固體物理期末考試

1、固體物理期末考試Company number 1089WT-1898YT-1一、概念、簡(jiǎn)答1 .晶體,非晶體，準(zhǔn)晶體；(pl, p41, p48)答:理想晶體中原子排列十分規(guī)則,主要體現(xiàn)是原子排列具有周期性,或稱為長(zhǎng)程有 序,而非晶體則不具有長(zhǎng)程的周期性.,因此不具有長(zhǎng)程序,但非晶態(tài)材料中原子的排 列也不是雜亂無章的,仍保留有原子排列的短程序.準(zhǔn)晶態(tài):具有長(zhǎng)程序的取向序而 沒有長(zhǎng)程序的平移對(duì)稱序;取向序具有晶體周期性所不能容許的點(diǎn)群對(duì)稱性,沿取向 序?qū)ΨQ軸的方向具有準(zhǔn)周期性,有兩個(gè)或兩個(gè)以上的不可公度特征長(zhǎng)度按著特定的 序列方式排列.2 .布拉菲格子；(P11)答:布拉菲格子是一種數(shù)學(xué)上的抽象

2、,是點(diǎn)在空間中周期性的規(guī)則排列,實(shí)際晶格可 以看成在空間格子的每個(gè)格點(diǎn)上放有一組原子,它們相對(duì)位移為r,這個(gè)空間格子表 征了晶格的周期性叫布拉菲格子.3 .原胞，晶胞；(pH)答:晶格的最小周期性單元叫原胞.晶胞:為了反映晶格的對(duì)稱性,選取了較大的周期 單元,我們稱晶體學(xué)中選取的單元為單胞.根據(jù)基矢定義三個(gè)新的矢裝4.倒tl-5)子,稱為倒格子基矢量.正如以為基矢可以構(gòu)成布拉伐格于 一樣，以加、%、%為基矢也可以構(gòu)成一個(gè)倒格子，倒核子每個(gè)格啟倒格子基矢；（pl6）5.獨(dú)立對(duì)稱操作：m、i、1、2、3y 4、6、6 .七個(gè)晶系、十四種布拉伐格子；（p35）A系華悒場(chǎng)先的件性布拉伐梧子廟加點(diǎn)醉三斜

3、品系a，i c， 夾角不不曲M三斜。1 C .冷的品系。J/。力X。3a 2 -L。j ,盒館收單.鐘 心心單也卜C： A，C C.4正交跳系。1 W c & U。，o，a*，a 32£M!flc JX侑滋正交 底心TE交 體心JF * 面心正文三泊品品"1 -。工" = "=yyiNo0三 ffic», Q.?！鞍怂姆狡废礱、= Sqay足 -一v =9。°融j *四方 體心四方C O4 A , 4 wC7 4v A，4 4，"a "六用,N系妙：a .a】，。乂夾向12。°六 角Ce C 6

4、C y 。妙 A>，）、A立方興系答：C91 -= <1。 a *cm （3 v 90°簡(jiǎn)即立方 休心*方 面心立力rim.o,o41 » 7 .第一布里淵區(qū):倒格子原胞 答：在倒格子中取某一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做所有倒格矢G的垂直平分面，這些平面將 倒格子空間分成許多包圍康蠡笏需統(tǒng) 其中與原點(diǎn)最近的多面體稱為第一布里淵區(qū)。一 cl . 廠、31 -r的晶體為何種結(jié)糕）苞'0 0,a 0 =aa2228 .基矢為I又為何種結(jié)構(gòu)。£l = al -（a2 xa3） = 0 a 2解：計(jì)算晶體原胞體積:-。八 r - a3=-（J+k）+ 1若一期=4

5、,（72乂不3）=由原胞推斷，晶體結(jié)構(gòu)屬體心立方結(jié)構(gòu)。0 0a 0 =a a 22 2a 0 3a 2由原胞推斷，該晶體結(jié)構(gòu)仍屬體心立方結(jié)構(gòu)。9 .固體結(jié)合的基本形式及基本特點(diǎn)。（p49P55、57p67p69答：離子型結(jié)合以離子而不是以原子為結(jié)合的單位，共價(jià)結(jié)合是靠?jī)蓚€(gè)原子各貢獻(xiàn) 一個(gè)電子，形成所謂的共價(jià)鍵，具有飽和性和方向性。金屬性結(jié)合的基本特點(diǎn)是電 子的共有化，在晶體內(nèi)部一方面是由共有化電子形成的負(fù)電子云，另一方面是侵在 這個(gè)負(fù)電子云中的帶正點(diǎn)的各原子實(shí)。范德瓦爾斯結(jié)合往往產(chǎn)生于原來有穩(wěn)固電子 結(jié)構(gòu)的原子或分子間，是一種瞬時(shí)的電偶極矩的感應(yīng)作用。10 .是否有與庫(kù)侖力無關(guān)的晶體結(jié)合類型答

