高等數(shù)學(xué)(二)復(fù)習(xí)指導(dǎo)-第10章曲線積分與曲面積分

1、v1.0可編輯可修改第十章 曲線積分與曲面積分一、基本要求及重點(diǎn)、難點(diǎn)1 .基本要求(1) 了解第一類曲線積分 (即對弧長的曲線積分) 的概念及其物理與幾何意義，并掌握其計(jì)算方法。(2) 了解第二類曲線積分 (即對坐標(biāo)的曲線積分) 的概念及物理意義， 并掌握其計(jì)算方 法，能熟練應(yīng)用曲線積分計(jì)算力場沿曲線所做的功。(3) 掌握格林公式的條件和結(jié)論，熟練掌握利用格林公式把第二類曲線積分化為二重積分的計(jì)算方法，及掌握通過添加輔助曲面利用格林公式改變積分路徑的計(jì)算方法。(4) 掌握在單連通區(qū)域上第二類曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件及其應(yīng)用，會求全微分的原函數(shù)。(5) 了解第一類曲面積分 (即對面積的曲線

2、積分) 的概念及其物理與幾何意義，并掌握其計(jì)算方法。(6)掌握高斯公式的條件與結(jié)論，并會利用高斯公式計(jì)算第二類曲面積分。2 .重點(diǎn)及難點(diǎn)(1)重點(diǎn)：(a)熟練選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程或坐標(biāo)系將曲線積分化為定積分。(b)熟練掌握用投影法將曲面積分化為二重積分。 格林公式(熟練使用格林公式計(jì)算曲線積分)。(d)曲線積分與路徑無關(guān)的概念及條件。(e)高斯公式(熟練使用高斯公式計(jì)算曲面積分)(2)難點(diǎn)：(a)兩類曲線積分的關(guān)系。(b)格林公式的靈活使用(條件、結(jié)論；輔助曲線的添加) (C)高斯公式的靈活使用(條件、結(jié)論；輔助曲面的添加)二、內(nèi)容概述1、曲線積分的基本概念與性質(zhì) (1)對弧長的曲線積分(又稱第

3、一類曲線積分)定義 設(shè)f(x,y)在xCy面內(nèi)的光滑曲線L上有界.第一類曲線積分為n f(x, y)ds lim f( , ,) s (見課本). L0i i為空間曲線時(shí)，類似地有nf(x, y,z)ds lim0f( i, i, J s .i 1物理意義設(shè)曲線L的線密度為(x,y),則其質(zhì)量為M L (x, y)ds性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)L f(x,y)g(x, y) ds Lf(x, y)ds Lg(x, y)dsl kf (x, y)ds k L f (x,y)ds 其中 k為常數(shù).性質(zhì)對弧長的曲線積分與積分路徑的走向無關(guān)，即f (x, y)ds f(x, y)ds .LL性質(zhì)對積分路徑具有可加性

4、，即f (x,y)ds f(x, y)dsI L1f(x, y)ds f(x,y)ds其中LII L2111(2)對坐標(biāo)的曲線積分(又稱第二類曲線積分)定義 設(shè)P(x,y),Q(x, y)在xCy面內(nèi)的有向光滑曲線 L上有界. nLP(x, y)dx Q(x, y)dylim。P( i, i) Q( i, i) yii 158v1.0可編輯可修改為空間曲線時(shí)，類似地有P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz n呵 P( i, i, i) xi Q( i, i, i) yi R( i, i, i) 4 . 0 i 1物理意義變力F P(x, y) i* Q(x, y)j沿

5、曲線L所作的功為W L P(x,y)dx Q(x,y)dy .性質(zhì)1對坐標(biāo)的曲線積分與積分路徑的方向有關(guān)，即P(x,y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy . LL性質(zhì)2對積分路徑具有可加性，即P(x,y)dx Q(x,y)dy P(x,y)dx Q(x, y)dy LL1LP(x,y)dx Q(x,y)dy LP(x,y)dx Q(x,y)dy其中 L L1 L2 Lk .(3)兩類曲線積分之間的關(guān)系平面曲線L上兩類曲線積分有如下關(guān)系L P(x, y)dx Q(x, y)dy LP(x, y)cos Q(x,y)cos ds其中(x,y), (x,y)為平面有向

