備戰(zhàn)歷屆高考數(shù)學真題匯編專題 復數(shù) 理

1、【2006高考試題】一、選擇題（共11題）2（北京卷）在復平面內，復數(shù)對應的點位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解：故選D3（福建卷）設a、b、c、dR，則復數(shù)(a+bi)(c+di)為實數(shù)的充要條件是A.adbc=0 B.acbd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=04（廣東卷）若復數(shù)滿足方程，則A. B. C. D. 解析：由，故選D.5（江西卷）已知復數(shù)z滿足（3i）z3i，則z（ ）A B. C. D.解：故選D。6（全國卷I）如果復數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)A B C D解析：復數(shù)=(m2m)+(1+m3)i是實數(shù)， 1+m3=0，m=1，選B.8(陜西

2、卷)復數(shù)等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 復數(shù)=，選C11（浙江卷）已知(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【考點分析】本題考查復數(shù)的運算及性質，基礎題。解析：，由、是實數(shù)，得，故選擇C。二、填空題（共4題）12（湖北卷）設為實數(shù)，且，則。解：，而 所以，解得x1，y5，所以xy4。13(上海卷)若復數(shù)同時滿足2，（為虛數(shù)單位），則 解：已知；14(上海卷)若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），其中則?！?005高考試題】1（廣東卷）若，其中、，使虛數(shù)單位，則(D)（）（）（）（）2.（北京卷）若 , ，且為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為3. （福建卷）復

3、數(shù)的共軛復數(shù)是（ B ）ABCD4. （湖北卷）（ C ）ABCD5. （湖南卷）復數(shù)zii2i3i4的值是（B）A1B0C1Di6. （遼寧卷）復數(shù)在復平面內，z所對應的點在（B ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7. (全國卷II) 設、，若為實數(shù)，則 ( A)(A) (B) (C) (D) 8. (全國卷III) 已知復數(shù).9. （山東卷）（1） （ D ）（A） （B） （C）1 （D）10. （天津卷）2若復數(shù)（aR，i為虛數(shù)單位位）是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（ C ）A2B4 C6 D611. （浙江卷）在復平面內，復數(shù)(1i)2對應的點位于( B )(A) 第一象限 (B)

4、 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限12. (重慶卷)（ A ）ABCD13. （江西卷）設復數(shù)：為實數(shù)，則x=（ A）A2B1C1D2 14.（上海）在復數(shù)范圍內解方程(i為虛數(shù)單位)【2004高考試題】1.（北京）當時，復數(shù)在復平面上對應的點位于（ D ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2（上海）若復數(shù)滿足，則的實部是 1 。3（湖北）復數(shù)的值是（ A ）A16B16CD4（湖南）復數(shù)的值是（ D ）ABC4D4【2003高考試題】3.（2002京皖春，4）如果（，），那么復數(shù)（1i）（cosisin）的輻角的主值是（ ）A.B.C.D.4（2002全國，

5、2）復數(shù)（i）3的值是（ ）A. iB.iC.1D.15.（2002上海，13）如圖121，與復平面中的陰影部分（含邊界）對應的復數(shù)集合是（ ）圖1216.（2001全國文，5）已知復數(shù)，則arg是（ ）A.B.C.D.9.（2000上海理，13）復數(shù)z（i是虛數(shù)單位）的三角形式是（ ）A.3cos（）isin（）B.3（cosisin）C.3（cosisin）D.3（cosisin）10.（2000京皖春，1）復數(shù)z13i，z21i，則zz1·z2在復平面內的對應點位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.（1998全國，8）復數(shù)i的一個立方根是i，它的

6、另外兩個立方根是（ ）A.B.C.±D.±13.（1996全國，4）復數(shù)等于（ ）A.1+iB.1+iC.1iD.1i14.（1994上海，16）設復數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位），則滿足等式zn=z且大于1的正整數(shù)n中最小的是（ ）A.3 B.4 C.6 D.715.（1994全國，9）如果復數(shù)z滿足|z+i|+|zi|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ）A.1 B.C.2 D.二、填空題16.（2003上海春，6）已知z為復數(shù)，則z+2的一個充要條件是z滿足.17.（2002京皖春，16）對于任意兩個復數(shù)z1x1y1i，z2x2y2i（x1、y1、x2、y2為實數(shù)），定義

