高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題——化歸轉(zhuǎn)化思想人教版

1、化歸和類比化歸轉(zhuǎn)化思想是指把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種思維方式，化歸在數(shù)學(xué)上是應(yīng)用最為廣泛的一種思維方式，解數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化，可以說數(shù)學(xué)解題就是轉(zhuǎn)化問題，每一個數(shù)學(xué)問題無不是在不斷地轉(zhuǎn)化中獲得解決的，既使是數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想也都是化歸思想的表現(xiàn)形式?；瘹w一般總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，不熟悉轉(zhuǎn)化為熟悉。如：對于的一切值，是使恒成立的_條件。把轉(zhuǎn)化為，即當(dāng)時不等式成立，這僅僅只是恒成立的特殊情況，顯然答案為必要不充分條件?；瘹w包含三個基本要素： 化歸對象，即把什么東西進行化歸； 化歸目標(biāo)，即化歸到何處去； 化歸途徑，即如何進行化歸。所謂類

2、比，是指根據(jù)兩個對象之間存在的某種關(guān)系，從一種對象具有的屬性類比到另一個對象也有類似的屬性的思維方式。因此求解類比問題的關(guān)鍵在于確定類比物，建立類比項。然而不能把類比僅停留在敘述方式或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等外層表象之上，還需要對數(shù)學(xué)結(jié)論的運算、推理過程等進行類比分析。比如2001年的高考題：小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（ ）（A）26 （B）24（C）20 （D）19這個問題比較陌生，如果把A看成是自來水總廠，B看成是某一用戶的水龍

3、頭，那么從A分4路到達B，每一路管線中，水流量是由最細的管線所決定的，即是由最大流量的最小值決定的，否則會使水管暴烈的，自然的本題中的最大信息量為4條網(wǎng)路中網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量的最小值之和。 化歸和類比都是把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，用已有的知識去探求未知知識領(lǐng)域的思維方式與策略。近年來，在高考試題中頻頻出現(xiàn)陌生的題目，往往要通過化歸和類比的方法來解決。例1、一個四面體的所有棱長都為，四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積是_分析：把正四面體補全為正方體，為正方體的頂點，那么正方體的邊長為1，再把正方體內(nèi)接于球（如圖1），這樣把正四面體內(nèi)接于球問題轉(zhuǎn)化為正方體內(nèi)接于球問題，又球

4、的直徑正好是正方體的體對角線長，所以此球的表面積是。 圖1 圖2小結(jié)與反思：球的切接問題往往需要較高的空間想象能力，這就要把較難的問題化歸為我們所常見的某個數(shù)學(xué)模型。類似的，一個四面體的相對的棱長相等，分別為，且四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積是多少？設(shè)四面體，考慮到長方體的相對面中互相異面的兩條對角線長相等，所以把四面體補全為長方體，為長方體的頂點，再把長方體內(nèi)接于球（如圖2），這樣把四面體內(nèi)接于球問題轉(zhuǎn)化為長方體內(nèi)接于球問題，球的直徑正好是長方體的體對角線長。設(shè)長方體的棱長為，那么，得，所以球的半徑，表面積。再如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，求外接球的表面積，我們同樣可以補全為長芳體來解

5、決。例2、已知銳角中，三個內(nèi)角，兩向量，若與是共線向量。（1）求的大??；（2）求函數(shù)取最大值時，的大小。解：（1），化簡得，得，是銳角三角形，。（2）所以當(dāng)，。小結(jié)與反思：在解決三角函數(shù)的問題時，一般都要對三角函數(shù)式進行化簡，這時要注意化歸的目標(biāo)，往往把三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為的形式，從而可以解決有關(guān)最值，奇偶性、對稱性、單調(diào)性等函數(shù)性質(zhì)的問題。例3、如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，異面直線所成的角，公垂線為，（1）求證：面（2）當(dāng)，求四棱錐的體積。解：是異面直線的公垂線， ，所以面（2） 平面又所成的角，則所以小結(jié)與反思：有時幾何體的體積難以直接求得時，我們往往把幾何體分割成幾個三棱錐，由于三棱

6、錐的每一個面都可以當(dāng)成底面，每個頂點都可以作為頂點，所以通常可以變換其頂點，使之底面積和高都比較容易求得。當(dāng)然我們可以利用等底同高體積相等進行轉(zhuǎn)化，等底同高轉(zhuǎn)化模型有二（如圖），平面；的中點在平面。都可以得到另解（2）總之，棱錐的體積可以分割為若干個三棱錐或補全為棱柱來求解。例4、已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，點是橢圓上任意一點，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點的位置無關(guān)的定值，試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。解：類似的性質(zhì)為：若是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點，點是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點的位置無關(guān)的定