6、曲線L上點(diǎn)(x,y)處的切線向量的方向角.空間曲線上兩類曲線積分有如下關(guān)系P(x, y, z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz P(x,y,z)cos Q(x, y, z)cos R(x, y, z)cos ds其中(x,y,z), (x, y, z), (x, y, z)為空間有向曲線上點(diǎn)(x, y, z)處切向量的方向角.2、曲線積分的計(jì)算公式(1)對弧長的曲線積分(1)設(shè)函數(shù)f(x,y)在平面曲線L : x (t), y (t), t 上連續(xù) 59v1.0可編輯可修改L f (x, y)ds(2)設(shè)平面曲線L的方程為y y(x),(ax b)且y (x)在區(qū)間a,b上連

7、續(xù)，則，(t)在區(qū)間 ,上連續(xù)，且 2(t)2(t) 0 ,則22f (t),(t) (t)(t) dt88b2f (x, y)ds f x,y(x) . 1 y(x) dxla、(3)設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線 ：x (t), y(t), z (t), ( t )上連續(xù)，(t),(t),(t)在區(qū)間，上連續(xù)，且 2(t)2(t)2(t) 0 ,則222f(x,y,z)ds f (t),(t), (t) .(t)(t)(t) dt注意化對弧長的曲線積分為定積分時(shí)(2)對坐標(biāo)的曲線積分(1)設(shè)函數(shù)P(x, y), Q(x, y)在有向曲線x (t), y (t), t :,即 為有向曲線L

8、的始點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值， 為端點(diǎn)的區(qū)間上連續(xù)，2(t)2(t) 0LP(x, y)dx Q(x, y)dy P(,定積分的上限一定比下限大.L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：為其終點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值.且 (t), (t)在以,則(t),(t) (t) Q( (t), (t)(t) dt(2)若L是由方程y (x)給出，l的始點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,終點(diǎn)的橫坐標(biāo)為b,(x)具 有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則bP(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, (x) Q(x, (x) (x) dx la(3)類似地，對于空間曲線 ：x (t), y (t),z(t)P(x, y, z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)d

9、zP (t),(t),(t)dtQ (t), (t), (t) (t)dtR (t),(t), (t) (t)dt為有向曲線的始點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值，為其終點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值.(3)二元函數(shù)的全微分求積Pdx Qdy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x,y)的全微分，且有u(x, y)xP(x,y°)dx x)yQ(x, y)dy ,(如圖(a)yoy或xoyxP(x, y)dx,(如圖(b).B(xo,y) C(x, y)A(x), yo)x圖(b)，且一P -Q ,則y x3、曲線積分的有關(guān)定理定理1(格林公式)設(shè)閉區(qū)域D是由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x, y), Q(x, y)在D上具有連續(xù)的一階

10、偏導(dǎo)數(shù)，則有:Pdx Qdy ld x ydxdy設(shè)函數(shù) P(x, y) , Q(x, y)在單連通域 G內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)其中L是D的取正向的邊界曲線.定理2 (平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件)設(shè)函數(shù)P(x,y), Q(x,y)在單連通域G內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)D LPdx Qdy與路徑無關(guān)，即l Pdx QdyPdx Qdy ,Li，其中L、Li為G內(nèi)具有相同始點(diǎn)和終點(diǎn)任意曲線; Pdx Qdy 0,其中L為g內(nèi)的任意閉曲線；L P Q , 一，D 在G內(nèi)恒成立; Pdx Qdy du(x,y)，即Pdx Qdy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x, y)的全微分.4、曲面積分的基本

11、概念與性質(zhì)(1)對面積的曲面積分(又稱第一類曲面積分)定義 設(shè)f (x, y,z)在光滑曲面上有界.nf(x,y,z)dS lim f( i, i, i) S (極限存在時(shí)).0ii物理意義 設(shè)曲面的面密度為(x, y, z),則其質(zhì)量為M(x,y,z)dS .性質(zhì) 設(shè)曲面 i 2 |口 k, i(i 1,2,|,k)都是光滑的，則f(x,y,z)dS f(x, y,z)dSf (x, y, z)dSf(x,y,z)dS12k(2)對坐標(biāo)的曲面積分(又稱第二類曲面積分)指定了側(cè)的曲面稱為 有向曲面.定義 設(shè)P(x, y, z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在有向光滑曲面上有界.nP

