BF2 染 結(jié)合余弦定理，可得橢圓離心率為25而后利用橢圓圓周角性質(zhì)定理易得結(jié)果。2.一 x2橢圓一42y 1與x軸交與A, B兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，直線(xiàn)PA, PB分別與直線(xiàn)3.10、一父與3已知橢圓M , N兩點(diǎn),、，一一，14、M,N兩點(diǎn)，問(wèn)以MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？定點(diǎn)為 (一 ,0)，(2,0)3(1)2y 1的左頂點(diǎn)為當(dāng)直線(xiàn)AM斜率為(2)當(dāng)直線(xiàn)AM斜率為k時(shí)，直線(xiàn)A,過(guò)A作兩條互相垂直的弦1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)AMAN交橢圓于MN是否過(guò)x軸上的(2)由(1)知MN過(guò)定

5、點(diǎn)(-0)5， 1AM : y k(x 2), AN : y (x 2) K由I Yix 4y2)4x2 4k2 (x2)222(1 4k2)x2-2i6k2x-2i6k2 40,2xMi6k2 4i 4k2XmyM2 8k2 i 4k2 4ki 4k22 8k24ki 4k2 i 4k22k2 8N(k2 44kk2 4)Q P(一,0)kPM54ki 4k22 8k2i 4k24k8k2 5(i 4k2)20ki6 i6k25k4 4k24kkPNk22 k220k5k28 6 i6k i64 4k2kPMkPNk2 45思考:坐標(biāo)平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A, B和動(dòng)點(diǎn)P ,如果直線(xiàn)PA, PB的

6、斜率之積為定值 m，試討論點(diǎn)P的軌跡.24:已知A, B是橢圓 y2 i上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，直線(xiàn)PA, PB分 4別與x軸交于點(diǎn)M (m,0), N(n,0)兩點(diǎn)，求證： mn為定值解：設(shè) A(xi, yi), B(xi， yi), P(x0, y0), M (m,0), N(n,0)y0X0 myiy X0XiX0y°(xi xO) m yi V。mX0y(o (xiX0)x。0y0Xiyoyi yoXo nyoxo nXiXoyi(Xi yoXo)yo(XiXo)Xo yiyoXin Xo yiyoyiy。mn2222Xo yiyo Xi22yiyo22、22、yi (4 4yo ) yo (4 4x1)22yiyo224yi4yo2yi