6、：共價(jià)結(jié)合中，電子雖然不能脫離電負(fù)性大的原子，但靠近的兩個(gè)電負(fù)性大的原 子可以各出一個(gè)電子，形成電子共享形式，通過庫(kù)侖力把兩個(gè)原子連接起來。離子 晶體中，正負(fù)離子的吸引力就是庫(kù)侖力。金屬結(jié)合中，原子依靠原子實(shí)與電子云間 的庫(kù)侖力緊緊地吸引著。分子結(jié)合中，是電偶極矩把原本分離的原子結(jié)合成晶體， 電偶極矩的作用力實(shí)際上就是庫(kù)侖力。氫鍵結(jié)合中，氫先與電負(fù)性大的原子形成共 價(jià)結(jié)合后，氫核與負(fù)電中心不再重合，迫使它通過庫(kù)侖力再與另一個(gè)電負(fù)性大的原 子結(jié)合?？梢?，所有晶體結(jié)合類型都與庫(kù)侖力有關(guān)。11 .為什么許多金屬為密堆積結(jié)構(gòu)答：金屬結(jié)合中，受到最小能量原理的約束要求原子實(shí)與共有電子電子云間的庫(kù)侖 能要

7、盡可能的低（絕對(duì)值盡可能的大原子實(shí)越緊湊，原子實(shí)與共有電子電子云靠的 越緊密，庫(kù)侖能越低，因此，許多金屬結(jié)構(gòu)為密積結(jié)構(gòu)。12 .引入玻恩一卡門條件的理由是什么答：由原子運(yùn)動(dòng)方程可知，除原子鏈兩端的兩個(gè)原子外其他任一個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)都與 相鄰的兩個(gè)原子運(yùn)動(dòng)相關(guān)，原子鏈兩端的兩個(gè)原子只有一個(gè)相鄰原子，其運(yùn)動(dòng)方程 同其他原子不同，引入玻恩一一卡門條件方便于求解運(yùn)動(dòng)方程。并且引入玻恩一 一卡門條件后，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的振動(dòng)譜與理論相符的事實(shí)說明玻恩一卡門邊界條件 是目前較好的一個(gè)邊界條件。13 .長(zhǎng)光學(xué)支格波與長(zhǎng)聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別答：長(zhǎng)光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞內(nèi)的不同原子作相對(duì)振動(dòng)，振動(dòng)頻率較高，它 包含

8、了晶格振動(dòng)頻率最高的振動(dòng)模式。長(zhǎng)聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒 有相對(duì)位移，原胞作整體運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)頻率較低，他包含了晶格振動(dòng)頻率最低的振動(dòng) 模式，波速是一常數(shù)。任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡(jiǎn)單晶格晶體不存在光學(xué)支 格波。14 .布洛赫定理(pl45)布洛舞定理指出，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)具有晶格周期性忖，波動(dòng)方程的解由 具有如下性典+/L) = e'&、/族“)/(4-3)其中以為一矢量.、(右8)式友期當(dāng)平移晶格矢量M,時(shí),波函激只增 加了位相因子/a. (4-3)式就是布洛赫定理.*踞布法赫定 理可以把波函數(shù)寫成)(jr) = eIA'r «(r).(4-4)其中*G

9、)具有與品格同樣的周期性，知、.錢6+&)=殘0):(4-5)(4-4)式表達(dá)的波函數(shù)稱為布洛赫函數(shù)，它是平面族與周期函數(shù)的 乘積.:；15 .緊束縛模型電子的能量是正值還是負(fù)值答:緊束縛模型電子在原子附近的幾率大，遠(yuǎn)離原子的幾率很小，在原子附近它的 行為同在孤立原子的行為相近，因此緊束縛模型電子能量與在孤立原子中的能量相 近，孤立原子中電子能量是一個(gè)負(fù)值，所以緊束縛模型電子能量是一負(fù)值。16 .本征半導(dǎo)體的能帶與絕緣體的能帶有何異同答：在低溫下，本征半導(dǎo)體能帶與絕緣體的能帶結(jié)構(gòu)相同。但是本征半導(dǎo)體禁帶較 窄，禁帶寬度在2個(gè)電子伏特以下。由于禁帶窄，本征半導(dǎo)體禁帶下滿帶頂?shù)碾娮?可以借

