高中數(shù)學(xué)人教版必修四常見(jiàn)公式及知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)總結(jié)(全)

1、必修四?？脊郊案哳l考點(diǎn)第一部分 三角函數(shù)與三角恒等變換考點(diǎn)一 角的表示方法1.終邊相同角的表示方法：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合：|= k·360 °+,kZ 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合為| k·360 °<<k·360 °+90 °,kZ 第二象限角的集合為| k·360 °+90 °<<k·360 °+180 °,kZ 第三象限角的集合為| k·360 °+180 °&l

2、t;<k·360 °+270 °,kZ 第四象限角的集合為| k·360 °+270 °<<k·360 °+360 °,kZ 3.終邊在某條射線、某條直線或兩條垂直的直線上(如軸線角)的表示方法：（1）若所求角的終邊在某條射線上，其集合表示形式為|= k·360 °+,kZ ,其中為射線與x軸非負(fù)半軸形成的夾角（2）若所求角的終邊在某條直線上，其集合表示形式為|= k·180 °+,kZ ,其中為直線與x軸非負(fù)半軸形成的任一夾角（3）若所求角的終邊

3、在兩條垂直的直線上，其集合表示形式為|= k·90 °+,kZ ,其中為直線與x軸非負(fù)半軸形成的任一夾角例：終邊在y軸非正半軸上的角的集合為|= k·360 °+270 °,kZ 終邊在第二、第四象限角平分線上的集合為|= k·180 °+135 °,kZ 終邊在四個(gè)象限角平分線上的角的集合為|= k·90 °+45 °,kZ 易錯(cuò)提醒：區(qū)別銳角、小于90度的角、第一象限角、090、小于180度的角考點(diǎn)二 弧度制有關(guān)概念與公式1.弧度制與角度制互化，1弧度2.扇形的弧長(zhǎng)和面積公式（分別

4、用角度制、弧度制表示方法）弧長(zhǎng)公式：, 其中為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)扇形面積公式：= R2|, 其中為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)易錯(cuò)提醒：利用S= R2|求解扇形面積公式時(shí)，為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)，不可用角度數(shù)規(guī)律總結(jié)：“扇形周長(zhǎng)、面積、半徑、圓心角”4個(gè)量，“知二求二”，注意公式選取技巧考點(diǎn)三 任意角的三角函數(shù)1.任意角的三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么，（）；化簡(jiǎn)為.2.三角函數(shù)值符號(hào) 規(guī)律總結(jié)：利用三角函數(shù)定義或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口訣記憶象限角或軸線角的三角函數(shù)值符號(hào).3.特殊角三角函數(shù)值 除此之外，還需記住150、750的正弦、余弦、正切值4.三角函數(shù)線

5、yOxyOxa終邊 yOxyOxPMATPMAT正弦線余弦線正切線PPMATPMATa終邊 a終邊 a終邊 經(jīng)典結(jié)論：(1)若，則(2)若，則(3)例：在單位圓中分別畫出滿足sin、cos、tan1的角的終邊，并求角的取值集合考點(diǎn)四 三角函數(shù)圖像與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心無(wú)對(duì)稱軸考點(diǎn)五 正弦型（y=Asin(x)）、余弦型函數(shù)（y=Acos(x)）、正切性函數(shù)（y=Atan(x)）圖像與性質(zhì)1.解析

6、式求法（1）yAsin(x)B 或y=Acos(x)B解析式確定方法字母確定途徑說(shuō)明A由最值確定AB由最值確定B由函數(shù)的周期確定相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為半個(gè)周期，最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)差的絕對(duì)值為0.25個(gè)周期由圖象上的特殊點(diǎn)確定可通過(guò)認(rèn)定特殊點(diǎn)是五點(diǎn)中的第幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后列方程確定；也可通過(guò)解簡(jiǎn)單三角方程確定A、B通過(guò)圖像易求，重點(diǎn)講解、求解思路：求解思路：代入圖像的確定點(diǎn)的坐標(biāo).如帶入最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)，則或，求值易錯(cuò)提醒：y=Asin(x)，當(dāng)>0，且x=0時(shí)的相位（x+=）稱為初相.如果不滿足>0，先利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形，使之滿足上述條件，再

7、進(jìn)行計(jì)算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600求解思路：利用三角函數(shù)對(duì)稱性與周期性的關(guān)系，解.相鄰的對(duì)稱中心之間的距離是周期的一半；相鄰的對(duì)稱軸之間的距離是周期的一半；相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是周期的四分之一.2.“一圖、兩域、四性”“一圖”：學(xué)好三角函數(shù)，圖像是關(guān)鍵。易錯(cuò)提醒：“左加右減、上加下減”中“左加右減”僅僅針對(duì)自變量x，不可針對(duì)-x或2x等.例：“兩域”：(1) 定義域求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象或數(shù)軸法來(lái)求解.(2) 值域(最值)：a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域.b.化一法：化為y=Asin

