數(shù)學(xué)建模 液滴高度問題

1、2013年河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模選拔賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了數(shù)學(xué)建模選拔賽的規(guī)則.我們完全明白，在做題期間不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人研究、討論與選拔題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反選拔規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守選拔規(guī)則，以保證選拔的公正、公平性。如有違反選拔規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們選擇的題號是（從A/B/C中選擇一項填寫）： B 隊員簽名 ：1. 于蕊瑞 2. 高亞娟 3. 王澤龍 日期：2013年 08

2、月19日2013年河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽選拔編 號 專 用 頁評閱編號（評閱前進(jìn)行編號）：評閱記錄（評閱時使用）：評閱人評分備注液滴高度問題的求解一、摘要通過對題目的分析，結(jié)合所學(xué)熱工及其物理知識，排除不相關(guān)因素后，確立了以液體表面張力為研究重點的液滴接觸角模型。首先采用逆向思維可以分析出影響接觸角的因素有液體的表面張力，固體表面粗糙度，液體分子間的相互作用力以及氣體與液體間的作用力等。經(jīng)資料查證和經(jīng)驗分析可知，液體的表面張力是主導(dǎo)作用，因此確立表面張力系數(shù)就是此次研究的重點。通過對液體表面張力及溶液和水平面接觸角等的分析，建立了飽和高度和極限高度的數(shù)學(xué)表達(dá)式。同時，通過對水平固體表面上液滴

3、形態(tài)的合理性假設(shè)，利用幾何學(xué)關(guān)系，并通過定積分給出了液滴飽和體積計算方程，得到液體的飽和體積公式。由于溫度、液體密度、液體純度同時對表面張力、表面張力系數(shù)產(chǎn)生影響，于是選取在常溫下0度到180度的接觸角范圍內(nèi)分別選取幾個特殊數(shù)據(jù)點計算出了飽和高度、飽和體積、極限高度及極限高度和飽和高度的比值，同時畫出了完全不浸潤的情況下液滴在水平固體表面的形態(tài)，考慮到溫度對表面張力系數(shù)的絕對影響力，查資料得到液體表面張力系和溫度的關(guān)系，并將其帶入原來的模型，從而得到比較完整的求解模型。關(guān)鍵詞：液體表面張力  極限高度  Young方程 橢圓擬合 接觸角 飽和高度 飽和體積 飽和半徑二、問題

4、重述在物理實驗中發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象如下：測量放在一種固體材料的水平平面上具有不同體積的液滴在靜態(tài)時的高度時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)該液滴與固體的接觸角不變的情況下，隨著液滴體積的遞增，液滴的高度遞增，直到液滴體積達(dá)到某個（在此稱之為）飽和體積時，液滴高度達(dá)到最大值（在此稱之為飽和高度）。當(dāng)液滴體積從飽和體積開始遞增時，液滴的高度遞減，而且隨著體積的增大高度遞減量越來越小，液滴高度似乎趨于一（在此稱之為）極限高度。我們要建立一個針對不同材料表面，液滴的接觸角度不同的情況下，求解液滴飽和高度、極限高度、飽和體積及極限高度與飽和高度的比值的模型。三、問題假設(shè)1、材料表面是理想光滑的并且絕對水平。 2、重力加速度取值

5、為9.78m/s。 3、溫度為室溫20 攝氏度。 4、實驗在無風(fēng)條件下進(jìn)行，即接觸角不會發(fā)生動態(tài)變化，并且液滴保持靜止。 5、在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下進(jìn)行試驗。 6、液體純凈不含雜質(zhì)。 7、試驗臺與海平面保持一致。 8、不同界面間只存在界面張力。9、液滴體積較小時為球缺，體積較大時液滴邊緣為橢圓狀。四、符號說明： 固體表面張力： 液固表面張力： 液體表面張力： 水平固體表面液滴與水平面的接觸角： 飽和高度 ： 極限高度： 溶液密度 S ： 鋪展系數(shù)P ： 表面壓力R ： 飽和高度下液滴近似球體半徑 g ： 重力加速度 V ： 飽和條件下液滴體積 a : 飽和高度下液滴近似橢球體長軸半徑b : 飽和高度下