12、(x, y,z)dydz lim P( i, i, i)( 3)yz (極限存在時(shí)) 0 i 1nQ(x, y,z)dzdx lim。Q( i, i, i)( S)zx (極限存在時(shí))0 i 1nR(x,y,z)dxdy li”R( i, i, i)( Si)xy (極限存在時(shí))0 i 1其中(i, i, i)是任意分割有向曲面為n片小曲面后，所得到的第i片小曲面Si上的任意一點(diǎn)，(Si)xy,( Si)yz,( Si)zx分別為Si在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.為n片小曲面Si (i 1,2|,n)的直徑中的最大者.曲面 在點(diǎn)(i, i, i)處的單位法向量為 n cos ii' cos i

13、 j cos ik(Si)yz cos i Si,( Si)zx cos i Si,( Si)xy cos i §.物理意義 穩(wěn)定流動的不可壓縮的流體(密度 1),如果在點(diǎn)(x, y,z)處的流速是V P(x, y,z) i Q(x,y,z)j R(x, y,z)k ,則單位時(shí)間內(nèi)流過曲面一側(cè)的流量為Pdydz Qdzdx Rdxdy .性質(zhì)1設(shè)曲面 12川 k,則Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy1Pdydz Qdzdx Rdxdy | | Pdydz Qdzdx Rdxdy. 2k性質(zhì)2設(shè) 表示與取相反側(cè)的有向曲面，則Pdydz Qdzdx R

14、dxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy(3)兩類曲面積分之間的關(guān)系 空間曲面上的兩類曲面積分有如下關(guān)系Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )dS其中cos ,cos ,cos 是有向曲面 上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向余弦.5、曲面積分的計(jì)算公式(1)對面積的曲面積分設(shè)光滑曲面的方程是z z(x, y),在坐標(biāo)面xoy上的投影區(qū)域?yàn)?Dxy ,則f(x,y,z)dS f x, y, z(x, y) .1 z2 z2dxdy Dxy設(shè)光滑曲面的方程是y y(x,z),在坐標(biāo)面xoz上的投影區(qū)域?yàn)?Dxz,則f(x, y,z)dS f x,y(x,z)

15、,z , 1 y2 y；dxdz Dxz設(shè)光滑曲面的方程是x x(y,z),在坐標(biāo)面yoz上的投影區(qū)域?yàn)?Dyz ,則f(x,y,z)dS fx(y,z),y,z . 1 xj x2dydzDyz(2)對坐標(biāo)的曲面積分設(shè)光滑曲面 的方程是z z(x,y),在坐標(biāo)面xoy上的投影區(qū)域?yàn)?Dxy ,取上(下)側(cè)，貝UR(x,y,z)dxdy R x, y, z(x, y) dxdyDxy其中，取上側(cè)時(shí)為正，取下側(cè)時(shí)為負(fù).注意當(dāng)曲面是母線平行于z軸的柱面F(x,y) 0時(shí)，上任意一點(diǎn)的法向量與 z軸的夾角的余弦 cos cos- 0 , 2R(x, y, z)dxdy設(shè)光滑曲面 的方程是yy(x,z

16、),在坐標(biāo)面xoz上的投影區(qū)域?yàn)镈xz ,則Q(x,y,z)dzdxQ x, y(x, z), z dzdxDxz取右側(cè)時(shí)為正， 取左側(cè)為負(fù).設(shè)光滑曲面的方程是x x(y,z),在坐標(biāo)面yoz上的投影區(qū)域?yàn)?Dyz ,則P(x, y, z)dydzP x(y,z), y, z dydzDyz取前側(cè)時(shí)為正， 取后側(cè)為負(fù).6、曲面積分的有關(guān)定理定理1 (高斯公式)設(shè)空間閉區(qū)域 是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)P(x, y,z),Q(x,y,z), R(x, y,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有- Pdydz Qdzdx RdxdyP Q R dxdydz一 (Pcos Qcos Rcos )dSR

17、 dxdydz z其中 是 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，cos ,cos,cos 是上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦.三、典型例題分析例1:計(jì)算n e 1/-22"由y ds ,其中L為圓周x2a2 ,直線yx及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界.分析 由于曲線L分段光滑，所以先將L分為若干光滑曲線段之和，再利用曲線積分的可加性計(jì)算曲線積分.解：e e x2 y2dsUL-22ex y dsL1-2 2廠 2 2e x y ds e x y dsL2L1的方程為 y x, 0,2x a2ds 1 y 2(x)dx2lb'2ds0t 2e2xdxJ2_ae2xd(2x)L2

