博弈論“囚徒困境”的四種形式

1、博弈論中的“囚徒困境”摘要：“囚徒困境”模型是博弈論中的經(jīng)典范例，它是1950年Tucker提出的，其完全信息下的靜態(tài)博弈為廣大博弈論的工作者和初學(xué)者所掌握，成為解釋生活現(xiàn)象的有力 工具。其實“囚徒困境”模型隨著博弈論的深入發(fā)展，具有各種不同的形式，通常分為：完全信息的靜態(tài)博弈，完全信息的動態(tài)博弈，不完全信息的靜態(tài)博弈及不完全信息的動態(tài)博弈四種形式。本文將對“囚徒困境”的這四種形式作一個簡單的介 紹和分析。關(guān)鍵詞：博弈論囚徒困境經(jīng)濟-1 -# -一、完全信息靜態(tài)“囚徒困境”博弈完全信息靜態(tài)“囚徒困境”博弈部分地奠定了非合作博弈論的理論基礎(chǔ)。它的基本模型是：警察抓住了兩個合伙犯罪的罪犯，由于缺乏

2、足夠的證據(jù)指證他們的罪行，所以希望這兩人中至少有一人供認(rèn)犯罪， 就能確認(rèn)罪名成立。為此警察將這兩個罪犯分 別關(guān)押以防止他們串供， 并告訴他們警方的政策是 “坦白從寬， 抗拒從嚴(yán)”：如果兩人中只 有一人坦白認(rèn)罪，則坦白者立即釋放，而另一人則將重判 5年徒刑；如果兩個同時坦白認(rèn)罪，則他們將各判 3年監(jiān)禁。當(dāng)然罪犯知道如果他們兩人都拒不認(rèn)罪，則警方只能以較 輕的妨礙公務(wù)罪判處他們1年徒刑。用矩陣表示兩個罪犯的得益如下 （得益向量的第一個數(shù)字是囚徒1的得益，第二個數(shù)字是囚徒2的得益）：囚徒2坦白不坦白坦白（-3，-3）（0，-5）不坦白（-5，0 ）（-1，-1 ）（表1）容易看出，由于對假定兩個罪犯

3、熟悉彼此， 這便是一個同時行動的完全信息靜態(tài)博弈。于每個囚徒而言，無論對方選擇什么策略，坦白都是自己的最優(yōu)策略，所以（坦白，坦白）是博弈的Nash均衡。二、完全信息動態(tài)“囚徒困境”博弈一一重復(fù)“囚徒困境”博弈研究重復(fù)博弈的意義在于基本博弈會重復(fù)進(jìn)行， 生活中買賣會重復(fù)進(jìn)行， 國際間的戰(zhàn)爭此伏彼起。 基本博弈的簡單累加，比如商業(yè)中的回頭客問題。比如犯罪團伙會被警方多次審訊，日常而且人們也發(fā)現(xiàn)基本博弈的重復(fù)進(jìn)行并非-2 -F面繼續(xù)以表1所示的“囚徒困境”模型為例對多重博弈進(jìn)行探討。首先觀察“囚徒困 境”的有限博弈，以 T記基本博弈的重復(fù)次數(shù)。博弈重復(fù)進(jìn)行所耗時間會比較長，支付的 時間價值必須考慮，

4、記r為折現(xiàn)因子。在有限博弈的情況下， 可簡化在r = I的情況下討論, 并采用動態(tài)博弈的逆向歸納法進(jìn)行研究：先分析t = T階段兩博弈方的選擇，這仍然是一個基本的囚徒困境博弈，此時前一階段 的結(jié)果已成為事實，又無后續(xù)階段，因此不難得出結(jié)論，這一階段的結(jié)果是（坦白，坦白），雙方得益（-3，-3）?，F(xiàn)在回到t = T -1階段，理性的博弈方對于后一階段的結(jié)局非常清楚， 其結(jié)果必然是（坦白，坦白），因此不管現(xiàn)階段的博弈結(jié)果是什么，雙方在本階段以后的最終 得益都是在本階段得益的基礎(chǔ)上各加上-3,此時的得益矩陣是：囚徒2坦白不坦白坦白(-6 , -6)(-3 , -8 )不坦白(-8 , -3 )(-4