6、液滴近似橢球體短軸半徑c : 飽和高度下液滴近似橢球體z軸半徑五、模型建立考慮液滴置于理想的固體表面上，在光滑且均勻的固體表面上滴一滴液體，通過固、液、氣三鄉(xiāng)交界點A,沿液滴面引一切線，切線和固體表面的夾角為接觸角，從熱力學(xué)觀點看，液體落在固體表面時潤濕情況，由Youngs方程：cos=(-)/，其中有固體表面張力,它傾向于是液滴鋪展開來。液固表面張力，它傾向于使液滴收縮。以及液體表面張力，如圖所示，液滴的體積不變，固液氣三相的接觸線在固體表面上的曲率半徑分別為、，液滴分別處于狀態(tài)a、b、c，對應(yīng)的接觸角為、，考慮線張力的影響，由力學(xué)平衡可以得到：cos= cos-其中是線張力的合力，在液滴體

7、積不發(fā)生變化的條件下，三相接觸線曲率半徑的變化引起接觸角的變化，從而使得接觸角不再是唯一的，可以在某一范圍內(nèi)變化。當(dāng)曲率半徑趨于無窮大是，該方程就可以轉(zhuǎn)化為Young方程，當(dāng)液體可以完全潤濕固體表面時，接觸角是唯一確定的。以下我們就針對特殊情況時來討論。通過對液滴與固體表面接觸分析得知，液滴最終能達(dá)到靜態(tài)平衡并具有一定的外形，主要受到使液滴鋪展開來的固體表面張力，使液體收縮的液固表面張力，以及液體表面張力。經(jīng)過分析查證可知潤濕有三種類型，即沾濕、浸濕與鋪展，又有潤濕角的影響以及能量分析得出結(jié)論：=180º 完全不潤濕90º 不潤濕90º 潤濕=0º 完全

8、潤濕0º 三力失去平衡，潤濕方程不適用潤濕情況下具體受力圖如下不潤濕情況下，接觸角大于90度在此情況之前該液體高度可能一直增加，直至達(dá)到飽和高度，且認(rèn)為在飽和高度處受力平衡，為球缺狀態(tài)。此時體積為飽和體積，如果體積再度增加，高度反而下降，下降規(guī)律使其存在極限高度。對整個過程建立數(shù)學(xué)模型時，體積是重要影響因素，形態(tài)是重點研究對象。通過實際液滴圖像發(fā)現(xiàn)，小體積液滴邊緣為圓形，隨著液滴提及的增加邊緣更接近于橢圓。于是便采用圓或橢圓方程的擬合算法更能獲得精確的數(shù)據(jù)，而且計算簡單，容易理解，能方便、快速、有效地處理相對位置和偏轉(zhuǎn)。通過研究，考慮液滴體積較小時水珠邊緣為圓形可使用基于圓擬合的算法

9、，在體積較小的情況下有較高的精確度，但對液滴體積較大時該算法誤差相對較大。當(dāng)液滴中體積增加時液滴邊緣近似為橢圓，欲采用直接擬合法獲得橢圓參數(shù)，用以提高計算精度。通過仿真擬合得知橢圓不能滿足題目的需求，并且液滴體積較小(5uL)，水珠圖像邊緣接近于圓，因此該題用圓擬合。液滴處于理想狀態(tài)，有young方程=+*cosq得cos=（-）/立體關(guān)系畫出平面圖Young方程結(jié)合受力分析得鋪展系數(shù)S= -(+-)=0。如若體積超過飽和體積，高度必然下降，S<0。直至達(dá)到某一最小高度應(yīng)用熱力學(xué)知識，采用功能關(guān)系式得到結(jié)合數(shù)學(xué)知識得到R=(R-)/ cosq化簡后有R= / (1-cos) 再結(jié)合壓力方

10、程P= (1-cos) / 液滴底層受到重力作用與有關(guān)，最終整理得=則R=/(1- cosq)=/（1- cos）q)又由資料得知Cos=1-（g/2)得飽和高度=計算飽和體積由球缺的面積積分可知dV=dy=(-)dy= dV= =R-則題目第一問極限高度的表達(dá)式為=六、模型求解利用上述模型，分別計算了水在不同的材料表面上，利用C+計算得出接觸角為10、20、30···180 度的情況下的各個數(shù)據(jù)如下：角度高度比半徑飽和體積極限高度飽和高度101.414E+0003.130E-0022.213E-0083.363E-0044.756E-004201.414E+00

11、01.571E-0024.343E-0086.700E-0049.475E-004301.414E+0001.054E-0026.310E-0089.986E-0041.412E-003401.414E+0007.977E-0038.048E-0081.320E-0031.866E-003501.414E+0006.456E-0039.501E-0081.631E-0032.306E-003601.414E+0005.457E-0031.063E-0071.929E-0032.728E-003701.414E+0004.757E-0031.143E-0072.213E-0033.130E-00

