高考數(shù)學總復習解三角形

1、第四節(jié)解三角形考綱解讀掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.命題趨勢探究1.本節(jié)為高考的必考和重點考查內(nèi)容，在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)，并越來越成為三角函數(shù)部分的核心考點.2.題型有三：一是解三角形出現(xiàn)邊角互化求角、求邊；二是三角形形狀判定；三是最值問題.題型和分值較穩(wěn)定，且有逐漸上升趨勢，屬中等難度.知識點精講在中，角所對邊依次為1.角的關(guān)系2.正弦定理為的外接圓的直徑）.正弦定理的應(yīng)用：已知兩角及一邊求解三角形.已知兩邊及其中一邊的對角，求另一對角：若a<b,已知角求角.若ab,

2、已知角求角，一解（銳角）.3.余弦定理（已知兩邊a,b及夾角求第三邊c）（已知三邊求角）.余弦定理的應(yīng)用：已知兩邊及夾角求解第三邊；已知三邊求角；已知兩邊及一邊對角不熟第三邊.4.三角形面積公式題型歸納及思路提示題型67正弦定理的應(yīng)用思路提示（1）已知兩角及一邊求解三角形；（2）已知兩邊一對角；.（3）兩邊一對角，求第三邊.一、利用正弦定理解三角形例4.39已知中，求及邊長分析已知兩角及一邊用正弦定理.解析因為為的內(nèi)角，所以有因為且所以.由此知據(jù)正弦定理得所以因此且得故因此由正弦定理得得評注本題已知兩角及一邊，用正弦定理：在中，變式1在中，角所對邊依次為則角的大小為.例4.40在中，角所對邊依

3、次為記若函數(shù)是常數(shù)）只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）.或或分析三角形問題首先根據(jù)題意畫出三角形，的最小值為邊的垂線段，再根據(jù)零點的意義及函數(shù)求解.解析由且，得如圖434所示，由知邊和的最小值為唯一的符合即若則此時存在函數(shù)有唯一零點，若時，則此時以點為圓心，b邊為半徑的圓與邊及延長線有兩個交點，如圖434所示，則存在兩個值使得有兩個零點.若時，則則以點為圓心，b邊為半徑的圓與邊及延長線（除點外）只有一個交點，使得，故函數(shù)有唯一零點.綜上，實數(shù)k的取值范圍為或故選.評注三角形問題一般先根據(jù)題意作出圖形，抓住已知量，充分想到三角形的邊角關(guān)系及正弦定理，并盡可能轉(zhuǎn)化和構(gòu)造直角三角形.變式1 （1）

4、在中，已知角所對的邊分別為且如果三角形有解，則角A的取值范圍是 ;(2) 在中，已知角所對的邊分別為且如果三角形有解，則角B的取值范圍是 ;（3）在中，已知角所對的邊分別為且如果三角形有解，則角C的取值范圍是 .二、利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化例4.41 在中，若A=2B，則的取值范圍為（ ）.分析 題中有邊與角的關(guān)系及角的范圍，可考慮用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再由角的范圍來定邊的范圍.解析 由正弦定理知且即得，因此所以 故選A.評注 在中，利用正弦定理，進行邊與角的轉(zhuǎn)化，在條件中有邊也有角時，一般考慮統(tǒng)一成邊或角的形式，再由兩角和與差的公式來求解.變式1 （1）若在銳角中，若A=2B，則的取值范

5、圍為 ;（2）若在直角中，若A=2B，則的取值集合為 ;（3）若在鈍角中，若A=2B，則的取值集合為 .變式2 在中，則AB+2BC的最大值為 .變式3（2012課標全國理17）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，（1）求A；（2）若，的面積為，求.變式4 （2012江西理17）在中，角的對邊分別為已知，（1）求證：（2）若，求的面積.題型68 余弦定理的應(yīng)用思路提示(1)已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊.(2)已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，若余弦值一、利用余弦定理解三角形例4.42 在 中， ，則a= .分析 已知兩邊一對角，求第三邊用余弦定理，求另一對角用正弦定理

6、.解析由余弦定理得，得 ，即 ，且 ，故 由正弦定理得，即 ，得 ，又 ，則 變式1在 中， ， (1)求的值；（2）求 的值. 變式2（2012北京理11）在 中，若，則變式3（2012福建理13）已知的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為 .例4.43 （2012陜西理9）在中，角所對邊的長分別為若，則的最小值為（ ）.解析 因為當且僅當時取“=”，所以的最小值為故選C.變式1在中，角所對邊分別為若，求的取值范圍.變式2在中，角所對邊分別為若，求的最大值.二、利用余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化例4.44在中，角所對邊分別為若則角B的值為（ ）.或或解析（邊化角）已知等式可變化為則得所以或.

