2012年高考真題分類匯編(全析全解)03：導(dǎo)數(shù)與積分

1、2012年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：導(dǎo)數(shù)與積分一、選擇題 （2012年高考（新課標(biāo)理）已知函數(shù);則的圖像大致為 （2012年高考（浙江理）設(shè)a>0,b>0.（）A若,則a>bB若,則a<b C若,則a>bD若,則a<b （2012年高考（重慶理）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,且函數(shù)的圖像如題(8)圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是（）A函數(shù)有極大值和極小值 B函數(shù)有極大值和極小值 C函數(shù)有極大值和極小值 D函數(shù)有極大值和極小值 （2012年高考（陜西理）設(shè)函數(shù),則（）A為的極大值點(diǎn)B為的極小值點(diǎn) C為的極大值點(diǎn)D為的極小值點(diǎn) （2012年高考（山東理）設(shè)且,則

2、“函數(shù)在上是減函數(shù) ”,是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件 C充分必要條件D既不充分也不必要條件yxO第3題圖 （2012年高考（湖北理）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則它與軸所圍圖形的面積為（）ABCD （2012年高考（福建理）如圖所示,在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為（）ABCD （2012年高考（大綱理）已知函數(shù)的圖像與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則（）A或2B或3C或1D或1二、填空題 （2012年高考（上海理）已知函數(shù)的圖像是折線段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為_ .（201

3、2年高考（山東理）設(shè).若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為,則_.（2012年高考（江西理）計(jì)算定積分_.（2012年高考（廣東理）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_.三、解答題（2012年高考（天津理）已知函數(shù)的最小值為,其中.()求的值;()若對(duì)任意的,有成立,求實(shí)數(shù)的最小值;()證明.（2012年高考（新課標(biāo)理）已知函數(shù)滿足滿足;(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間;(2)若,求的最大值.（2012年高考（浙江理）已知a>0,bR,函數(shù).()證明:當(dāng)0x1時(shí),()函數(shù)的最大值為|2a-b|a;() +|2a-b|a0;() 若11對(duì)x0,1恒成立,求a+b的取值范圍.（2012年高考（重慶理）(本小題滿

4、分13分,()小問6分,()小問7分.)設(shè)其中,曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸.() 求的值;() 求函數(shù)的極值.（2012年高考（陜西理）設(shè)函數(shù)(1)設(shè),證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn);(2)設(shè),若對(duì)任意,有,求的取值范圍;(3)在(1)的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列的增減性.（2012年高考（山東理）已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.()求的值;()求的單調(diào)區(qū)間;()設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意.（2012年高考（遼寧理）設(shè),曲線與直線在(0,0)點(diǎn)相切.()求的值.()證明:當(dāng)時(shí),.（2012年高考（江蘇）若函數(shù)在處取得極大值或極小值,則稱為函數(shù)的極值點(diǎn).已

5、知是實(shí)數(shù),1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)求和的值;(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求的極值點(diǎn);(3)設(shè),其中,求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2012年高考（湖南理）已知函數(shù)=,其中a0.(1)若對(duì)一切xR,1恒成立,求a的取值集合.(2)在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn),記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.（2012年高考（湖北理）()已知函數(shù),其中為有理數(shù),且. 求的最小值;()試用()的結(jié)果證明如下命題:設(shè),為正有理數(shù). 若,則;()請(qǐng)將()中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注:當(dāng)為正有理數(shù)時(shí),有求導(dǎo)公式.（2012年高考（廣

6、東理）(不等式、導(dǎo)數(shù))設(shè),集合,.()求集合(用區(qū)間表示);()求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn).（2012年高考（福建理）已知函數(shù). ()若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()試確定的取值范圍,使得曲線上存在唯一的點(diǎn),曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).（2012年高考（大綱理）(注意:在試題卷上作答無效)設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)設(shè),求的取值范圍.（2012年高考（北京理）已知函數(shù)(),.(1)若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)(1,)處具有公共切線,求的值;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間上的最大值.（2012年高考（安徽理）(本小題滿分13分)設(shè)(I)求在上的最小值;(II)