5、 , -4 )（表 2）容易看出，坦白仍是兩博弈方的嚴(yán)格優(yōu)超策略，即（坦白，坦白）是T - 1階段的唯一的純Nash均衡。 以此往上類推，每階段“囚徒困境”博弈的結(jié)果都是博弈雙方采用坦白， 所以T次重復(fù)博弈的子博弈精煉 Nash均衡是每個博弈階段雙方都采用坦白。再考慮“囚徒困境”博弈重復(fù)無數(shù)次。因為無限博弈沒有最終階段，所以不能運用逆向歸納法求解?？紤]博弈雙方都采用“冷酷戰(zhàn)略” ：（1 ）開始階段選擇抵賴；（2 ）選擇抵賴 直到有一方選擇了坦白，為了報復(fù)對手的背叛，以后都選擇坦白。假定囚徒j(luò)嚴(yán)格執(zhí)行上述冷酷戰(zhàn)略，考察囚徒i的最優(yōu)策略是否為冷酷戰(zhàn)略：如果i在博弈的某個階段首先選擇了坦白，他在該階

6、段得到0，而不是-1,但他的這次背叛會遭到囚徒j(luò)的永遠(yuǎn)懲罰，因此i在隨后每個階段的支付都是 -3。如果下列條件滿足，給定j沒有選擇坦白，i將不會選擇3r1< 1 - r 1 - r坦白：2 20+r(-3)+r(一3) 乞-1+r(-1)+r(-1) ，即:解上述不等式得：r> 1/3 （這個條件容易滿足）。就是說，如果r > 1 /3,給定j堅持冷酷戰(zhàn)略并且j沒有首先坦白，i不會選擇首先坦白。進(jìn)一步假定j首先選擇坦白，那么i是否有積極性堅持冷酷戰(zhàn)略以懲罰j的不合作行為？如果 i堅持冷酷戰(zhàn)略，他隨后每個階段的支付是-3，但如果他選擇其他戰(zhàn)略，他在任何單一階段的支付都不會大于-

7、3,因此，無論r是多大，i都有積極性堅持冷酷戰(zhàn)略。在博弈重復(fù)無數(shù)次的情況下，只要r>1 /3,子博 弈精煉均衡是每個階段博弈雙方都采用抵賴進(jìn)行合作。三、不完全信息靜態(tài)“囚徒困境”博弈由于現(xiàn)實生活中許多博弈并不滿足完全信息的要求，比如買賣雙方都對彼此的信息掌握不完全，買者不知賣者產(chǎn)品的質(zhì)量到底如何，賣者也不知道買者愿意付出多高的價格等等， 因此研究不完全信息下的博弈有著重要的理論和現(xiàn)實意義。假定囚徒1有兩種類型，理性的(或稱為不合作的)和非理性的(有意愿合作的)，概率分 別為1-p和P,又假定囚徒2只有一種類型一一理性的。假定理性的囚徒可以選擇任意的策 略，而非理性的囚徒 1只有一種策略“

8、針鋒相對”，即開始階段選擇抵賴，隨后的階段以對 方前一階段的策略為自己現(xiàn)階段的策略進(jìn)行鼓慟或報復(fù)。由于博弈只進(jìn)行一個同合，博弈雙方?jīng)]有合作可能，于是理性的囚徒1的最優(yōu)策略是“坦白”，理性的囚徒2也會選擇“坦白”，因為對于一次博弈而言，不管囚徒I理性與否，坦白的策略總是對囚徒 2最優(yōu)的，構(gòu)成不完全信息靜態(tài)博弈的Bayes- Nash均衡。我們還可以按如下方法證明：由于博弈只進(jìn)行一個階段，則非理性的因徙1選擇抵賴，理性的囚徒1選擇坦白，記囚徒 2的選擇為X，博弈路徑如下所示：t=1非理性囚徒1( p)抵賴?yán)硇郧敉?(1-p)坦白囚徒2X(表3)當(dāng)X= “抵賴”時，囚徒 2的期望支付是：4p-5;當(dāng)