10、助熱激發(fā)躍遷到禁帶上面空帶底部，使得滿帶不滿，空帶不空，二者都對(duì)導(dǎo) 電有貢獻(xiàn)。17.布洛赫函數(shù)滿型不+凡)= *行)為什么說上式中的具有波矢的意義答:人們總酬把布瓶椎蹩瘠礴"理索"凡=2黜 是電子的波矢。將 代入得到其中利用由上式可知有波矢的含義。二、證明與計(jì)算1立方格子的特征項(xiàng)目簡(jiǎn)立方體心立方面心立方晶胞體積a3a3a3每個(gè)晶胞所含格點(diǎn)數(shù)12(即 1+8 X1/8)4(BP 8 X 1/8+6X 1/2)原胞體積a3a3/2a3/4最近鄰數(shù)68國(guó)12 匹最近鄰距離a2倒格子與正格子的區(qū)別與聯(lián)系cy= 例1面心立方晶格，晶格產(chǎn)數(shù)為 原胞體積為一 4第一布里淵區(qū)體積為例2體心

11、立方晶格，晶格蕾數(shù)弁原胞體積為萬第一布里淵區(qū)體積為 q*_2Q 辦.a'6/ r 6a - -Ma -ax = i +/ ch =/ +/2222例3：知某種晶體固體物理學(xué)原胞基矢為'L ck（1）求原胞體積。（2）求倒格子基矢（3）求第一布里淵區(qū)體積鋒 （1）司=g7 +叵7 %尹+半? 不3=。無2222C = 4 02 X 53 ） =a2C瓦=2萬號(hào)=爺a+了）（2） r- f 星 xq 工兀1% = 2萬=二（一】十灰J） £ 1a3& =2兀久咨=江良 'Qc（3） .一（2萬）3 . 16百萬3C3a1 cGR = 2切力（zn為整數(shù)）例

12、4：證明正格矢和倒格矢之間的關(guān)系式為：證:4+如a 4 4為整數(shù)）G =+ n2b.（%n2 n2為整數(shù)） " ' '' 一, R G = （Iq +1、”工斗（弓）. （"i 4 + ni 從 +力3 6 J又.*"；= 2皿八3 = KI：二9/. R，G = 2打（11及1 +I2n2 +心%）設(shè)m=1a+，2% +/“4 0及為整數(shù)）二 R-G = 2mz例5：證明：不存在5度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。證明:A O B如圖所示，A. B是同一晶列上0格點(diǎn)的兩個(gè)最近鄰格點(diǎn)，晶格常數(shù)為00 繞過0點(diǎn)垂直于紙面的轉(zhuǎn)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)角,則A點(diǎn)轉(zhuǎn)到/點(diǎn)，若此

13、 操作為對(duì)稱操作則H點(diǎn)處原來必有一個(gè)格點(diǎn)；同理，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)OB, 則R點(diǎn)處原來必有一個(gè)格點(diǎn)， AB,距離為：AB' = 2a |cos 01 = ma （z為整數(shù)）其中于是可得:上。響=齊m = 0: &= , &= 22m = l :3 , 6='G =，g 3333m = 2:。=兀,8=2萬因?yàn)槟鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)等,分別等于順時(shí)針旋轉(zhuǎn)小早松，所以晶格對(duì)稱轉(zhuǎn)動(dòng)所允許的獨(dú)立轉(zhuǎn)角為：2，第1，統(tǒng)一寫成 則n=12346由此可知，不允許有5度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸乙3.課后習(xí)題:證明：原子球半徑為r,晶格常數(shù)a、試證明六方密排密堆積結(jié)構(gòu)中證明：ABCD四原子球構(gòu)成四面體結(jié)構(gòu),do =

14、|z)a一忸q? =(2 y y_a = 2rc2 2 2 => = a43試證明：面心立方的倒格子為體心立方。證明：已知而心立方正格子基矢如下:- ana -G =5（"之） 仁=5（左 +，） 4 =5（i +J） N乙由倒格矢公式可得：27r / 一 一 7、一（一才十/十左）ab2 =2兀小小一2«：莪）(2 3 yxa32vyci20x%)_ 2%6+八 二者只相聚一常數(shù)公 因子,因此得證。試證明：體心立方的倒格子為面心立方二 證明：己知體心立方正格子基矢如下：fJ一f J / /al = (-i+J+k) a 2 = ( i - j + k ) az =

15、( i + j - k )C-d (ExW)一千z由倒格矢公式可得：Q 對(duì)瓦=半戶=二(八工)昆廠2Qx/)工廠工、工="+社同="定+；)石=式+，)電=-=(z +左) 、k 222q _ a%=2個(gè)產(chǎn))=%在力Cla畫出體心立方和面心立方晶格結(jié)構(gòu)在(100), (110), (111)面上的原子排列指出立方晶格(111)面與(100)面，(111)面與(110)面交線的晶向roll(111)面與(110)面交線的晶向iio1.4證明：3倒格子原胞的Q*體積與正格子原胞體積 Q的關(guān)系為：C* =證：Cl=ax _a2 乂4=仄b2 x b3 _27r -*d =不（%左