8、(x+)+k的形式逐步分析x+的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值).c.換元法：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，化為求一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題. 例：1.y=asinx2+bsinx+c2.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx23.y=(asinx+c)/(bcosx+d)4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c“四性”：(1)單調(diào)性 函數(shù)y=Asin(x+)(A>0, >0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由2k-<x+<2k，kZ解得, 單調(diào)遞減區(qū)間由2k+<x+<2 k1.5，kZ解得;函數(shù)y=A

9、cos(x+)(A>0, >0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由2k+<x+<2k2,kZ解得, 單調(diào)遞減區(qū)間由2k<x+<2 k，kZ解得;函數(shù)y=Atan(x+)(A>0, >0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由k-<x+<k，kZ解得,. 規(guī)律總結(jié)：注意、A為負(fù)數(shù)時(shí)的處理技巧(2)對(duì)稱性函數(shù)y=Asin(x+)的圖象的對(duì)稱軸由x+= k(kZ)解得,對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由x+= k(kZ)解得;函數(shù)y=Acos(x+)的圖象的對(duì)稱軸由x+= k(kZ)解得,對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由x+=k(kZ) 解得;函數(shù)y=Atan(x+)的圖象的對(duì)稱中心由x+= k(kZ

10、)解得. 規(guī)律總結(jié)：可以是單個(gè)角或多個(gè)角的代數(shù)式.無(wú)需區(qū)分、A符號(hào).(3)奇偶性函數(shù)yAsin(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)，函數(shù)yAsin(x)，xR是偶函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAcos(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAcos(x)，xR是偶函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAtan(x)，xR是奇函數(shù)(kZ)規(guī)律總結(jié)：可以是單個(gè)角或多個(gè)角的代數(shù)式.無(wú)需區(qū)分、A符號(hào). (4)周期性函數(shù)yAsin(x)或yAcos(x)的最小正周期T，yAtan(x) 的最小正周期T.考點(diǎn)六 常見(jiàn)公式常見(jiàn)公式要做到“三用”：正用、逆用、變形用1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；=2.三角函數(shù)化簡(jiǎn)思路：“去負(fù)、脫周、化銳”（1

11、）去負(fù)，即負(fù)角化正角：sin(-a)=-sina； cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；（2）脫周，即將不在（0,2）的角化為（0,2）的角：sin(2k+a)=sina； cos(2k+a)=cosa；tan(2k+a)=-tana；（3）化銳，即將在（0,2）的角化為銳角：6組誘導(dǎo)公式，口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限. 均化為“k/2±a”,做到“兩觀察、一變”。一觀察：k是奇數(shù)還是偶數(shù)；二觀察：k/2±a終邊所在象限，再由k/2±a終邊所在象限，確定原函數(shù)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù).一變：正弦變余弦、余弦變正弦、正切利用商的關(guān)系變換. 其中公式（1）也

12、可理解為終邊相同角的三角函數(shù)值相同，公式（3）也可按照函數(shù)奇偶性理解3.兩角和差公式；, 4.二倍角公式；，二倍角公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式，當(dāng)=時(shí)的特殊情況倍角是相對(duì)的，如0.5是0.25的倍角，3是1.5的倍角5.升降冪公式（升冪縮角）.（降冪擴(kuò)角），6.輔助角公式=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ，- <<).7.半角公式sin=±；cos=± tan=；tan=8.其它公式1+sin a =(sin+cos)2；1-sin a = (sin-cos)29.萬(wàn)能公式sin a=；cos a=；tan a=10.和差化積 sin a+sin b=2

13、sincos；sin a-sin b = 2cossincos a+cos b = 2coscos；cos a-cos b = -2sinsintan a+tan b =11.積化和差 sinAsinB =-cos(A+B)-cos(A-B)；cosAcosB =cos(A+B)+cos(A-B)sinAcosB =sin(A+B)+sin(A-B)；cosAsinB =sin(A+B)-sin(A-B)12.三倍角公式；13.常見(jiàn)計(jì)算技巧（1）簡(jiǎn)單的三角方程的通解.特別地,有.（2）最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集.例：已知sin>、cos>、tan>1、sin<- 、co

14、s<- 、tan<1,分別求出的取值范圍14.三角形中三角函數(shù)關(guān)系在ABC中，有.；tan(A+B)=-tanC;等15.三角函數(shù)化簡(jiǎn)的常用技巧1.三角函數(shù)化簡(jiǎn)要做到“四看、四變”(1)看角、做好角的變換：觀察角與角之間和、差、倍、互補(bǔ)、互余等關(guān)系，采取誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、倍角公式、拼湊角等辦法化簡(jiǎn).(2)看名、做好名的變換：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系實(shí)現(xiàn)弦切互化，掌握弦的一次齊次式或二次齊次式化簡(jiǎn)方法(3)看次數(shù)、做好次數(shù)的變換：利用升降冪公式實(shí)現(xiàn)擴(kuò)角降次、縮角升次(4)看形、做好形的變換：利用輔助角公式，統(tǒng)一函數(shù)形式2.具體技巧(1)遇分式通分、遇根式升冪.(2)和積轉(zhuǎn)換法掌