7、設(shè)曲線在點(diǎn)的切線方程為;求的值.2012年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：導(dǎo)數(shù)參考答案一、選擇題 【解析】選 得:或均有 排除 【答案】A 【解析】若,必有.構(gòu)造函數(shù):,則恒成立,故有函數(shù)在x>0上單調(diào)遞增,即a>b成立.其余選項(xiàng)用同樣方法排除. 【答案】D 【解析】,由,函數(shù)為增; ,由,函數(shù)為減; ,由,函數(shù)為減; ,由,函數(shù)為增. 【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0,則函數(shù)為增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減. 解析:,令得,時(shí),為減函數(shù);時(shí),為增函數(shù),所以為的極小值點(diǎn),選D. 【解析】若函數(shù)在R上為減函數(shù),則有.函數(shù)為增函數(shù),則有,所以,所以“函數(shù)在R上為

8、減函數(shù)”是“函數(shù)為增函數(shù)”的充分不必要條件,選A. 考點(diǎn)分析:本題考察利用定積分求面積. 解析:根據(jù)圖像可得: ,再由定積分的幾何意義,可求得面積為. 【答案】C 【解析】,故,答案C 【考點(diǎn)定位】本題主要考查幾何概型的概率和定積分,考查推理能力、計(jì)算求解能力. 答案A 【命題意圖】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究三次函數(shù)中的極值的運(yùn)用.要是函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則需要滿足極佳中一個(gè)為零即可. 【解析】因?yàn)槿魏瘮?shù)的圖像與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合該函數(shù)的圖像,可得極大值或者極小值為零即可滿足要求.而,當(dāng)時(shí)取得極值 由或可得或,即. 二、填空題 NxyODM15P圖2xyABC15圖1解析如圖1

9、, 所以, 易知,y=xf(x)的分段解析式中的兩部分拋物線形狀完全相同,只是開口方向及頂點(diǎn)位置不同,如圖2,封閉圖形MNO與OMP全等,面積相等,故所求面積即為矩形ODMP的面積S=. 評(píng)注對(duì)于曲邊圖形,上?，F(xiàn)行教材中不出微積分,能用微積分求此面積的考生恐是極少的,而對(duì)于極大部分考生,等積變換是唯一的出路. 【解析】由已知得,所以,所以. 【解析】本題考查有關(guān)多項(xiàng)式函數(shù),三角函數(shù)定積分的應(yīng)用. . 【點(diǎn)評(píng)】這里,許多學(xué)生容易把原函數(shù)寫成,主要是把三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記混而引起的.體現(xiàn)考綱中要求了解定積分的概念.來年需要注意定積分的幾何意義求曲面面積等. 解析:.,所以切線方程為,即. 三、解答

10、題 【命題意圖】本試題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查函數(shù)思想、分類討論思想、考查綜合分析和解決問題的能力. (1)的定義域?yàn)榈茫簳r(shí)，（2）設(shè)則在上恒成立（*）當(dāng)時(shí)，與（*）矛盾當(dāng)時(shí)，符合（*）得：實(shí)數(shù)的最小值為(lfxlby)（3）由（2）得：對(duì)任意的值恒成立取：當(dāng)時(shí)， 得：（lb ylfx）當(dāng)時(shí)，得：【點(diǎn)評(píng)】試題分為三問,題面比較簡(jiǎn)單,給出的函數(shù)比較常規(guī),因此入手對(duì)于同學(xué)們來說沒有難度,第二問中,解含參數(shù)的不等式時(shí),要注意題中參數(shù)的討論所有的限制條件,從而做到不重不漏;第三問中,證明不等式,應(yīng)借助于導(dǎo)數(shù)證不等式的方法進(jìn)行. 【解析】(1) 令得: 得:

11、在上單調(diào)遞增 得:的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為 (2)得 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增 時(shí),與矛盾 當(dāng)時(shí), 得:當(dāng)時(shí), 令;則 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),的最大值為 【解析】本題主要考察不等式,導(dǎo)數(shù),單調(diào)性,線性規(guī)劃等知識(shí)點(diǎn)及綜合運(yùn)用能力. () (). 當(dāng)b0時(shí),>0在0x1上恒成立, 此時(shí)的最大值為:=|2a-b|a; 當(dāng)b>0時(shí),在0x1上的正負(fù)性不能判斷, 此時(shí)的最大值為: =|2a-b|a; 綜上所述:函數(shù)在0x1上的最大值為|2a-b|a; () 要證+|2a-b|a0,即證=|2a-b|a. 亦即證在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a, ,令. 當(dāng)b0時(shí),<