18、的方程為： x a cost, ya sin t,ds x 2(t)2 y2(t)dt(asint)2 (acost)2dtadt/x2 y2e dsL24 a4 ae dt0L3的方程為y0,(0 xy 2(x)dxdx .ex2 y, a x .ds e dx0所以P e x2 y2dsULx2 ye dslix-y1e dsL2x2 y2e dsL3a a12 ea 24例2 :具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x,y)應(yīng)滿足怎樣的條件才能 使曲線積分l f （x, y）（ydx xdy）與積分路徑無關(guān)。解：設(shè) P yf(x, y),Q xf(x,y)f(x, y) yfy(x, y)f(x, y

19、) xfx(x, y)P _Qy xy x(充要條件) y x例3:計(jì)算 I(x2 2xy)dx (x2 y4)dy,其中 L 為由點(diǎn) 0(0,0)到點(diǎn) A(1,1)的曲線y sin x.2解：由 I (x2 2xy)dx (x2 y4)dy,2(x 2xy) 2x, y一(x2 y4) 2x xQ,從而此曲線積分與路徑無關(guān)，取折現(xiàn), x故原式1 210xdx0(1y4)dy23o15a值，使曲線積分(x4AB4xya)dx (6xa1y2 5y4)dy 與路徑無關(guān),解：P x44-4xy Q-a 1 26x y5y4a 14xay6y2(a 1)xa 2例5：計(jì)算周x2解：a 14xayxL

20、(eax, y2a 26y (a 1)xmy)dx (excosyxx一 (e sin y my) e y4a=6(a-1)a=3m）dy,其中L為由點(diǎn)（a,0）到點(diǎn)（0,0）的上半圓cosy mxx(e cosy m) e cosy x （如右圖）xI LOAOA0 AMOA OAQAMOA( xP .)dxdy ydxdyOAdxx(em) 0AMOAOA例6:計(jì)算l(x22xy)dy ,其中2L是由A(a,0)沿二a2。1(y 0)至U B( a,0)的曲 b2線段。解：本題方法較多?？稍谥苯亲鴺?biāo)系下計(jì)算，分為取x為積分變量,取y為積分變量，亦可利用參數(shù)方程xa cost, y b si

21、n t 計(jì)算。（方法一）取y為積分變量，L需分為兩段：x2y 在2 ,有b/2-、，L(x 2xy)dya2(1dy22) 2ay2a2(1 紜2ay1方dy（方法二）取x為積分變量，L的方程為2y(x) bJ1 |y,dy y'(x)dxbyxdx,始點(diǎn) a y則有,2L(x 2xy)dyaa(x2一b2x2zy)()dxa yb2 a被積函數(shù)中，第一項(xiàng)是關(guān)于x的奇函數(shù)，第二項(xiàng)是關(guān)于b.12x2 dx2x2 ax的偶函數(shù)，于2 2L(x 2xy)dy4b2dx4ab2 3在方法二中，dy y' （x）dx0是無窮間斷點(diǎn)，由于原曲線積分存在，可知此廣義積分收斂，故能算出結(jié)果。這

22、種把曲線積分化成廣義積分的情形常會發(fā)生。（方法三）利用積分曲線的方程化簡被積表達(dá)式的方法求解，作法如下:由于22x y 2 TT a ba2(1Exdx,于 a2 .Lx dy2a (aL2 b2)dya 2a2(1029dy0,L2xydyL2X(x)dx a2 b22 aax2dx a4ab2, 3所以（方法四）將曲線L用參數(shù)方程表不，則有l(wèi)(x222 .2xy)dy 0 (a cos ta cost,bsint422absint cost) b costdt - ab。（方法五）利用格林公式計(jì)算。,24 . 2(x 2xy)dy -ab 。L3注：用不同方法計(jì)算曲線積分， 既可以比較不同

23、方法的繁簡，也有利于理解曲線積分的概念和訓(xùn)練計(jì)算技巧。例7：證明曲線積分(3,4)23(1Z (6xyy)dx（6x2y 3xy2）dy在整個(gè)坐標(biāo)面xoy上與路徑C(3,4)A(1,2)-B(3,2)且P,Q在坐標(biāo)面xoy上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)故曲線積分與路徑無關(guān)無關(guān)，并計(jì)算積分值解 P 6xy2 y3,Q 6x2y 3xy2 ,因?yàn)镻212xy 3y y(3,4)2322(12) (6xy y )dx (6x y 3xy )dy-(6xy2 y3)dx (6x2y 3xy2)dy- (6xy2 y3)dx (6x2y 3xy2)dyABBC323422(6x 22 23)dx (6 32 y 3

