平面向量共線的坐標(biāo)表示

1、平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目標(biāo)1.用坐標(biāo)表示兩向量共線.(重點(diǎn))2.根據(jù)平面向量的坐標(biāo)判斷向量共線.(難點(diǎn))3.兩直線平行與兩向量共線的判定.(易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理 平面向量共線的坐標(biāo)表示閱讀教材P98“思考”以下至“例6”以上內(nèi)容，完成下列問題.1.設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,y2)，其中bQ a、b共線，當(dāng)且僅 當(dāng)存在實數(shù)人使a=2b.2.如果用坐標(biāo)表示，可寫為(xi,yi)=2x2,y2),當(dāng)且僅當(dāng)Xiy2二X2yi寧0時，向量a、b(bQ共線.注意：對于2的形式極易寫錯，如寫成XiyiX2y2=0或xiX2yiy2=0都是不對的，因此要理解并記熟這一公式，可簡記為：縱橫交錯

2、積相減.判斷(正確的打“它”錯誤的打“x”)(1)向量(1,2)與向量(4,8)共線.()(2)向量(2,3)與向量(4,6)反向.()解：(1)正確.因為(4,8)=4(1,2),所以向量(1,2)與向量(4,8)共線.(2)正確.因為(4,6)= 2(2,3),所以向量(2,3)與向量(4,6）反向.【答案】(1) VV小組合作型判定直線平行、三點(diǎn)共線1卜別(1)已知A(1,3),B8,2，且A,B,C三點(diǎn)共線，則C的坐標(biāo)可以是()A.(9,1)B. (9,1)C.(9,1)D.(9,1)(2)已知四點(diǎn)坐標(biāo)A(1,1)、B(1,5)、C(2,1)、D(4,11), 請判斷直線AB與CD是否

3、平行(3)已知A(1,1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB與CD平行嗎直線AB平行于直線CD嗎(1)利用向量的平行條件X1y2X2y1=0,可證明有公共點(diǎn)的兩個平 行向量共線，從而可證明三點(diǎn)共線.(2)判定兩直線平行，先判定兩向量平行，再說明兩向量上的相關(guān) 點(diǎn)不共線.解：(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(x,y),因為A,B,C三點(diǎn)共線，所以AB/ AC因為AB=8,2 (1, 3)=7,2,AC=(X,y) (1,3)=(x 1,y+3),所以7(y+3)2(x1)=0,整理得x2y=7,經(jīng)檢驗可知點(diǎn)(9，1)符合要求，故選C【答案】C(2)因為AB=(1,5)(1,1)=(2,4)

4、,AD=(4,11)(-1,1)=(5,10),AC=(2,1)(1,1)=(1,2),所以AB= 2AC, AD= 5AC所以AB/AC/AD.由于AB與AC AD有共同的起點(diǎn)A,所以A、B、C、D四點(diǎn)共線,因此直線AB與CD重合.(3)因為AB= (1(1),3(1)=(2,4),CD= (21,75)=(1,2).又因為2X24X10,所以AB/CD又因為AC=(1(1),5(1)=(2,6),AB= (2,4),所以2X4 2X 60所以A,B,C不共線，所以AB與CD不重合，所以AB/CD.三點(diǎn)共線的條件以及判斷方法：若已知三點(diǎn)的坐標(biāo),判斷其是否共線可采用以下兩種方法：(1)直接利用

5、上述條件，計算(X2X1)(y3y1)(X3X1)(y2y1)是否為0；(2)任取兩點(diǎn)構(gòu)成向量，計算出兩向量如AB, AC,再通過兩向量 共線的條件進(jìn)行判斷.再練一題1.設(shè)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=(k,12),OB= (4,5),OC= (10,k), 當(dāng)k為何值時，A,B,C三點(diǎn)共線解：v AB=OB- 0A=(4-k,7),AC=OC-0A=(10k,k12),又A,B, C三點(diǎn)共線，二由兩向量平行的充要條件，得(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11.當(dāng)k=-2或k=11時，A,B,C三點(diǎn)共線.已知平面向量共線求參數(shù)小I(1)已知向量a=(x,3),b=(-3,x)

6、,則1存在實數(shù)x,使a II b;2存在實數(shù)x,使(a+b)Ia;3存在實數(shù)x,m,使(ma+b)Ia;4存在實數(shù)x,m,使(ma+b)Ib.其中，所有敘述正確的序號為 _ .(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)k為何值時，ka+b與a-3b平行平行時它們是同向還是反向(1)可利用向量共線定理列方程判斷方程解的情況來解決.(2)方法一：可利用b與非零向量a共線等價于b=?a(?0,b與a同向；XO,b與a反向）求解;方法二：可先利用坐標(biāo)形式的等價條件求k,再利用b=池判定同向還是反向.解：(1)由a/b?x2= 9無實數(shù)解，故不對；又a+b=(x3,3+x),由(a+b)/a得3(x

