周期信號的合成與分解

1、武漢大學教學實驗報告電子信息學院專業(yè)2012 年 月 日實驗名稱指導教師年級 學號姓名成績 一、預習部分1 .實驗目的2 .實驗基本原理3 .主要儀器設備（含必要的元器件、工具）一、實驗目的1 .在理論學習的基礎上，通過實驗深刻領會周期信號傅里葉級數(shù)分解的物理意2 .理解實際應用中通常采用有限項級數(shù)來逼近無限項級數(shù)，此時方均誤差隨項 數(shù)的增加而減小。3 .觀察并初步了解Gibbs現(xiàn)象。4 .深入理解周期信號的頻譜特點，比較不同周期信號頻譜的差異。二、實驗原理滿足Dirichlet條件的周期信號f可以分解成三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù),表達式為：/（，） =+ ax cos（3/） + "

2、+ + % 匕。昌（日陽/> + 力“ Kini儂/）+=% + £% C0G（N&" ）+ / sinf?/） “I2 o該式表明：任何滿足決定：式中n為正整數(shù)；角頻率由周期T="iTiDirichlet條件的周期信號都可以分解成直流分量及許多正弦、余弦分量。這些1EnE4 2的整正弦、余弦分量的頻率必定是基頻 )nf tsin() cos(2tf() 022 2n2in nnff 次諧波。的分量成為通常把頻率為數(shù)倍。頻率為的分量稱為基波，周期ii等離 散的頻率點上，這種頻譜稱信號的頻譜只會出現(xiàn)在 0, , -n2,1111為離散譜，是周期信號頻譜

3、的主要特點。f(t)波形變化越劇烈，所包含的高頻分量的比重就越大；變化越平緩, 所包含的低頻分量的比重就越大。一般來說，將周期信號分解得到的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的項數(shù)是無限的。也就是說，通常只有無窮項的傅里葉級數(shù)才能與原函數(shù)精確相等。但在實際 應用中，顯然無法取至無窮多項，而只能采用有限項級數(shù)來逼近無窮項級數(shù)。而 且，所取項數(shù)越多，有限項級數(shù)就越逼近原函數(shù)，原函數(shù)與有限項級數(shù)間的方均 誤差就越小，而且低次諧波分量的系數(shù)不會因為所取項數(shù)的增加而變化。當選取 的傅里葉有限級數(shù)的項數(shù)越多，所合成的波形的峰起就越靠近f的不連續(xù)點。當所取得項數(shù)N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，約等于總跳變值的9%,這

4、種現(xiàn)象稱為Gibbs現(xiàn)象。三、需要掌握的MATLAB函數(shù)結果的顯示會用到plot 和pause函數(shù)，請參考MATLAB幫助。二、實驗操作部分1 .實驗數(shù)據(jù)、表格及數(shù)據(jù)處理2 .實驗操作過程(可用圖表示)3 .實驗結論四、實驗內容1.周期對稱方波信號的合成臼2訂理T/2,+OW 圖4T奇對稱的周期方波信號圖示方波既是一個奇對稱信號，又是一個奇諧信號。根據(jù)函數(shù)的對稱性與傅 里葉系數(shù)的關系可知，它可以用無窮個奇次諧波分量的傅里葉級數(shù)來表示：2尸/1/=一Z$in2”(2 無 + 1vo小-尤£2女+ 1E sT,請采用有限項級數(shù)替代選取奇對稱周期方波的周期 =6=0.02 ,幅度項有限 級

5、數(shù)來近似，編寫100 5 2 1無限項級數(shù)來逼近該函數(shù)。分別取前、和2程序并把結果顯示在一幅圖中，觀察它們逼近方波的過程。MATLAB程序如下：奇對稱方波合成t=0:0.001:01sishu=12/pi;y=sishu*sin(100*pi*t);subplot(221)piot(t,y);axis(0,0.1,-4,4);xlabel('time');)；項有限級數(shù)ylabel('前1y=sishu*(sin(100*pi*t)+sin(3*100*pi*t)/3);subplot(222);piot(t,y);axis(0,0.1,-4,4);xlabel(

6、9;time');)；項有限級數(shù)前2ylabel('y=sishu*(sin(100*pi*t)+sin(3*100*pi*t)/3+sin(5*100*pi*t)/5+sin(7*100*pi*t)/7+sin(9*100*pi*t)/9);subplot(223)piot(t,y);axis(0,0.1,-4,4);xlabel('time');'); 項有限級數(shù)前ylabel(' 5t=0:0.001:0.1;y=0;fo門=1:100y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(22

7、4);plot(t,y);axis(0,0.1,-4,4);xlabel('time');'); 項有限級數(shù)ylabel('前100所示。顯示結果如圖4-244數(shù)數(shù)22級級限限00有有項項 -2-221前前-4-40.10.050.0500.10timetime44 數(shù)數(shù) 22 級級限限有 00 有項項 0 -2-2051刖前-4-40.100.0500.050.1timetime4-2奇對稱方波信號的合成圖現(xiàn)象2.觀察Gibbs現(xiàn)象。項有限級數(shù)來逼近奇對稱方波，觀察 Gibbs 5,6,7分別取前和8程序如下：MATLABGibbs現(xiàn)象 %E察 t=0:0.0

8、01:0.04;sishu=12/pi;y=0;for i=1:5y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(221)plot(t,y);axis(0,0.04,-4,4);xlabel('time');');5項有限級數(shù)ylabel('前y=0;for i=1:6y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(222);plot(t,y);axis(0,0.04,-4,4);xlabel('time');');6項有限級數(shù)yl