9、X=坦白時，囚徒2的期望支付是3p-3。無論p為何值，3p-3>4 p -5，故坦白是囚徒2的最優(yōu)選擇。四、不完全信息動態(tài) 囚徒困境博弈理論上在完全信息的情況下.T次重復(fù)的“囚徒困境”博弈在每階段博弈都選擇“坦白”是兩個囚徒的最優(yōu)戰(zhàn)略，然而這一結(jié)果并沒有在現(xiàn)實生活中發(fā)生，我們常?？吹綄掖巫靼傅姆缸飯F伙總是般抵賴妄圖逃脫法律的懲罰。國外實驗經(jīng)濟學(xué)家作試驗也表明，在有限次重復(fù)博弈中合作行為也頻繁出現(xiàn)，因此需要將不完全信息引入重復(fù)博弈。首先討論“囚徙困境”博弈只重復(fù)兩次的情況。在第二階段，由于沒有合作的空間，理性的因徒1和囚徒2都會選擇坦白，而非理性的囚徒 1根據(jù)“針鋒相對”策略要選擇囚徒 2

10、 第一階段的策略；在第一階段，非理性的囚徒1選擇抵賴，理性的囚徒1仍會選擇坦白，因 為它在該階段的選擇不會改變囚徒2在第二階段選擇坦白?，F(xiàn)在考慮囚徒2在第一階段的選擇(X)如何影響非理性困徒 1在第二階段的選擇，如下表所示：t=1t=2非理性囚徒1( p)抵賴X理性囚徒1(1-p)坦白坦白囚徒2X坦白（表 4）當(dāng)X= “抵賴”時，囚徒 2的期望支付是：p( -1 )+ 0+ (1-p ) ( -5 ) + ( -3 ) = 7p-8; 當(dāng) X=“坦白”時，囚徒 2 此時的期望支付是：p0+ (-3)+ (1-p )(-3)+(-3)=3p-6 。如果 7p-8>3p-6, 即P>

11、1/2，囚徒2將會選擇 X= “抵賴”;P > 1 /2的條件下，進(jìn)一步考慮基本膊弈重復(fù)三次的情況。在第三階段理性的囚徒1和囚徒2會因為沒有后續(xù)的合作機會選擇坦白；在第二階段，由于理性的囚徒I知道囚徒2是理性的，自己在本階段的選擇不會改變囚徒2在下一階段的選擇，故仍會選擇坦白。下面要說明理性囚徒1在第一階段將會選擇抵賴進(jìn)行合作：盡管囚徒1第一階段選擇坦白可能免于懲罰，但無疑向囚徒2顯示自已是理性的博弈方，于是因徒2在第二階段選擇坦白，理性的囚徒1在第二階段最大只能獲得(-3)的支付；相反如果隱藏自己的真實情況，選擇抵賴， 那么可能在第一階段獲得(-1 )的支付，第二階段獲得0的支付，無疑

12、這將更為有利，所以理性的徒1的三階段策略是(抵賴，坦白，坦白)。就理性的囚徒1和2而言，第一階段有合作的可能(雙方都選“抵賴”)，也有不合作的可能(因徒I選擇“抵賴”，囚徒2選擇坦白)。先看雙方都選擇“抵賴”的情形，那么博弈進(jìn)入第二和第三階段，即隨后的階段是表4所示的兩階段博弈，所以在給定P> I/2的條件下，囚徙2第二階段選擇抵賴，三次重復(fù)博弈的精練Bayes均衡如下表所：t=1t=2t=3非理性囚徒1( p)抵賴抵賴抵賴?yán)硇郧敉?( 1-p)抵賴坦白坦白囚徒2抵賴抵賴坦白（表 5）囚徒2選擇(抵賴，抵賴，坦白)的期望支付為：(-1) +p(-1)+0 + (1-p)(-5)+(-3)