12、0在0x1上恒成立, 此時(shí)的最大值為:=|2a-b|a; 當(dāng)b<0時(shí),在0x1上的正負(fù)性不能判斷, |2a-b|a; 綜上所述:函數(shù)在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a. 即+|2a-b|a0在0x1上恒成立. ()由()知:函數(shù)在0x1上的最大值為|2a-b|a, 且函數(shù)在0x1上的最小值比(|2a-b|a)要大. 11對(duì)x0,1恒成立, |2a-b|a1. 取b為縱軸,a為橫軸. 則可行域?yàn)?和,目標(biāo)函數(shù)為z=a+b. 作圖如下: 由圖易得:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z=a+b過P(1,2)時(shí),有,. 所求a+b的取值范圍為:. 【答案】() 見解析;() . 【考點(diǎn)定位】本小題主要考查

13、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義,兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力. 解:(1)因,故 由于曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸,故該切線斜率為0,即, 從而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定義域內(nèi),舍去), 當(dāng)時(shí),故在上為減函數(shù); 當(dāng)時(shí),故在上為增函數(shù); 故在處取得極小值. 解析:(1),時(shí), ,在內(nèi)存在零點(diǎn). 又當(dāng)時(shí), 在上是單調(diào)遞增的,所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn). (2)當(dāng)時(shí), 對(duì)任意都有等價(jià)于在上最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下:()當(dāng),即時(shí), ,與題設(shè)矛盾 ()當(dāng),即時(shí), 恒成立 ()當(dāng),即時(shí), 恒成立. 綜上可知, 注:()()也可合并證明如下:

14、用表示中的較大者.當(dāng),即時(shí), 恒成立 (3)證法一 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn) , 于是有 又由(1)知在上是遞增的,故, 所以,數(shù)列是遞增數(shù)列. 證法二 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn) 則的零點(diǎn)在內(nèi),故, 所以,數(shù)列是遞增數(shù)列. 解析:由f(x) = 可得,而,即,解得; (),令可得, 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù). (), (1)當(dāng)時(shí), ,. (2)當(dāng)時(shí),要證. 只需證即可 設(shè)函數(shù). 則, 則當(dāng)時(shí), 令解得, 當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí), 則當(dāng)時(shí),且, 則,于是可知當(dāng)時(shí)成立 綜合(1)(2)可知對(duì)任意x>0,恒成立. 另證1:設(shè)函數(shù),則, 則當(dāng)時(shí), 于是當(dāng)時(shí),要證, 只需證即可, 設(shè), 令解得

15、, 當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí), 則當(dāng)時(shí), 于是可知當(dāng)時(shí)成立 綜合(1)(2)可知對(duì)任意x>0,恒成立. 另證2:根據(jù)重要不等式當(dāng)時(shí),即, 于是不等式, 設(shè), 令解得, 當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí), 則當(dāng)時(shí), 于是可知當(dāng)時(shí)成立. 【答案及解析】 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性與最值中的運(yùn)用.本題容易忽略函數(shù)的定義域,根據(jù)條件曲線與直線在(0,0)點(diǎn)相切,求出的值,然后,利用函數(shù)的單調(diào)性或者均值不等式證明即可.從近幾年的高考命題趨勢(shì)看,此類型題目幾乎年年都有涉及,因此,在平時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練.本題屬于中檔題. 【答案】解:(1)由,得. 1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn), ,解得. (2) 由(1)得,

16、, ,解得. 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), 是的極值點(diǎn). 當(dāng)或時(shí), 不是的極值點(diǎn). 的極值點(diǎn)是-2. (3)令,則. 先討論關(guān)于 的方程 根的情況: 當(dāng)時(shí),由(2 )可知,的兩個(gè)不同的根為I 和一2 ,注意到是奇函數(shù),的兩個(gè)不同的根為一和2. 當(dāng)時(shí), , 一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. 當(dāng)時(shí), ,于是是單調(diào)增函數(shù),從而. 此時(shí)在無實(shí)根. 當(dāng)時(shí).,于是是單調(diào)增函數(shù). 又,的圖象不間斷, 在(1 , 2 )內(nèi)有唯一實(shí)根. 同理,在(一2 ,一I )內(nèi)有唯一實(shí)根. 當(dāng)時(shí),于是是單調(diào)減兩數(shù). 又, ,的圖象不間斷, 在(一1,1 )內(nèi)有唯一實(shí)根. 因此,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的根滿足;當(dāng) 時(shí) 有三個(gè)