12、3801.414E+0004.245E-0031.189E-0072.480E-0033.507E-003901.414E+0003.858E-0031.203E-0072.728E-0033.858E-0031001.414E+0003.562E-0031.190E-0072.956E-0034.180E-0031101.414E+0003.331E-0031.155E-0073.161E-0034.470E-0031201.414E+0003.150E-0031.105E-0073.342E-0034.726E-0031301.414E+0003.010E-0031.046E-0073.4

13、97E-0034.945E-0031401.414E+0002.903E-0039.864E-0083.626E-0035.128E-0031501.414E+0002.825E-0039.318E-0083.727E-0035.271E-0031601.414E+0002.770E-0038.883E-0083.800E-0035.374E-0031701.414E+0002.739E-0038.603E-0083.844E-0035.436E-0031801.414E+0002.728E-0038.507E-0083.858E-0035.457E-003將上述數(shù)據(jù)與結(jié)論進(jìn)行對比分析可知，液

14、體飽和直徑隨著接觸角變化有一定的規(guī)律。于是將上述表格用spss擬合圖形得出飽和半徑于接觸角的變化曲線如下：同時可以歸納出極限高度與接觸角的變化曲線，結(jié)果如下：以上均是浸潤情況下，在完全不浸潤即接觸角為180度時，液滴為球形：其實由于重力等因素的存在，液滴的實際存在狀態(tài)為橢球形：七、誤差分析 在該模型的建立過程中，我們較好的討論了模型的普通形式和其特殊形式，例如液滴的橢圓模型和圓模型，因為接觸角在35度以上適合用橢圓模型，35度以上適合用圓模型，但因橢圓模型涉及較為復(fù)雜的運算，故只是較為詳細(xì)的討論了圓模型，這樣勢必就會引起一些誤差，也就是不足之處，另外一個較好之處是運用了單一變量法，通過不同的液

15、體，簡單的測出所需數(shù)據(jù)，建立模型，進(jìn)而求解模型。當(dāng)然，在該模型中還存在一些缺點，比如說在剛才提到過所使用的圓模型，不可避免的會引起誤差，還有Young定理也是在理性情況下 ，沒有使用普通公式。另外，接觸角的測量肯定也存在系統(tǒng)誤差，最后，在計算液滴體積時，存在著絕對誤差。影響液體表面張力系數(shù)的因素有溫度，材料，粗糙度，液體濃度，液體純度以及液體的浸潤性等。八、參考文獻(xiàn)1、關(guān)于線張力對液滴固體接觸角的影響問題應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報2009年第四期（6）2、嚴(yán)應(yīng)政 李國華 楊氏方程推導(dǎo)應(yīng)用中的幾個疑點及其他 西北建筑工程學(xué)院學(xué)報3、朱海 鄧若鵬 陳元杰 利用一套新的控溫裝置對液體表面張力系數(shù)與溫度關(guān)

16、系的研究 復(fù)旦大學(xué)物理系 4、朱海 鄧若鵬 陳元杰 設(shè)置控溫裝置研究液體表面張力系數(shù)與溫度的關(guān)系 復(fù)旦大學(xué)物理系5、液體表面張力系數(shù)與溫度的關(guān)系的實驗研究 譚興文 西南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院6、趙修建 多孔TiO2薄膜自潔凈玻璃的親水性和光催化活性 高等學(xué)校化學(xué)學(xué)報7、卿濤 邵天敏 溫詩鑄 相對濕度對材料表面粘附力影響的研究 摩擦學(xué)學(xué)報 2006 九、附錄運算時采用c+6.0，運算程序如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#define pi 3.1415926void main()int angle = 10;double hmax

17、18;double hmin18;double h;double R18;double V18;int i;printf("hmax:n");for( i = 0; i < 18; i+)hmaxi = sqrt( 2.0 * 0.0728 * (1 - cos(angle * pi / 180) / 9780.0);printf("%0.3en" , hmaxi);angle = angle + 10;printf("nnhmin:n");for(i = 0; i < 18; i+)hmini = hmaxi / sqrt(2);printf("%0.3en",hmini);angle = 10;printf("nnh:n");for(i = 0; i < 18; i+)h=hmaxi/hmini;printf("%0.3en",h);angle = 10;printf("nnR:n");for(i = 0; i < 18; i+