13、=7p-9。再看雙方不合作的情況，在不合作的情形下，囚徒2的策略有兩種可能：(坦白，坦白,坦白)和(坦白，抵賴，坦白)。如果囚徒2選擇(坦白，坦白，坦白)，博弈路徑如下所：t=1t=2t=3非理性囚徒1( p)抵賴坦白坦白理性囚徒1( 1-p)抵賴坦白坦白囚徒2坦白坦白坦白(表6)囚徒2的期望支付為：0+(-3) +(-3)=-6 ;如果囚徒2選擇(坦白，抵賴，坦白)，博弈路徑如下所:t=1t=2t=3非理性囚徒1( p)抵賴坦白抵賴?yán)硇郧敉?(1-p)抵賴坦白坦白囚徒2坦白抵賴坦白（表 7）囚徒 2 的期望支付為：0+(-5) +p(0)+ (1-p)(-3)=3p-8 。在P > 1

14、/2的條件下7p-9 > -6, 7p-9 > 3p-8,因此(抵賴，抵賴，坦白)優(yōu)于(坦白，坦白, 坦白)和(坦白，抵賴，坦白)。綜合以上分析，只要囚徒1是非理性的慨率 P> 1/2，表5所示的戰(zhàn)略就是一個精煉Bayes均衡。類似可以進(jìn)一步證明，如果p> 1/2,對于T > 3，下列戰(zhàn)略組合構(gòu)成一個精煉Bayes均衡：理性囚徒1在t = 1至t =T-2階段一直選擇抵賴，在余下的兩階段選擇坦白； 囚徒2在t=l至t= T-I階段選擇抵賴，最后一階段選擇坦白。我們清楚地看到，將不完全信息引入有限次“囚徒困境”復(fù)博能很好地解釋現(xiàn)實的社會 現(xiàn)象一一為什么有那么多的囚徒

15、寧愿選擇抵賴而不是選擇優(yōu)超策略坦白。至于“囚徒困境”的不完全信息下的無數(shù)重復(fù)博弈的情況，我們應(yīng)該容易得出：在相當(dāng)寬松的條件下，每階段選擇合作是精煉Bayes均衡。五、“囚徒困境”實例(1) 經(jīng)濟學(xué)例子：關(guān)稅戰(zhàn)兩個國家，在關(guān)稅上可以有以兩個選擇：提高關(guān)稅，以保護自己的商品一一背叛；與對方達(dá)成關(guān)稅協(xié)定，降低關(guān)稅以利各自商品流通一一合作。當(dāng)一國因某些因素不遵守關(guān)稅協(xié)定，獨自提高關(guān)稅(背叛)，另一國也會作出同樣反應(yīng)(亦背叛)，這就引發(fā)了關(guān)稅戰(zhàn)，兩 國的商品失去了對方的市場，對本身經(jīng)濟也造成損害(共同背叛的結(jié)果)。然后二國又重新 達(dá)成關(guān)稅協(xié)定。(重復(fù)博弈的結(jié)果是將發(fā)現(xiàn)共同合作利益最大)(2) 商業(yè)例子：廣告戰(zhàn)兩個公司互相競爭， 二公司的廣告互相影響， 即一公司的廣告較被顧客接受則會奪取對 方的部分收入。但若二者同時期發(fā)出質(zhì)量類似的廣告，收入增加很少但成本增加。 但若不提高廣告質(zhì)量，生意又會被對方奪走。此二公司可以有二選擇：互相達(dá)成協(xié)議，減少廣告的開 支一一合作；增加廣告開支，設(shè)法提升廣告的質(zhì)量， 壓倒對方一一背叛。 若二公司不信任對 方，無法合作，背叛成為支配性策略時， 二公