9、abel('前y=0;for i=1:7y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(223)piot(t,y);axis(0,0.04,-4,4);xlabel('time');');7項有限級數(shù)ylabel('前y=0;for i=1:8y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(224);piot(t,y);axis(0,0.04,-4,4);xlabel('time');');8項有限級數(shù)ylabel('

10、;前 所示。4-3顯示結果如圖44數(shù)數(shù)22級級限限00有有項項 -2-265前前-4-40.040.020.030.030.0400.010.0100.02timetime44數(shù)數(shù) 22 級級BM限 00 有有項項-2-287前前-4-40.040.030.010.020.040.0100.020.030timetime現(xiàn)象圖4-3 Gibbs3.周期對稱三角信號的合成設計采用有限項級數(shù)逼近偶對稱周期三角信號的實驗，編制程序并顯示結果。.周期信號的頻譜4分析奇對稱方波信號與偶對稱三角信號的頻譜，編制程序 并顯示結果，深入 討論周期信號的頻譜特點和兩信號頻譜的差異。五、實驗要求文程序，生成 M

11、MATLAB1.輸入實驗內容1中提供的奇對稱方 波信號合成的 件，編譯并運行，觀察合成結果。M程序，生成輸入實驗內容2 中提供的有限項級數(shù)逼近方波信號的 MATLAB 2.Gibbs 現(xiàn)象。文件，編譯并運行，觀察中偶對稱三角信號的合成。程序，完成實驗內容3 3.自行編制完整的MATLAB在實驗報告中給出程序和顯示結果。：該信號的傅里葉級數(shù)表示為14EnE 2 )nfcos(2() ftsin 022 n22inE Ts,采用有限項級數(shù)替代無限=0.02=6選取偶對稱周期三角信號，幅度項有限級數(shù)來近似。100、5和項級數(shù)來逼近該函數(shù)。分別取前1、2程序如下：MATLAB偶對稱周期三角波%t=0:

12、0.001:0.1；sishu=24/piA2;y=3+sishu*cos(100*pi*t);subplot(221)piot(t,y);axis(0,0.1,-4,4);xlabel('time');)；1 項有限級數(shù) ylabel(' 前 y=3+sishu*(cos(100*pi*t)+cos(3*100*pi*t)/9);subplot(222);plot(t,y);axis(0,0.1,-4,4);xlabel('time');)；項有限級數(shù)ylabel('前2y=3+sishu*(cos(100*pi*t)+cos(3*100*pi

13、*t)/9+cos(5*100*pi*t)/25+cos(7*1 00*pi*t)/49+cos(9*100*pi*t)/81);subplot(223)plot(t,y)；axis(0,0.1,-4,4);xlabel('time');'); 項有限級數(shù)ylabel('前5t=0:0.001:0.1;y=3;for i=1:100y=y+sishu*cos(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1)A2;endsubplot(224);piot(t,y);axis(0,0.1,-4,4);xlabel('time');');100

14、項有限級數(shù)ylabel('前4-4 所示。顯示結果如圖66數(shù)數(shù)級級44限限有有22項項 21前前000.10.10.05000.05timetime66數(shù)數(shù)級級44限限有有項 22項0 501前 00 前 0.100.100.050.05timetime偶對稱三角波信號的合成圖4-4中奇對稱方波信號和偶對稱4程序，完成實驗內容4.自行編制完整的MATLAB 討論周期信號的頻在實驗報告中給出程序和顯示結果，三角波信號的頻譜分析。譜特點和兩信號頻譜的差異。MATLAB程序如下：程序接圖4-2subplot(211);plot(t,y););'time' xlabel();奇

15、對稱周期方波信號'ylabel( ' N=100;X=fft(y,N);f=1/0.1*(-N/2:(N/2-1);subplot(212);stem(f,abs(fftshift(X););'Frequency(Hz)' xlabel();ylabel( 'magnitude' 所示。顯示結果如圖 4-54號信2波方0期周-2稱對奇-500-300-40.10.090.070.080.020.030.040.050.0600.01time200150edut100ingam500500400100200300400-200 - 1000Freq

16、uency(Hz)奇對稱方波信號及其頻譜圖圖 4-54-4 程序接圖 subplot(211);plot(t,y););xlabel( 'time' );' ylabel('偶對稱周期三角波信號 N=100;X=fft(y,N);f=1/0.1*(-N/2:(N/2-1);subplot(212);stem(f,abs(fftshift(X););xlabel( 'Frequency(Hz)' ); 'magnitude' ylabel(所示。4-6 顯示結果如圖號6信波4角三期2周稱0對偶0.10.090.060.070.080

17、.010.020.030.040.050time400300edut200ingam1000500300400-1000100200 -400-500-300 -200Frequency(Hz) 4-6偶對稱三角波信號及其頻譜圖圖周期信號的頻譜具有如下特點：離散性。周期信號的頻譜是由不連續(xù)的譜線組成，每條譜線代表 一個諧波分(1)量。諧波性。頻譜中每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基 波頻率是各分量(2)頻率的公約數(shù)。收斂性。各頻率分量的譜線高度表示各次諧 波分量的幅值或相位角。(3)：兩信號頻譜的差異周期性三角波信號的各次由以上 周期性方波和三角波信號的頻譜分析可知，這說明三角波的頻率結構中低頻諧波 幅值衰減比周期性方波的頻譜衰減快得多，成分較多，而方波的高頻成分比較多。六、思考題 利用有限項的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)重復奇對稱方波信號的合成。1.答：其指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的表示為：")= f工g-j露國陪產為奇數(shù)網(wǎng)= -03程序如下：t=0:0.001:0.1;sishu=6/pi;y=0;for i=1:100y=y+sishu*(exp(2*i -1)*100*pi*t -j*0.5*pi)/(2*i -1);9endplot(t,y);axis(0,0.1,-4,4);分析時域信號的間斷性與其頻xlabel(&