7、故選D.變式1在中，角所對邊分別為且（1）求A的值；（2）求的最大值.變式2 在銳角三角形中，角所對邊分別為若，則變式3在中，角所對邊分別為且，求題型69 判斷三角形的形狀思路提示（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.例4.45 在中，若，則此三角形必為（ ）.A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形分析 角化邊或.解析 解法一：角化邊.，則三角形為等腰三角形，故選A.解法二：因為，所以，則三角形為等腰三角形，故選A.變式1設(shè)的內(nèi)角為所對邊分別為若則的形狀為（ ）.

8、A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定變式2（2012上海理16）在中，若，則的形狀為（ ）.A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定變式3已知中，則的形狀為（ ）.A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D. 等腰直角三角形變式4（1）已知函數(shù)求的最小正周期和值域；（2）在中，角所對邊分別為若且，試判斷的形狀.題型70 正、余弦定理與的綜合思路提示先利用平面向量的有關(guān)知識如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.例4.46在中，角所對邊分別為且（1）求證： （2）求邊長的值；（3）若，求的面積.分析（3）中為對角線A

9、D長，由平行四邊形對角線性質(zhì)可求出AC=BC，設(shè)AB中點為M，解析 （1）利用數(shù)量積定義，（2）如圖4-35所示，取等腰三角形AB邊上的中線（即高線CM，則.，故或是在方向上的投影，由向量數(shù)量積的幾何意義可知故(3)如圖4-35所示，中， 在中，在中，由+得即，在等邊中，或評注 +得平行四邊形公式：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四邊的平方和，即在中，.變式1（2012湖南理7）在中，則BC=（）變式2在中，角所對邊分別為(1)求C； （2）若，求變式3在中，角所對邊分別為且（1）求的面積； （2），求的值.變式4在中，角所對邊分別為且（1）求的值；（2）若且，求和的值.題型71 解三角形的實

10、際應(yīng)用思路提示根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識求解.例4.47 如圖4-36所示，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min，在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B處勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為了130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，（1）求索道AB的長； （2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C處互相等待

11、的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？分析 （1）的值可求得的值，然后在中利用正弦定理可得AB的長度；（2）利用余弦定理將乙與甲之間的距離表示為出發(fā)時間的函數(shù)，然后求得函數(shù)的最小值，即得最短距離；（3）利用正弦定理求出BC的長，再根據(jù)題意列不等式求解.解析 （1）在中，因為所以從而由正弦定理，得所以索道AB的長為1040m.(2)假設(shè)乙出發(fā)tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得由于，即，故當時，甲、乙兩游客距離最短.(3)由正弦定理，得乙從B出發(fā)時，甲已走了還需走710 m才能到達C.設(shè)乙步行的速度為m/min，

12、由題意得解得所以為使兩游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：m/min）范圍內(nèi).評注 解三角形應(yīng)用題問題，關(guān)鍵是能根據(jù)實際問題的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特別注意結(jié)果要符合題意，并帶上單位.變式1 為了測量正在海面勻速行駛的某航船的位置，如圖4-37所示，在海岸上選取距離1km的兩個觀測點C，D，在某天10：00觀察到該航船在A處，此時測得2分鐘后，該船行駛到B處，此時測得則船速為 .(km/min).最有效訓練題20（限時45分鐘）1.在中，角所對邊分別為若角依次成等差數(shù)列，且則2.的三個內(nèi)角所對邊分別為則3.已知的三邊長分別為且面積則4 .若的內(nèi)角所對邊分別為滿足且，則的值為（ ）.5. .在中，則A的取值范圍是（ ）.6.在銳角中，已知，則的取值范圍為（ ）.7.在中，若的面積為，則8.在中，角所對邊分