7、3)x(3+x)=0,即x2=9無實數(shù)解，故不對；因為ma+b=(mx3,3m+x),由(ma+b)/a得(3m+x)x3(mx3)=0.即x2=9無實數(shù)解，故不對；由(ma+b)/b得一3(3m+x)x(mx3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,xR,故正確.【答案】 (2)法一：ka+b=k(1,2)+(3,2)=(k3,2k+2),a3b=(1,2)3(3,2)=(10,4),當(dāng)ka+b與a3b平行時，存在唯一實數(shù) 人使ka+ b= Xa 3b).由(k3,2k+2)=X10,4),k 3= 10X,所以2k + 2= 4 X1解得k=X=3.1 11當(dāng)k= 3時，ka+b與a3b

8、平行，這時ka+b= a+b= 3 (a3b),1因為入=一3=沖 +P1P=OP+ 用=0P1+X0P2-OP) =OPi+入0p2-?0P,xi+入x yi+入y1+入，1+入，1P點(diǎn)坐標(biāo)為3,o.當(dāng)P在線段AB延長線上時，AP=2PB,- (x3,y+4)= 2(1x,2y),1入= 1+0,yi)+ 爐,y2)1=1+ 產(chǎn),1入入1+ W1+1+嚴(yán)，1 + *2OP=OPi+ X3p?1+入 Pxi+入x1+入，yi+入y1+入卜別 已知點(diǎn)A(3, 4)與點(diǎn)B(-1,2),點(diǎn)P在直線AB上，且| AP |=2|陽，求點(diǎn)P的坐標(biāo).點(diǎn)P在直線AB上，包括點(diǎn)P在線段AB內(nèi)和在線段AB的延長線

9、 上，因此應(yīng)分類討論.解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),| AP|=2|PB|.當(dāng)P在線段AB上時，AP=2PB,- (x3,y+4)=2(1x,2y),x3=22x,y+4=42y,解得x=13y=0,x3=2+2x,解得y+4= 4+2y, P點(diǎn)坐標(biāo)為（一5,8）.向量問題后解方程組求解，同時應(yīng)注意分類討論.再練一題4.已知ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A(xi,yi),B(X2,y2),0(x3,3),求厶ABC的重心G的坐標(biāo).解：延長AG交BC于點(diǎn)D,v GABC的重心,二D為BC的中點(diǎn),y/I/0Hf）c AG=3AD=32產(chǎn)+殊=抵+ Ob OA+Ab=OA+1AB+ 3AC=OA+3（OB

10、-OA）+2（OC- OA）=1（OA+OB+ OC）xi+X2+X3yi+y2+ y=3，3綜上所述，G的坐標(biāo)為x= 5,y=8,綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為11,0或（5,8）.在求有向線段分點(diǎn)坐標(biāo)時,不必過分強(qiáng)調(diào)公式記憶，可以轉(zhuǎn)化為xi+x2+X3yi+ y + y3，3構(gòu)建體系屮廊向社共線1対址半f i的世標(biāo)屈HJ唯標(biāo)龍示1.下列滿足平行的一組向量是()A.a=(1,4),b=(504,2 016)B.a=(2,3),b=(4,6)C.a=(1,2),b=(1 008, 2 016)D.a=(1,4),b=(3,12)解：A中，因為X1y2X2y1=1 x2 016)504 x4)=0,Aa

11、b;B中，因為X1y2X2y1=2x6)4X324工,Aa與b不平行；C中，因為X1y2X2y1=1 x 2 01(1 008) x=24 032工0,Aa與b不平 行；D中，因為X1y2X2y1= 1 x 13X424工0Aa與b不平行.【答案】A2.設(shè)kR,下列向量中，與向量a=(1,1)一定不平行的向量是()【導(dǎo)學(xué)號：00680052】A.b=(k,k)B. c=(k,k)C.d=(k2+1,k2+1)D.e=(k21,k21)解：由向量共線的判定條件，當(dāng)k=0時，向量b,c分別與a平行；當(dāng)k=1寸，向量e與a平行.對任意kR, 1(k2+1)+1 (k2+1)M,.a與d不平行.【答案