17、不同的根,滿足. 現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn): ( i )當(dāng)時(shí),有兩個(gè)根,滿足. 而有三個(gè)不同的根,有兩個(gè)不同的根,故有5 個(gè)零點(diǎn). ( 11 )當(dāng)時(shí),有三個(gè)不同的根,滿足. 而有三個(gè)不同的根,故有9 個(gè)零點(diǎn). 綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn). 【考點(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 【解析】(1)求出的導(dǎo)數(shù),根據(jù)1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可. (2)由(1)得,求出,令,求解討論即可. (3)比較復(fù)雜,先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況;再考慮函數(shù)的零點(diǎn). 【解析】()若,則對(duì)一切,這與題設(shè)矛盾,又, 故. 而令 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值

18、于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng) . 令則 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減. 故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),式成立. 綜上所述,的取值集合為. ()由題意知, 令則 令,則. 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增. 故當(dāng),即 從而,又 所以 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使單調(diào)遞增,故這樣的是唯一的,且.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), . 綜上所述,存在使成立.且的取值范圍為 . 【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想,轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切xR,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為,

19、從而得出a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及最值來進(jìn)行分析判斷. 考點(diǎn)分析:本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,并結(jié)合推理,考察數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)考生的歸納推理能力有較高要求. 解析:(),令,解得. 當(dāng)時(shí),所以在內(nèi)是減函數(shù); 當(dāng) 時(shí),所以在內(nèi)是增函數(shù). 故函數(shù)在處取得最小值. ()由()知,當(dāng)時(shí),有,即 若,中有一個(gè)為0,則成立; 若,均不為0,又,可得,于是 在中令,可得, 即,亦即. 綜上,對(duì),為正有理數(shù)且,總有. ()()中命題的推廣形式為: 設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù),為正有理數(shù). 若,則. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下: (1)當(dāng)時(shí),有,成立. (2)假設(shè)當(dāng)時(shí),

20、成立,即若為非負(fù)實(shí)數(shù),為正有理數(shù), 且,則. 當(dāng)時(shí),已知為非負(fù)實(shí)數(shù),為正有理數(shù), 且,此時(shí),即,于是 =. 因,由歸納假設(shè)可得 , 從而. 又因,由得 , 從而. 故當(dāng)時(shí),成立. 由(1)(2)可知,對(duì)一切正整數(shù),所推廣的命題成立. 說明:()中如果推廣形式中指出式對(duì)成立,則后續(xù)證明中不需討論的情況. 解析:()考慮不等式的解. 因?yàn)?且,所以可分以下三種情況: 當(dāng)時(shí),此時(shí),. 當(dāng)時(shí),此時(shí),. 當(dāng)時(shí),此時(shí)有兩根,設(shè)為、,且,則,于是 . 當(dāng)時(shí),所以,此時(shí);當(dāng)時(shí),所以,此時(shí). 綜上所述,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.其中,. (),令可得.因?yàn)?所以有兩根和,且. 當(dāng)時(shí),此時(shí)在內(nèi)有兩根和,列表

21、可得1+0-0+遞增極小值遞減極大值遞增所以在內(nèi)有極大值點(diǎn)1,極小值點(diǎn). 當(dāng)時(shí),此時(shí)在內(nèi)只有一根,列表可得+0-+遞增極小值遞減遞增所以在內(nèi)只有極小值點(diǎn),沒有極大值點(diǎn). 當(dāng)時(shí),此時(shí)(可用分析法證明),于是在內(nèi)只有一根,列表可得+0-+遞增極小值遞減遞增所以在內(nèi)只有極小值點(diǎn),沒有極大值點(diǎn). 當(dāng)時(shí),此時(shí),于是在內(nèi)恒大于0,在內(nèi)沒有極值點(diǎn). 綜上所述,當(dāng)時(shí),在內(nèi)有極大值點(diǎn)1,極小值點(diǎn);當(dāng)時(shí),在內(nèi)只有極小值點(diǎn),沒有極大值點(diǎn).當(dāng)時(shí),在內(nèi)沒有極值點(diǎn). 【考點(diǎn)定位】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、抽象與概括的能力、推理與論證的能力,考查數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、分類討論的思想、有限與無限的思想. 解:(1),故 時(shí),時(shí),所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為 (2)設(shè)切點(diǎn),則切線 令,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)切點(diǎn),所以函數(shù)就只有一個(gè)零點(diǎn),因?yàn)?,若 ,因此有唯一零點(diǎn),由的任意性知不合題意 若,令,則 ,存在一個(gè)零點(diǎn),使曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).故的取值范圍為. 【命題意圖】本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用.第