7、運算“”為：z1z2x1x2y1y2設非零復數(shù)w1、w2在復平面內對應的點分別為P1、P2，點O為坐標原點如果w1w20，那么在P1OP2中，P1OP2的大小為18.（2002上海，1）若zC，且（3z）i1（i為虛數(shù)單位），則z19.（2001上海春，2）若復數(shù)z滿足方程i=i1（i是虛數(shù)單位），則z=_.20.（1997上海理，9）已知a=（i是虛數(shù)單位），那么a4=_.21.（1995上海，20）復數(shù)z滿足（1+2i）=4+3i，那么z=_.三、解答題26.（2001上海理，20）對任意一個非零復數(shù)z，定義集合Mzw|wz2n1，nN（）設是方程x的一個根，試用列舉法表示集合M；（）設復

8、數(shù)Mz，求證：MMz27.（2001上海文，20）對任意一個非零復數(shù)z，定義集合Mzw|wzn，nN（）設z是方程x+=0的一個根，試用列舉法表示集合Mz若在Mz中任取兩個數(shù)，求其和為零的概率P；（）若集合Mz中只有3個元素，試寫出滿足條件的一個z值，并說明理由28.（2000上海春，18）設復數(shù)z滿足|z|5，且（34i）z在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上，|zm|5（mR），求z和m的值.30.（1999全國理，20）設復數(shù)z3cosi·2sin.求函數(shù)yargz（0）的最大值以及對應的值.31.（1999上海理，19）已知方程x2（4i）x4ai0（aR）有實數(shù)根b

9、，且z=a+bi，求復數(shù)（1ci）（c0）的輻角主值的取值范圍.32.（1999上海文，19）設復數(shù)z滿足4z+2=3+i，=sinicos（R）.求z的值和|z|的取值范圍.33.（1998上海文，18）已知復數(shù)z1滿足（z12）i=1+i，復數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實數(shù)，求復數(shù)z2的模.34.（1998上海理，18）已知向量所表示的復數(shù)z滿足（z2）i=1+i，將繞原點O按順時針方向旋轉得，設所表示的復數(shù)為z，求復數(shù)z+i的輻角主值.35.（1997全國文，20）已知復數(shù)z=i，w=i，求復數(shù)zw+zw3的模及輻角主值.38.（1996上海理，22）設z是虛數(shù)，w=z+是

10、實數(shù)，且12.（）求|z|的值及z的實部的取值范圍；（）設u=，求證：u為純虛數(shù)；（）求wu2的最小值.39.（1995上海，22）已知復數(shù)z1、z2滿足|z1|=|z2|1，且z1+z2=i.求z1、z2的值.40.（1995全國文，22）設復數(shù)z=cos+isin，（，2）.求復數(shù)z2+z的模和輻角.41.（1995全國理，21）在復平面上，一個正方形的四個頂點按照逆時針方向依次為Z1，Z2，Z3，O（其中O是原點），已知Z2對應復數(shù)z2=1+i，求Z1和Z3對應的復數(shù).42.（1994全國理，21）已知z=1+i，（）設w=z2+34，求w的三角形式.（）如果=1i，求實數(shù)a，b的值.4

11、3.（1994上海，22）設w為復數(shù)，它的輻角主值為，且為實數(shù)，求復數(shù)w.答案解析2.答案：A解析：由已知z=（m4）2（m+1）i在復平面對應點如果在第一象限，則而此不等式組無解.即在復平面上對應的點不可能位于第一象限.3.答案：B解析：（1i）（cosisin）（cosisin）（cosisin）cos（）isin（）（，） （，）該復數(shù)的輻角主值是6.答案：D解法一：解法二：應在第四象限，tan，argarg是8.答案：B解析：根據(jù)復數(shù)乘法的幾何意義，所求復數(shù)是9.答案：C解法一：采用觀察排除法.復數(shù)對應點在第二象限，而選項A、B中復數(shù)對應點在第一象限，所以可排除.而選項D不是復數(shù)的三角

12、形式，也可排除，所以選C.解法二：把復數(shù)直接化為復數(shù)的三角形式，即12.答案：D解法一：i=cos+isini的三個立方根是cos（k=0，1，2）當k=0時，；當k=1時，；當k=2時，.13.答案：B解法一：，故（2+2i）4=26（cos+isin）=26，1，故.于是,所以選B.解法二：原式=應選B14.答案：B解析：z=i是z3=1的一個根，記z=，4=，故選B.17.答案：解析：設w1w20 由定義x1x2y1y20OP1OP2 P1OP221.答案：2+i解析：由已知，故z=2+i.22.解法一：設zabi（a，bR），則（13i）za3b（3ab）i由題意，得a3b0|，|z|

