第十章(第六部分)曲面積分習(xí)題解答

1、第十章曲線積分與曲面積分(第六局部)曲面積分習(xí)題解答、對面積的曲面積分4x1.計(jì)算曲面積分JJ(z + 2x+y)dS,其中工為平面一 32+ )+* = 1在第一卦限中的局部. 3 4分析由于工：2+士%1,可何等變形為工：z=4-2xy,又因被積函數(shù)4-即將z + 2x + y = 4代 34z +2x + -y與工形式相同,故可利用曲面方程來簡化被積函數(shù), 3入,從而簡化計(jì)算.解 平面工方程的為z = 4(1-二-丫)(如圖),2 3x y工在xoy面上的投影區(qū)域 Dxy：+ y <1,x >0, y >0 ;y 23:z；xz-2,=ydS = 1了病+ ! ! dx

2、dy= dxdyH37從而 (z 2x -4_61y)dS =4 dxdy3d 3,xy4 6131一2 3 =4 61 .24 ,面積元素32.計(jì)算曲面積分可(x + |y|)dS,其中工為| x| + | y| 十 |z|=1.由對稱性可知,可x d =S0 ,由輪換對稱性和代入技巧知,|y|dS工11= -fi(|x| +|y| +|z|)dS=-fidS ,再由曲面積分的幾何意義知, 33dS = 8 y=4質(zhì),所以,河(x+|y|)dS =二、對坐標(biāo)的曲面積分1 .計(jì)算曲面積分x2dydz.其中工為球面x2+y2 +z2 = R2在第一卦限局部的上側(cè) £分析 由于工不是封閉

3、曲面,且只是對坐標(biāo) y,z的曲面積分,故直接計(jì)算即可c解 因工：x =,R2_y2z2取前側(cè),且工在yoz面上的投影區(qū)域?yàn)?22Dyz ： y2z2 < R2, y _0, z _ 0.,- R _于是得11 x dydz =(R - y -z )dydz = 02dl 0 (R - r ) rdr二DyzJR42 .計(jì)算曲面積分I = JJ zdxdy + xdydz + ydzdx .其中工是柱面x2 + y2 = 1被平面z = 0及z =3所截得的在第一卦限內(nèi)的局部的前側(cè).分析 此題為計(jì)算對坐標(biāo)的組合積分,但由于 工不是封閉曲面,且其中的三個曲面 積分化為二重積分計(jì)算又比擬容易由

4、于 工為柱面,在xoy坐標(biāo)面上的投影dxdy=0, 故直接計(jì)算即可.解 因工在xoy坐標(biāo)面上的投影dxdy = 0,所以“zdxdy=0;£又£在yoz、zox坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)椋篋vz : 0 < y <1, 0 <z<3 ; Dzx : 0< x<1, 0<z<3.yzzxI = zdxdy xdydz ydzdx 工= xdydz _ 11 ydzdx y工二 1 - y2 dydz,11、1 - x2 dzdxDyzDzx2 . 31 . c 3 _-x dx dz = 2 -3 =0423.計(jì)算曲面積分I = 口

5、xz2dydz + (x2y - z2)dzdx+(2 + y2z)dxdy .其中工為上半球體 yx2 + y2 Wa2, 0 Wz W Ja2 - x2 - y2 的外表外側(cè).分析 由于工為封閉曲面,所以可采高斯公式計(jì)算解 此題中,P =xz2, Q = x2yz2 , R= 2+y2z.積分曲面工為封閉曲面,設(shè)工所圍成的空間閉區(qū)域?yàn)镃 (如圖),那么C : x2 + y2 <a2, 0 < z < a2 - x2 - y2 ；或 C: 0wrwa, 0 < <P <0< 6 <2n.2于是由Gauss公式,得；P ；Q ；R1!()dxdy

6、dz(1xy:z. 2222 - a=0 d*02d 0r2 r2 sin dr注 假設(shè)將此題中的積分曲面 工改為上半球面z =、,a2 - x2 - y2的上側(cè),那么由于工不是封閉曲面,又不是平面塊,采用下述方法計(jì)算較為簡便,現(xiàn)計(jì)算如下:補(bǔ)平面塊工：z = 0, (x2 + y2 wa2)取下側(cè),那么工與寸構(gòu)成一封閉曲面,且取外側(cè)(如圖所示).在封閉曲面工+工'上應(yīng)用Gauss公式,得11 xz2dydz (x2y-z2)dzdx (2 y2z)dxdy 訊：R222)dv 二 (z x y )dv2 r2 sin dr = 2 二a5.511 xz2dydz (x2 y - z2)