24、 3 y2)dy1280 156 236，求 u(x, y)例 8：設(shè) du (3x2y 8xy2)dx (x10：設(shè)為橢球面L 8x2y 12yey)dy解 設(shè) P 3x2y 8xy2,Q x3 8x2y 12yey, P 2Q _ ,由 3x 16xy ,所以 yxu(x, y)(x, y)22(3x y 8xy )dx(0,0)x y 3 20 dx (x 8x y00(x3 8x2y 12yey)dy 12yey)dy C1x3y 4x2y2 12ey(y 1) C,(C 12 C1)u(x, y)可能相差一個(gè)常數(shù)。注意 利用上述方法求函數(shù) u(x, y)時(shí)，選擇的起點(diǎn)不同求出的例9:

25、計(jì)算曲面積分 z2x4-，-y dS，其中 3一 x為平面一2在第一卦限的部分.x 0, yx0,一2由于所以在坐標(biāo)面xoy上的投影區(qū)域/221Zxzyz 2x 4y 3z 2xDxy 為:1,x 0, y1 ( 2)613x, y,z0 .dSdS4 61 dxdy 4、613 Dxy1的上半部分，點(diǎn)P(x, y,z)在點(diǎn)P處的切平面,(x, y,z)為點(diǎn) O(0,0,0)到平面的距離，試求(x,y,z)dS .解設(shè)（X,Y,Z）為上任意一點(diǎn)2 y_2X,Fyy,Fz 2z ,在點(diǎn)p處的切平面的方程為:x(X x) y(Y y)2z(Z z) 0xXyY zZ 12所以解:(x,y,z)在坐

26、標(biāo)面xOy上的投影區(qū)域記為Zxzy(x,y,z)dSDxyx212 y 2 z4Dxy ： x1 zj2zy2 x2 x22y2 y22 x2 x22y , 一2- dxdy y2(4Dxyy2)dxdy11 ：計(jì)算xdydz.20 (4)rdr 32ydzdxzdxdy ,其中為曲面zy2在第一象部分z 1）的上側(cè)（方法一）投影法（直接計(jì)算）Dyz , Dzx , Dxy分別表示在yOz平面、zOx平面、xOy平面的投影，相應(yīng)的方程分別是x vz y2 , y vz x2xdydz ydzdx zdxdyz y2dydz.z x2dxdz (xDyzDzxDxyy2)dxdy1 1 2-0d

27、y °.z ydz1dx02 .x dz2.rdr 一8（方法二）高斯公式此時(shí)要補(bǔ)上三個(gè)平面塊構(gòu)成封閉一一 火 曲面 ，所圍成的空間區(qū)域記為取內(nèi)側(cè),因此3dxdydzdxdyDxy3 02 d1rdr012dzr2dxdyDxy1r(12 0r2)dr 4（方法三）（化為第一類曲面積分）曲面塊方程z x2Zx2xzy2y ,從而cos2x1 4x2 4 y2cos2y4x2 4y2cosr14x2 4y2ds224x 4y dxdyI x,y, zcos,cos , cosdsDxy22x, y,x y 2x,2 y,1dxdy(Dxy2x22y222、x y )dxdy22(x y

28、 )dxdyDxy02d1 r2 rdr0例12:計(jì)算I2axdydz (z a) dxdy(x222 12y z )上側(cè)a 0解:axdydz (z2 ,a) dxdy ，補(bǔ)有向曲面0,a2取下側(cè),所以axdydz(z2”a) dxdy(z2”a) dxdy2 .a dxdy22-a(3a 2z)dxdydzs 1 4 (3a2 30zdz dxdy a2222x y a z=- a4022a 2 a z(a z )dza4四、自測題及解答(一)選擇題1、設(shè)L是起點(diǎn)為A(1,1)終點(diǎn)為B(2,2)的任意不通過原點(diǎn)的路徑，則xdx絆為(L x y(A) ln2 (B) 0(C) 2(D)In

29、22、設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連通域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 曲線積分Pdx Qdy在D域內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是()C(A)q上&上©)工上工上 x yy xy xx y3、記以點(diǎn) A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1) 為頂點(diǎn)的正方形為 ABCDA,則 結(jié)/為()ABCDA 岡 |y|(A) In2 (B) 2(C) 0(D) 1221,4、設(shè)l：、 i,則曲線積分口ydx xdy ()2222a b、幾2222 ,5、設(shè):x y z a ,(z 0) x y(A)與L的取向無關(guān)，與a,b的值有關(guān)(B)與L的取向無關(guān)，與a,b的值無關(guān)(C

