高考數(shù)學(xué)一輪必備考情分析學(xué)案31變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、3.1變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考情分析1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義是指瞬時(shí)變化率,幾何意義是指曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率.2.求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的基礎(chǔ),須熟練掌握.3.高考中,通常以選擇題或填空題的形式考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,也可以在大題中考查.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算每年必考,一般不單獨(dú)命題考查,而是在應(yīng)用中考查.僅做為一個(gè)考點(diǎn)或工具出現(xiàn),難度不大,但基礎(chǔ)性很強(qiáng).基礎(chǔ)知識1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù):一般地,函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率,稱其為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作(2)當(dāng)?shù)膶?dǎo)函數(shù),則2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線在點(diǎn)處切線的斜率,過點(diǎn)P的切線方程為:3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(

2、1)(c為常數(shù)) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:(1) (2)(3)注意事項(xiàng)1.曲線yf(x)“在”點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與“過”點(diǎn)P(x0，y0)的切線的區(qū)別：曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線是指P為切點(diǎn)，若切線斜率存在時(shí)，切線斜率為kf(x0)，是唯一的一條切線；曲線yf(x)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過P點(diǎn)，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條2.(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.（1）利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆（2）要正確理解直線與曲線相切和直線與

3、曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的區(qū)別（3）正確分解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，做到不重不漏題型一導(dǎo)數(shù)的定義【例1】利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x3在xx0處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線f(x)x3在xx0處切線與曲線f(x)x3的交點(diǎn)解f(x0) (x2xx0x)3x.曲線f(x)x3在xx0處的切線方程為yx3x·(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，則交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，則交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)【變式1】 利用導(dǎo)數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)證明法一設(shè)yf(x)是奇函數(shù)，即對定義域內(nèi)的任意x都

4、有f(x)f(x)f(x)li則f(x)lilif(x)因此f(x)為偶函數(shù)，同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)法二設(shè)yf(x)是奇函數(shù)，即對定義域內(nèi)的任意x都有f(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)f(x) f(x)f(x)則f(x)為偶函數(shù)同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)題型二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例2】求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin；(4)y；解(1)yxx3，y(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x

5、3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)·(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(3)ysinsin x，y(sin x)cos x.(4)y，y.【變式2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(x1)2(x1)解(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xex·ex.(4)y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1，y3x22x1.題型三求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例3】求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ys

6、in2；(4)yln(2x5)解(1)設(shè)u2x3，則y(2x3)5，由yu5與u2x3復(fù)合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)設(shè)u3x，則y.由yu與u3x復(fù)合而成yf(u)·u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)設(shè)yu2，usin v，v2x，則yxyu·uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)設(shè)yln u，u2x5，則yxyu·uxy·(2x5).【變式3】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)ysin22x；(3)ye

7、xsin 2x; (4)yln.解(1)y·2x，(2)y(2sin 2x)(cos 2x)×22sin 4x(3)y(ex)sin 2xex(cos 2x)×2ex(2cos 2xsin 2x)(4)y··2x.重難點(diǎn)突破【例4】已知函數(shù)f(x)ln xax1(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)當(dāng)a時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性 解析 (1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln xx1，x(0，)所以f(x)，x(0，)，(1分)因此f(2)1，即曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線斜率為1.又f(2)ln 22，所

8、以曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y(ln 22)x2，即xyln 20.(3分)(2)因?yàn)閒(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)(4分)令g(x)ax2x1a，x(0，)當(dāng)a0時(shí)，g(x)x1，x(0，)，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；(6分)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.a當(dāng)a時(shí)，x1x2，g(x)0恒成立，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；(7分)b當(dāng)0a時(shí)，110.x(0,1)時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0

9、，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；x時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；(9分)c當(dāng)a0時(shí)，由于10，x(0,1)時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x(1，)時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增(11分)綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減(12分)鞏固提高1下列求導(dǎo)過程中；()；(logax)；(ax)(eln ax)(exln a)exln aln aaxln a其中正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案D2函數(shù)f(x)(x2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為()A2(x2a2) B 2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C3曲線y在點(diǎn)M處的切線的斜率為() A B.CD.解析本小題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力y，把x代入得導(dǎo)數(shù)值為.答案B4若f(x)x22x4ln x，則f(x)0的