13、將a3b代入，解得a±15，b±15故±±（7i）解法二：由題意，設（13i）zki，k0且kR，則|5，k±50故±（7i）23.解：z1i，az2b（a2b）（a2b）i，（a2z）2（a2）244（a2）i（a24a）4（a2）i，因為a，b都是實數(shù)，所以由az2b（a2z）2得兩式相加，整理得a26a80，解得a12，a24，對應得b11，b22所以，所求實數(shù)為a2，b1或a4，b2（）z71，zcosisinz7cos7isin71，72kzz2z41z3z5z61cos（2k4）isin（2k4）cos（2k2）isin（

14、2k2）cos（2k）isin（2k）1（cos4isin4cos2isin2cosisin）2（coscos2cos4）1，coscos2cos4解法二：z2·z51，z2同理z3，zzz2z41zzz1cos2coscos4解法二：|z|1可看成z為半徑為1，圓心為（0，0）的圓.而z1可看成在坐標系中的點（2，2）|zz1|的最大值可以看成點（2，2）到圓上的點距離最大.由圖122可知：|zz1|max2126.（）解：是方程x2x10的根1（1i）或2（1i）當1（1i）時，12i，12n1當2（1i）時，22iM28.解：設zxyi（x、yR），|z|5，x2y225，而（

15、34i）z（34i）（xyi）（3x4y）（4x3y）i，又（34i）z在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上，3x4y4x3y0，得y7xx±，y±即z±（i）；z±（17i）當z17i時，有|17im|5，即（1m）27250，得m=0，m=2.當z（17i）時，同理可得m0，m2解：該直線上的任一點P（x，y），其經變換后得到的點Q（xy，xy）仍在該直線上，xyk（xy）b，即（k1）y（k）xb，30.解：由0得tan0由z3cosi·2sin，得0argz及tan（argz）tan故tanytan（argz）2tan2當且僅當

16、2tan（0）時，即tan時，上式取等號.所以當arctan時，函數(shù)tany取最大值由yargz得y（）由于在（）內正切函數(shù)是遞增函數(shù)，函數(shù)y也取最大值arctan評述：本題主要考查復數(shù)的基本概念、三角公式和不等式等基礎知識，考查綜合運用所學數(shù)學知識解決問題的能力.明考復數(shù)實為三角.語言簡練、情景新穎，對提高考生的數(shù)學素質要求是今后的命題方向.復數(shù)（1ci）的輻角主值在0，范圍內，有arg（1ci）arctanarctan（1），0c1，011，有0arctan（1），0arg（1ci）32.解：設z=a+bi（a，bR），則=abi，代入4z+2=3+i得4（a+bi）+2（abi）=3+i

17、.z=i.|z|=|i（sinicos）|=1sin（）1，022sin（）4.0|z|2.評述：本題考查了復數(shù)、共軛復數(shù)的概念，兩復數(shù)相等的充要條件、復數(shù)的模、復數(shù)模的取值范圍等基礎知識以及綜合運用知識的能力.34.解：由（z2）i=1+i得z=+2=3iz=zcos（）+isin（）=（3i）（i）=2iz+i=i=2（i）=2（cos+isin）arg（z1+i）=評述：本題考查復數(shù)乘法的幾何意義和復數(shù)輻角主值的概念.35.解法一：zw+zw3=zw（1+w2）=（i）（i）（1+i）=（1+i）2（i）=故復數(shù)zw+zw3的模為，輻角主值為.解法二：w=i=cos+isinzw+zw3

18、=z（w+w3）=z（cos+isin）+（cos+isin）3=z（cos+isin）+（cos+isin）=z（）=故復數(shù)zw+zw3的模為，輻角主值為.評述：本題主要考查復數(shù)的有關概念及復數(shù)的基本運算能力.又因為|OP|=|=1，|OQ|=|z23|=|z|2|3=1|OP|=|OQ|.由此知OPQ為等腰直角三角形.證法二：z=cos（）+isin（）.z3=i又=.4=1于是由此得OPOQ，|OP|=|OQ|故OPQ為等腰直角三角形.（2）由z1=1+mi（m0），z12=z2得z2=（1m2）+2mi=（1+m2）+2mitan=由m0，知m+2，于是1tan0又 （m2+1）0，2m0，得因此所求的取值范圍為，）.38.解：（）設z=a+bi，a、bR，b0則w=a+bi+因為w是實數(shù)，b0，所以a2b2=1，即|z|=1.于是w=2a，1w=2a2，a1，所以z的實部的取值范圍是（，1）.（）.因為a（，1），b0，所以u為純虛數(shù).39.解：由|z1z2|=1，得（z1+z2）（）=1，又|z1|=|z2|=1，故可得z1+z2=1，所以z1的實部=z2的實部=.又|z2|=1，故z2的虛部為±，z2=±i，z2=z1.于是z1+z1，所以z1=1，z2=或z1=，z2=1.所以，或40.解法一：z2+z=（cos+isin）2+