30、)與L的取向有關(guān)，與a,b的值有關(guān)(D)與L的取向有關(guān)，與a,b的值有關(guān)i為在第一卦限的部分，則有()(A)xdS 4 xdS;1(C)zdS 4 xdS;11、設(shè)L為取正向的圓周x2y2(B) ydS 4 xdS;1(D)xyzdS 4 xyzdS.1(二)填空題29,則 (2xy 2y)dx (x 4x)dy =設(shè) C為逆時(shí)針方向的閉曲線，其方程為(x 1)2y2 1 ,則.,222(x y )dx (y 2xy)dyC3、設(shè)L為曲線x t, y t2,z t3依參數(shù)t增加的方向(0 t 1)上的一段弧，則22_2L( y z )dx 2ydy x dz=2c4、設(shè)C為閉域D的正向邊界閉曲

31、線，則 口(e y)dx (x sin y )dy可通過A表示為 c(A為D面積)5、 COS ,COS ,COS 是光滑閉曲面2的外法向量的方向余弦，又2所圍的空間閉區(qū)域?yàn)椋辉O(shè)函數(shù)P(x, y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由高斯公式,R二(- yQ、)cos z，PR、( 一)coszx,Q P、()cos ds=x y(三)計(jì)算題22 31、 I= L(x y z)ds，其中 L: x t, y t , z -t , 1 t 12、I= (x2 2y2)dx 4xydy,其中 L 是從 A(0,1)沿曲線 y snx 到 B( ,0)Lx3、證明：(2

32、xy y2)dx (x2 2xy y2)dy du(x, y),并求 u(x, y)。4、求質(zhì)點(diǎn)M (x, y)受作用力F (y 3x)(2y x)j沿路徑L順時(shí)針方向運(yùn)動一周所作的功。其中L為橢圓4x2 y245、計(jì)算 Jx2 y2ds，其中 L 為圓周 x2 y2 ax a 0。 u2226、設(shè)L是沿動圓周x y t的逆時(shí)針方向，計(jì)算含曲線積分的極限1 limt7 l(ax by)dx (mx ny)dy其中a,b, m, n為常數(shù)。7、計(jì)算 xdydz ydzdx zdxdy,其中是上半球面z <1 x2y2的上側(cè)。自測題參考答案（一）1、（A） 分析：積分與路徑無關(guān)2、（D）3、

33、（C）224、0)分析：因p 2 y 2 ,Q= 2 x 2 .且上 口一/,故在Lxy xy y x(xy)為邊界的區(qū)域 D內(nèi)，有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（0, 0）,可取C為不過原點(diǎn)但含于 L內(nèi)部并與L 同向的曲線，在 L與C所圍區(qū)域D1應(yīng)用格林公式:,Q P、，（ ）dxdy 口 Pdx Qdy 當(dāng)L C為D1正向閉曲線時(shí)，取+號，否則 d x yL C一一一Q P . Q P取-號。因 D1 上，-Q -P,從而（一Q -P）dxdy 0x yD1x y即口ydx xdy =,ydx xdy ,此積分與C的方向也即L的方向有關(guān)，但與 a,bL x y C x y無關(guān)。5、（C）（二）1、18

34、分析：由于 P 2XY 2Y,Q x2 4x故應(yīng)用格林公式，2Q P：(2xy 2y)dx (x 4x)dy = ()dxdy 2 d 18Ld x yd分析：設(shè)C所圍成的區(qū)域?yàn)?D,由于 P x2 y2,Q y2 2xyPQ 所以在D上， 2y 故應(yīng)用格林公式, yx222, Q P、-(x y )dx (y 2xy)dy = ( )dxdy 0Cd x y3、354、 2A一一x2.2 P . Q 分析：因P e y, Q x sin y .1, 1.由格林公式y(tǒng) x一, Q P原式二()dxdy 2 dxdy 2APdxdydz x（三）1、解：ds22dx dy- dt2dz dt .1 dt4t24t4dt (12t2)dtL(X122 32y z)ds 1(t t2 -t3)(1 2t2)dt32215P2、解：P x2 2y2,Q4xy.在 xoy 面內(nèi)，一y4y從而C Pdx Qdy在xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)取 0(0,