7、dzdx (2 y2z)dxdy二(2 y2z)dxdy= - 2dxdy = -2 a2.DxyI =( I I ) xz2dydz (x2y-z2)dzdx (2 y2z)dx dy 加 £-2 a5 -(-2 a2) =2 二a2(5 a3). 554.計(jì)算曲面積分二 (z x y )dxdydzI =f(x, y,z) xdydz 2f(x,y, z) ydzdx f(x, y,z) zdxdyy其中f(x, y, z)為連續(xù)函數(shù),工是平面x_y + z = 1在第四卦限局部的上側(cè)分析 由于 P = f (x,y,z) + x , Q = 2f (x,y,z)+y , R =

8、 f (x, y, z) + z ,其中f (x, y, z)未知,而積分曲面工為平面塊,故可考慮利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,把 給定的第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分計(jì)算.Io解 工(如下圖)在xoyS上的投影區(qū)域Dxv : 0_x_1, x-1_y_0.xy1. 11,工的方向余弦為cosa= -= ,cosP = -；=, cosV =,故,3.3,； 3I= f (x, y,z)xcos, " 2 f (x, y, z) ycos：f(x,y, z) zcos xdS£111-1= (x-y z)dS= dS = 3dxdy iidxdy- 3 三3 三3 Dxy

9、Dxy2注 在此題中,假設(shè)用定義直接計(jì)算,由于被積函數(shù)中含有未知函數(shù)f(x, y, z),那么轉(zhuǎn)化成三個二重積分后,下一步計(jì)算二重積分就很難進(jìn)行了.一般情況下,假設(shè)被積函 數(shù)中含有抽象函數(shù),通常不采用直接計(jì)算的方法,而是采用將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第 一型曲面積分或Gauss公式的方法來處理.5.設(shè)f(u)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),計(jì)算曲面積分I =密 x3dydz+,1 f I+ y3 'dzdx+ I1 f 1 + z3 dxdy 、zj其中工為由z= Jx2 +y2和z=2所圍成區(qū)域的外側(cè).八,一 人 ,1''y ',1'y '0'.一分析 令P

10、=x3, Q=-f上|+y3, R = f - i + z3,由于被積函數(shù)含有抽象函 z 山y(tǒng) zzj數(shù)f y ,如果直接計(jì)算很難求出.考慮到 工為封閉曲面,而且<z ):P ;Q ;R 222h+-Q+= 3(x2+y2+z2),x y 二 z因此可考慮應(yīng)用高斯公式計(jì)算3,fy 3|+y ,“z3,那么四=3x2 .x9:y12 z；3y2,:R；z12 z應(yīng)用高斯公式,得R2)dxdydz iii3(x：z -y22 )dxdydz在柱面坐標(biāo)系下,P<z <2 , 0 < P<2 , 0 < 0 <2n.計(jì)算得I!3(x2y2Q2 2 二z )dx

11、dydz = 3 ° 】,2,2, 22、,du JdP C2 z2)dz2283=6 1 1(2：031 3.-D3)d5=2二(6：303 8：-4D4)d=2兀(3 P4 +4P2 - P5)25144"：.5其中工為曲面6.計(jì)算曲面積分xdydz ydzdx zdxdy1-16+ (y T)(z >0)的上側(cè).9分析由于p =(x y2、3 2 , Q+ z )-y 22(x y23 2 z )石：P有二ex222y z -2x22z -2 y222X52(x y z )222 5 2y (x y z ):R':z22 25 2(x y z )且三個偏

12、導(dǎo)數(shù)在0,0,0點(diǎn)x2 + y2 = r2與橢圓+ =0,故可考慮用高斯公式. 但是曲面不封閉, x cy z不連續(xù),所以,需要補(bǔ)面去掉奇點(diǎn).解補(bǔ)有向曲面工1:x2+y2+z2= r2, z>0 , r足夠小,使工1完全包含于工內(nèi),取下側(cè),補(bǔ)有向曲面工2 : z = 0 ,取位于小圓221="- 2) +(y1)之間局部,取下側(cè),那么工+工構(gòu)成封閉曲面,且方向?yàn)橥鈧?cè). 169設(shè)由工+工+12所圍成的空間閉區(qū)域?yàn)?建.應(yīng)用高斯公式,得xdydz ydzdx zdxdy ；P ；Q ；Rlx2,；?"、？T+卻皿仁0xdydz ydzdx zdxdy 1再補(bǔ)面2: 2 上 2 上 23 2- = f 仃xdyd> ydzdx+ zdxdy ,三(x y z )r 522二 3 ： z = 0, x y<r2,取上側(cè),用高斯公式3坐xdydz+ ydzdx + zdxdy = -3 JJJdxdydz= -2b.而 仃xdydz + ydzdx + zdxdy = 0 ,所以,J xdydz+ydzdx + zdxdy =勺if1xdydz ydzdx zdxdy3 2(x y z )xdydz ydzdx zdxdy(x2 y2 z2)32=0,因止匕,I =