7、值。證明：設(shè)點的坐標(biāo)為、，則因為點在已知雙曲線上，所以，同理.則（定值）.小結(jié)與反思：橢圓和雙曲線從標(biāo)準(zhǔn)方程上看，只是和的區(qū)別，所以在許多類似的結(jié)論中，我們只須將和的互換就可以了，本題在橢圓中的定值為。我們還可以將結(jié)論進一步統(tǒng)一為。例5、從裝有個球（其中個白球，1個黑球）的口袋中任意取出個球（），共有種取法，在這取法中，可以分成兩類，一類是取出的個球全是白球，共有種取法；另一類是取出的個球有個白球和1個黑球，共有種取法。顯然，即有等式成立，試根據(jù)上述思想化簡。分析：類似的從裝有個球（其中個白球，個黑球）的口袋中任意取出個球，共有種取法，在這取法中，可以分成類，第1類是取出的個球全是白球，共有種

8、取法；第2類是取出的個球有個白球和1個黑球，共有種取法； 依次類推；第類是取出的個球有個白球和個黑球，共有種取法。那么，。例6、如圖是一個方格迷宮，甲、乙兩人分別位于迷宮的兩處，現(xiàn)以每分鐘一格的速度同時出發(fā)，在每個路口只能向東、西、南、北四個方向之一行走。若甲向東、向西行走的概率均為，向南、向北行走的概率分別為和，乙向東、南、西、北四個方向行走的概率均為（1）求和的值；（2）設(shè)至少經(jīng)過分鐘，甲、乙兩人能首次相遇，試確定的值，并求分鐘時，甲乙兩人相遇的概率。解：（1），。 （2）至少經(jīng)過2分鐘，甲、乙兩人能首次相遇，如圖，可以在三處相遇。設(shè)在三處相遇的概率分別為，則 ，即所求的概率為。.例7、已

9、知數(shù)列（為正整數(shù)）的首項為，公比為的等比數(shù)列. （1）求和：；（2）由（1）的結(jié)果，歸納概括出關(guān)于正整數(shù)的一個結(jié)論，并加以證明。分析：本題由（1）的結(jié)論，通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結(jié)論：解：（1）=，.（2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則.證明：小結(jié)與反思：類比往往是猜想的前提，猜想又往往是發(fā)現(xiàn)的前兆。本題通過抓住問題的實質(zhì)，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力。例8、平行六面體的底面是邊長為6的正方形，為的中點，在下底面上的射影為，且滿足（1）求證：平面平面；（2）若與底面所成的角大小為，求與的距

10、離。證明：（1）為的中點，又是公共點，共線，平面，平面，平面平面（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，軸與的交點為，則，由三垂線定理知，就是所要求的距離，設(shè)，由（1）知，得，平面的一個法向量，得，本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展推廣，因為類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣，例9、已知點，直線，點是上的動點，若過垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點。（1）求點的軌跡的方程；（2）設(shè)與軸交于，直線與曲線交于兩點，求證：向量與向量的夾角相等。解：（1）如圖，由條件得，即動點到定直線與到定點的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點為準(zhǔn)線的拋物線。故點的軌跡的方

11、程為。（2）如圖，當(dāng)軸時，顯然由拋物線的對稱性得；當(dāng)不垂直軸時，設(shè)，直線的斜率分別為聯(lián)立方程，得得，而，綜上所述，向量與向量的夾角相等。另解（2）如圖，作于，于那么，又，即向量與向量的夾角相等。小結(jié)與反思：在解決圓錐曲線中有關(guān)過焦點直線問題時，我們往往把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，問題會變得容易掌握，利用這一點，我們不難將結(jié)論推廣，“在圓錐曲線中，過焦點的直線交曲線于兩點，為相應(yīng)準(zhǔn)線與焦點所在的對稱軸的交點，那么?！弊C明只要將“”，改為“，”就可以了。例10、已知函數(shù).（1）求的值，使點到直線的距離最短為；（2）若不等式在恒成立，求的取值范圍。解：（1）點到直線的距離。當(dāng)時，舍去；當(dāng)時，解

12、出。 另解：點到直線的距離，而，也就是當(dāng)時，不等式恰好恒成立，即不等式的解集為，那么，得 （2），即，即， 解之，得 ， 。例11、如圖所示，在等邊三角形中，為中心，過的直線交于，交于，求的最大值和最小值。解：由于為正三角形的中心，所以，設(shè)，則。在中，由正弦定理，得：，得，在中，由正弦定理，得，所以，故當(dāng)時，取得最大值；當(dāng)或時，此時取得最小值。小結(jié)與反思：將難以下手的題目轉(zhuǎn)化為自己熟練掌握的基本問題，是應(yīng)用化歸思想的靈魂，要求必須做到轉(zhuǎn)化有目標(biāo)、轉(zhuǎn)化有橋梁、轉(zhuǎn)化有效果。本題將利用正弦定理轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)式，注意的隱含范圍。例12、已知定義在區(qū)間上，且，又，是其圖象上的任意兩個點。 （1）求證：