16、%）-27r . *2 = K（a3xq）2 7T 2 =宿（勺2）G = （） la2 x - （1% x -x% xa2T）v ZJ x（K x c） =（L5. c）b -（LJ - F）c. a3xax xax x / = a3 xzzj a2ax - _a3 x ax % = G/. 2n 5 二 八. （2n）G =Q-ya2a5Clax =>4>45 倒格矢G +,%+%仇垂直于正格子中密勒指數(shù)為（陽(yáng)力23）的晶面族。即d =跖9+2豆+3瓦甘晶面族Chjh2hp 的法線方向。證明提君設(shè)晶面ABC是晶面族 （句石九）中最靠近原點(diǎn)的晶面， 截距分別為ai a2 a3仄&

17、#39;瓦"'元思路：能證明不同時(shí)垂直于必 于面K15Cq簡(jiǎn)單證明如下：G±CAG ±CBA(一冬冬生冬 一2 一 - 比一 %生出-他 += = 一b /B % a 0G 4 二 （%b；+十九.b （曳一也）=b； a；-b： a： = 0幺上G - CA. = （h、久十 Aj by + /i；仇） :? = % % -仇生=C1. 6證明簡(jiǎn)立方的（hkl ）晶面系的面間距證明思路:2左 同'«*mAG hb + kb2 +/證明：徇立方晶格正格于基矢為:° _ _ 。了 r 6Z2 X C13b» = 2 冗C

18、l = Cfi -（G X G ）。得到倒格子基矢：2=工;G = hbA 4- kbz + ib3=2勿（/jf + 左 j + /左）ciAA- - k-* 弟一早問題：計(jì)算馬德隆常數(shù)證明兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)為 證明方法N 1<z=y±-（同號(hào)為負(fù)異號(hào)為山 i=2 ai兩種一的畫子組成的一雍品格圖舉2J5=>2 土力-C乒與汨正，同與汨孜,4J=N ex = 2 x 2 x -2 x 2 x - -Hln（l + AT> = ” - H1234. er = 2 In 22、計(jì)算二維正方離子交替排列的平面離 I子晶體的馬德隆常數(shù)aL 解：設(shè)最近鄰

19、距離為r, A為中心參考離子，我們 選取不同的中性離子組來 計(jì)算，作以比較。第一種選法選取中 性高于組EF GH來計(jì)算 M a .O,最近鄰 4個(gè)力=1 異號(hào)貢獻(xiàn)因子1/2 :次近鄰 4個(gè) %=6 同號(hào) 貢獻(xiàn)因子1/4 :« = 4xlxl/2-4x 1/V2 X 1/4 之 1.2929第二種選取方法EA0 1= 4x 1x1 4x7=x 1 4 x V2第近鄰原子數(shù)可值符號(hào)貢獻(xiàn)因子141異124叵同1342同1/248后異1/25 M422同1/4O1 1 oxf8x2 21 17T54x12X-=1.6069 4中性離子組選得謔大月簾數(shù)值越準(zhǔn)確。選取較大的中性離子組KLMN、用

20、緊束縛近似法求出面心立方晶格和體心立方晶格S態(tài)原子能級(jí)相應(yīng)的能帶函 數(shù)。解：我們求解面心立方，同學(xué)們做體心立方。（1）如只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S態(tài)電子的能量可表示成：z j（3跳心=近鄰在面心立方中，有12個(gè)最近鄰，若取心=0,則這12個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：1,0）2222 go, 1,1）,0,1 J）, 0,T/）, ；（0,T J）2222 gi,o,i）gi,o,i）,；（i,o,i），2（i,o,i） 2222由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同，因此,（艮）有相同的值，簡(jiǎn)單表示為工二人凡）。又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，即化（7） =%在近鄰重疊積

21、分-/（R.） = "；G-R）u-卜（尺）爾4）"中，波函數(shù)的貢獻(xiàn) 為正/.Jl>0o于是，把近鄰格矢凡代入守（區(qū)）表達(dá)式得到：Ek = ss-J.-J, Z e”區(qū)=近鄰-i-a¥+Xrv） 力鄉(xiāng)3-勺）+氏）-從）二£sH e 2 +e 2 +e 2 +e 2-冷人乜） -i沁J -。-3-女J+e -+e'+e' +e -+-i 4 T/勺） t3一£勺）e 2 +e 2 +e 2 +e 2cos-(kx+ky) + cos-(kx-ky)+ cos - (ky +kj + cos- (kx - k：)cos(Z:. +) + cos(勺 一 kJ 2J cos(a + /3) + cos(a 一/)=2 cos a cos J3= J 一4_4/a f a , a f a . a . a f cos kr cos k、,+ cos k“ cos k.+ cos k. cos k*22'2)24272(2)對(duì)于體心立方：有8個(gè)最近鄰，這8個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是:卻，嗚(UT),卻,ci a ci a E*(k) = £s - Jy-87)(cosykxcosk