12、】C3.已知a=(6,2),b=(m, 3),且a II b,貝U m=()A.9B. 9C.3D.3解：因為a=(6,2),b=(m,3),若aIb則一6X (3)2m=0,解得m=9.【答案】B4._與向量a=(1,2)平行，且模等于5的向量為_ .解：因為所求向量與向量a=(1,2)平行，所以可設(shè)所求向量為x(1,2),又因為其模為5，所以x2+(2x)2=5,解得x= 1.因此所求向量為(1,2咸(1,2).【答案】(1,2)或(1,2)5.已知向量a=(1,2), b=(x,1),u=a+2b,v=2ab,且u I v, 求實數(shù)x的值.解：因為a=(1,2),b=(x,1),u=a+

13、2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2ab=2(1,2)(x,1)=(2x,3).又因為u/v,所以3(2x+1)4(2x)=0,1解得x=-學(xué)業(yè)分層測評學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.已知向量a=(2,3), b=(-1,2),若ma+4b與a2b共線， 則m的值為()A.1B. 21C. 2D. 2解：ma+4b=(2m4,3m+8),a2b=(4,1),由ma+4b與a2b共線，有(2m4)=4(3m+8),解得m= 2,故選D.【答案】D2.已知A,B, C三點(diǎn)共線，且A(3,6),B(5,2),若C點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為6,貝 SC點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A.13B. 9C.9D.13解：設(shè)

14、C(6,y),v AB/ AC又Afe=(8,8),AC=(3,y+6),一8 xy+ 6)3 X 8 0,y= 9.【答案】C13.已知向量a=(1sin6,1),b=2,1+sin B,且a/b,則 銳角6等于()A.30B. 45D.75解：由a/b,可得(1sin6)(1+sin6)0,即cos6=2,而6是銳角，故0= 45.【答案】B4. (2016馬鞍山期末)已知向量a=(1, 2), b=(m，4)，且a/b,那么2ab=()A.(4,0)B. (0,4)C.(4,8)D.(4,8)解：由a/b知4+2m=0,二m= 2,2ab=(2,4)(2,4)=(4,8).故選C.【答案

15、】C5.如果向量a=(k,1),b=(4,k)共線且方向相反，則k等于()A.2B. 2C.2D.0解：由a,b共線得k2=4,又兩個向量的方向相反，故k=2.故選C.【答案】C二、填空題6.已知向量a=(2,3),b/a,向量b的起點(diǎn)為A(1,2),終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_.解：由b/a,可設(shè)b=?a=(2入3入).設(shè)B(x,y),則AB=(xC.601,y2)=b.又B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則12X= 0或3入+2=0,所以B0,2或彳彳，0 .【答案】0,2或3，07.向量a=(1,2),向量b與a共線，且| b|=4|a|解：因為b II a,令b=?a=(入2 ?),又|b|=4|

16、a|,所以(?)2+(2 ?)2=16(1+4),故有?=16,解得入=48)或(4,8).【答案】(4,8)或(4,8)三、解答題1 18.已知點(diǎn)A(1,2),B(2,8)及AC=&AB, DA=BA,D和CD的坐標(biāo).解： 設(shè)點(diǎn)C(x1,y”，D(x2,y2)， 由題意可得AC=(X1+1,AB=(3,6),DA=(1x2,2y2),BA=(3，6),1 1因為AC=3AB,DA= 3EBA,1所以(X1+1,y12)=3(3,6)=(1,2),1-2 X= x 1由3入=y2,x=12人y= 3 H 2,b=(4,求點(diǎn)C,y12),(1x2,2y2)= 3(3,6)（1,2）， 則

17、有yi2=2,和2-存2,所以點(diǎn)C, D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(一2,0),所以CD= (2,4）.9.如圖2321,在厶OCB中，A是CB的中點(diǎn)，D是0B的靠 近B點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，DC與0A交于點(diǎn)E,若OE=XOA,求實數(shù)入 的值.解：v C、E、D三點(diǎn)共線，存在實數(shù)X,有CE=XCD,二OE- OC=x（OD OC）,XOAOC=xf0 g又A是CB的中點(diǎn)，X 1（0B + OCOC=X|OB-OC,盹+ * 1 OC=|XOB-XOC,3x，Xi+1=1,1-X2=1yi=4,y2=0.圖23215入亠044-能力提升1.(2016溫州高一檢測)若AB=i+2j,DC= (3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分別與x,y軸正方向相同且為單位向量).AB與Dt共線，則x,y的值可能分別為()A.1,2B. 2,2C.3,2D.2,4解：因為AB= (1,2),Dt (3-x,4-y),又AB/ DC,所以4y2X(3-x)=0,即2xy2=0,驗知B合適.【答案】B2.已知四邊形ABCD是邊長為6的正方形，E為AB的中