13、函數(shù)的圖象是關(guān)于點成中心對稱圖形； （2）設(shè)直線的斜率為，求證：； （3）求證：解：（1），從而設(shè)是圖象上的任意一點，則，那么關(guān)于的對稱點為故點也在的圖象上，進而由點的任意性，得知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形。 （2）， ， ，則（3）令，得，例13、設(shè)是函數(shù) 的圖象上任意兩點，且滿足，已知點的橫坐標(biāo)為.（1）求證：點的縱坐標(biāo)為定值；（2）若，求；（3）已知是否存在實數(shù) ，對于任意，都有恒成立，若存在，求出的值（或取值范圍）；若不存在，請說明理由。解：（1）證明：，是的中點，設(shè)由，得， 點的縱坐標(biāo)為定值；（2）解：由（I）知，那么，則，兩式相加得： .（3）依題意：當(dāng)時，；當(dāng)時，故存在成立。

14、小結(jié)與反思：本題通過弱化或強化條件與結(jié)論，揭示出它與某類問題的聯(lián)系與區(qū)別并變更出新的命題.這樣，無論是對內(nèi)容的發(fā)散，還是對解題思維的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效。例14、（1），求證：； （2），求證。解：（1）令，由知，于是，原不等式等價于。令，則有，當(dāng)，有從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有，即是；令，則，從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有，即得；綜上可知：，則。 （2）由（1）可知，令，得 令，得 令，得將以上所得各不等式相加，得，即小結(jié)與反思：本題的變量轉(zhuǎn)化難以想到，由于出現(xiàn)了對數(shù)，用常規(guī)的作差，放縮都是難以實現(xiàn)的，必定是要通過構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)

15、性，然后與區(qū)間端點函數(shù)值去比較，但發(fā)現(xiàn)值不能代入和，所以將其換元，實現(xiàn)算法。換元還可以使求導(dǎo)變?yōu)楹唵巍?、已知是方程的兩根，且，則（ ）（A） （B） （C）或 （D）. 2、不等式對任意的恒成立，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）3、已知，則（ ）（A） （B） （C） （D）4、如圖為一長方體紙盒的展開圖，尺寸如圖所示，若是原長方體紙盒中不在同一面上的兩個頂點，則長方體中兩點間的距離是（ ）（A） （B） （C） （D）5、計算機中常用的十六進制是逢16進1的計數(shù)制，采用數(shù)字和字母共16個計數(shù)符號這些符號與十進制的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表： 十六進制0123456789ABCDE

16、F十進制0123456789101112131415例如用十六進制表示：，則（ ）（A） （B）72 （C） （D）6、已知圓和圓交于兩點，則弦中垂線方程為_7、已知：在橢圓中，若是橢圓上異于長軸端點的任一點，若是長軸端點，則是直線縱截距的等比中項.。類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的在雙曲線中，若是實軸端點，則直線縱截距的積等于_。8、若從點所作的兩條射線上分別有點與點，則三角形面積之比為：，若從點所作的不在同一個平面內(nèi)的三條射線和上分別有點與點和，則類似的結(jié)論為 。9、同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級的平均分將降低；反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級的平均分將提高. 這兩

17、個事實可以用數(shù)學(xué)語言描述為：若有限數(shù)列 滿足，則 （結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示）.10、某紡織廠的一個車間有臺織布機，編號分別為；該車間有技術(shù)工人名，編號分別為。定義記號，如果第名工人操作了第號織布機，此時規(guī)定，否則。例如第3號織布機有且僅有一個人操作，則，那么，7號工人操作了二臺機器，請用一個等式來表示 。11、已知函數(shù)的圖象如圖所示（1）求函數(shù)的解析式；（2）令，求的最大值。12、在數(shù)軸上有一個隨機游動的 粒子A，從原點開始每隔1秒鐘隨機的向左或右移動1次，每次移動一個長度單位，已知每次向左移動的概率為，設(shè)粒子A從原點開始經(jīng)過3次所達到的位置的坐標(biāo)為，（1）求概率；（2）求概率；（3）求的數(shù)學(xué)期望

18、。13、在中，角的對邊分別為，若的外接圓半徑為，且，試分別求出和邊的大小。14、設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且滿足3 （1）求證：為等差數(shù)列； （2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求。15、（1）已知是不在同一直線上的三點，是平面內(nèi)的一定點，是平面內(nèi)的一動點，若，求證：的軌跡過的中點；（2）已知是不在同一平面內(nèi)的四點，是空間的一定點，是空間的一動點，類似（1）若滿足_，則的軌跡過_。16、學(xué)校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗. 設(shè)計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為. 觀測點同時跟蹤航

19、天器.（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；（2）試問：當(dāng)航天器在軸上方時，觀測點測得離航天器的距離分別為多少時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？17、如圖，都垂直于等邊三角形所在的平面，且，是的中點（1）求證：平面平面；（2）若點關(guān)于平面的對稱點恰好在上，求證是的中點；（3）在（2）的條件下，求二面角的大小。18、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，給定兩點，點滿足，其中，且（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點的軌跡與雙曲線交于兩點，且以為直徑的圓過原點，求證：.為定值。19、已知函數(shù)，將滿足的所有正數(shù)從小到大排成數(shù)列，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記是數(shù)列的前項和，求20、已知數(shù)列，其中是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列（）.（1）若，求；（2）試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同（2）類似的問題（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進行研究，你能得到什么