15、握sin ±cos ，sin cos 化簡(jiǎn)方法，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，“知一求二”(3)巧用“1”的變換1sin2cos2tan450sincos 0.3.四種常見(jiàn)題型給角求值、給值求值、給值求角，輔助角公式若角的范圍在（0,90），選擇正弦、余弦函數(shù)均可；若角的范圍在（0,180），選擇余弦函數(shù)較好；若角的范圍在（-90,90），選擇正弦函數(shù)較好；第二部分 平面向量考點(diǎn)一 向量的有關(guān)概念1.向量：既有大小又有方向的量，用黑體小寫字母或用起點(diǎn)終點(diǎn)的大寫字母表示2.向量的模：有向線段的長(zhǎng)度，|a|3.單位向量：模為1的向量.與a平行的單

16、位向量：±a/|a|；與a同向的單位向量：a/|a|；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)4.零向量：模為0的向量，方向是任意的.注意實(shí)數(shù)0與向量0的區(qū)別5.相等向量：長(zhǎng)度相等、方向相同.對(duì)向量起點(diǎn)和終點(diǎn)不作要求,可在平面內(nèi)任意平移6.相反向量：長(zhǎng)度相等、方向相反.對(duì)向量起點(diǎn)和終點(diǎn)不作要求,可在平面內(nèi)任意平移7.共線向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，對(duì)長(zhǎng)度不作要求易錯(cuò)提醒：1.有向線段與向量的區(qū)別：向量可用有向線段來(lái)表示，每一條有向線段對(duì)應(yīng)著一個(gè)向量，但每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)多條有向線段. 向量只有兩要素:方向和大小;而有向線段有三要素:起點(diǎn)、方向和大小2.共線向量（平行向量）可重合，注意與直線

17、平行的區(qū)別；不要單純從字面上理解共線向量，注意與直線重合的區(qū)別3.規(guī)定零向量與任意向量平行；不可說(shuō)零向量與任意向量垂直4.零向量與單位向量的特殊性：長(zhǎng)度確定、方向任意.a/b, b/ c,不一定推出a/c; a=b, b= c,一定推出a=c6.向量不可以比較大小，如不能得出3i>2i考點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算1.向量的加法法則（1）平行四邊形法則：共起點(diǎn)，指向?qū)蔷€；起點(diǎn)相同、終點(diǎn)相同，首尾相連、路徑不限（2）三角形法則：首尾相連，可理解為“條條大路通羅馬”2. 向量的減法原則：起點(diǎn)相同、指向被減 (a+b)= OC , (a-b)= BA兩個(gè)向量共線只可用三角形法則；封閉圖形、首尾相連、

18、相加為零3.向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量的積叫做向量的數(shù)乘，記作其幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮（1）（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，4.a與b的數(shù)量積運(yùn)算a·b=|a|b|cos=|a|b|cos<a,b>=x1x2+y1y2（1）|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影（2）a·b的幾何意義：a·b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積（3）為a與b的夾角，0（4）零向量與任一向量的數(shù)量積為（5）a

19、·b=-b·a（6）向量沒(méi)有除法，“a/b”沒(méi)有意義,注意與復(fù)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別（7）向量的加法、減法、數(shù)乘結(jié)果為向量，向量的數(shù)量積結(jié)果為實(shí)數(shù)易錯(cuò)提醒：向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別：（1）向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(ab)ca(bc)（2）向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c（3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b（4）|ab|a|b|考點(diǎn)三 向量的運(yùn)算律1.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1

20、) a·b= b·a （交換律）;(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.考點(diǎn)四 向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量基本定理  如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2不共線的向量（隱含另一條件為非零向量，基底不唯一）e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底該定理作用：證明三點(diǎn)共線、兩直線平行或兩個(gè)向量a、b共線.解題思路：可用兩個(gè)不共線的向量e1、e

21、2表示向量a、b，設(shè)b=a（a0），化成關(guān)于e1、e 2的方程，即f() e1+g() e2=0,由于e1、e 2不共線，則f()=0，g() =02.向量的坐標(biāo)表示表示(1)設(shè)a=,b=，則a+b=(2)設(shè)a=,b=，則a-b= (3)設(shè)(4)設(shè)a=,b=，則a·b=|a|b|cos=xx2+y1y2（5）設(shè)A，B,則（6）易錯(cuò)提醒：公式（2）與公式（5）的區(qū)別向量坐標(biāo)與該向量有向線段的端點(diǎn)無(wú)關(guān)，僅與其相對(duì)位置有關(guān)考點(diǎn)四 向量的常見(jiàn)公式1.線段的定比分公式 （1）定比分點(diǎn)向量公式：設(shè)，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則的坐標(biāo)是，即（）.（2）定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：，2.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.3. A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三點(diǎn)共線OC=OA +OB ,且+=1 (x1-x2)(y2-y3)= (x2-x3) (y1-y2)等4. 向量的三角形不等式和方程（1）a-ba+ba+b  當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)