數(shù)列求和(倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求合法等)

1、考點(diǎn)4數(shù)列求和(倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求合法等)1. ( 2015江蘇蘇州市高三上調(diào)考)已知數(shù)列 共有2k項(xiàng)(2惑且kC N* ),數(shù)列 的前n項(xiàng)的和為，滿足=2 , = ( P 1) +2 (n=1, 2, 3,，2n 1),其中常數(shù)p> 1(1) 求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；(2) 若p=,數(shù)列 滿足()(n=1, 2,2n),求數(shù)列 的通項(xiàng)公式(3) 對(duì)于(2)中的數(shù)列 ，記，求數(shù)列 的前2k項(xiàng)的和.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列的應(yīng)用.【解】(1)證明：當(dāng)n=1當(dāng)2竊時(shí)，,即，時(shí)，=2p，則,故數(shù)列 是等比數(shù)列.(2 )由(1),得(n=1,2,，2n),=,(n=1,

2、2,，2n), 即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為,(3),設(shè)，解得nW 又n為正整數(shù)，于是：當(dāng)數(shù)列 的前2k項(xiàng)的和:(n=1, 2,，2n).n<時(shí)，；當(dāng)n沫+1時(shí)，,2. ( 2015江蘇高考沖刺壓軸卷(三)設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和記為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)，記數(shù)列 的前n項(xiàng)和記為，求證：.【考點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和【解】(1)當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n2時(shí)，故,(2),其中，當(dāng)n2時(shí)，得,3. ( 2015江蘇高考沖刺壓軸卷(三)已知數(shù)列中，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=,(1)試證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，試求使得成立的 n的值，并說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；二次函數(shù)

3、的性質(zhì)；錯(cuò)位相減法求和.【解】(1)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 x=,左右兩邊同時(shí)乘以.得.即（常數(shù)）.是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,-得：,數(shù)列 是單調(diào)遞增數(shù)列.要使成立，即使，整理得n+2> . n=1 , 2, 3.4. （2015江蘇省南京市高三考前綜合）公差不為零的等差數(shù)列 的前n項(xiàng)之和為.且對(duì)n 成立.（1）求常數(shù)k的值以及數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列中的部分項(xiàng).恰成等比數(shù)列.其中=2. ,= 14 .求的值.【考點(diǎn)】等差數(shù)列或等比數(shù)列中的基本量問(wèn)題；錯(cuò)位相減法與裂項(xiàng)相消法.【解】（1）法一：條件化為對(duì) n成立.設(shè)等差數(shù)列公差為d，則.分別令n = 1, 2, 3得:由+一2得，

4、兩邊平方得，.兩邊再平方得，.解得d = 2.代入得，由一得，所以=0,或=1.又當(dāng)=0時(shí)，d= 0不合題意.所以=1 . d = 2.法二：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d.代入得k= 1.而當(dāng)k= 1, = 1, d= 2時(shí)，等式對(duì)n 成立.所以k= 1,.則，.代入得，即.因?yàn)樯厦娴仁綄?duì)一切正整數(shù) n都成立，所以由多項(xiàng)式恒等可得,因?yàn)閐MQ所以解得，所以常數(shù) k= 1,通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，則數(shù)列為等比數(shù)列，且.故等比數(shù)列的公比q滿足.又0,所以q= 3.所以.又，所以.由此可得.所以.所以法一：令, 則, 兩式相減得：,，代入得法二：因?yàn)?.所以 .代入得5. (江蘇省南京市2015屆高三上

5、學(xué)期9月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷)已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為, 是等比數(shù)列，且，-(1) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2) 記，求數(shù)列的前 n項(xiàng)和.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式.【解】設(shè)等差數(shù)列的公差為 d等比數(shù)列的公比為 q.由，得=2+3d,由條件，得方程組解得所以.由題意知，.所以,已知為等比數(shù)列，其中=1,6. （15淮安市金湖中學(xué)高三上學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷） 且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2 ）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解】（1）設(shè)在等比數(shù)列中，公比為q,，且成等差數(shù)列，解得q=,-.(2 ) , ,-，得:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為

6、，則數(shù)列的前 10項(xiàng)的和為【答案】75【分析】因?yàn)?，所以的?0項(xiàng)和為10X3 + = 75.已知函數(shù)，且，則等于【答案】100【分析】由題意，得數(shù)列，共有十項(xiàng)，且其和為240，則+的值為【答案】130【分析】+= 240- (2 + 2k + 20) = 240-= 240 110= 130.10. （2015 泰州質(zhì)檢）已知數(shù)列滿足，則【答案】【分析】，又.- = 2.成等比數(shù)列；，成等比數(shù)列,11.已知數(shù)列：，若，那么數(shù)列的前 n項(xiàng)和為【答案】【分析】12.13.（2015 揚(yáng)州測(cè)試）在數(shù)列中，記為的前n項(xiàng)和，則=【答案】1005【分析】由，可得， 該數(shù)列是周期為4的數(shù)列，所以（2014

7、 濟(jì)南模擬）設(shè)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和為，且,（1）求，；【解】（1）因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?解得d = 8,所以,，所以.（2015 石家莊模擬）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且,（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前 n項(xiàng)和.【解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為 q，由已知得,又，解得，-（2）由得,14.二當(dāng)時(shí)，當(dāng)n= 1時(shí)，符合上式,兩式相減得,15.數(shù)列滿足，則的前 60項(xiàng)和為【答案】1830【分析】16在等比數(shù)列中，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和=【答案】【分析】 設(shè)等比數(shù)列的公比為 q,則，解得q= 3.所以, 故, 所以.則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.n項(xiàng)和，則=17. （2015

8、 南京模擬）數(shù)列滿足，且，是數(shù)列的前【答案】6【分析】 依題意得，則，即數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別相等，則,18. （2015 長(zhǎng)沙模擬）已知函數(shù)，且，則【答案】100n為奇數(shù)，則【分析】 若n為偶數(shù)，則，為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；若，為首項(xiàng)為，公差為 4的等差數(shù)列.所以19. 設(shè)，禾U用倒序相加法，可求得的值為【答案】【分析】當(dāng)時(shí),設(shè)S=,倒序相加有2S=,即 S= 5.20.在數(shù)列中,，記，若對(duì)于任意，A(n) , B(n) , C(n)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解】根據(jù)題意A(n) , B(n) , C(n)成等差數(shù)列, A(n) + C(n) = 2B(n),整理得，數(shù)列是首項(xiàng)為一5,公差為3的等差數(shù)列,，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上，.21. (2014廣州綜測(cè))已