初中數(shù)學(xué)分學(xué)段目標(biāo)及內(nèi)容主線的分析

1、專題講座5初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù) 綦春霞（北京師范大學(xué)，教授） 史炳星（北京教育學(xué)院，副教授，教研員） 王瑞霖（北京師范大學(xué)教育學(xué)部，博士） 數(shù)與代數(shù)在這一部分內(nèi)容主要涉及到 6 個(gè)話題，前三個(gè)是和內(nèi)容有關(guān)系的，第一個(gè)話題是數(shù)與式，第二個(gè)話題方程與不等式，第三個(gè)話題是函數(shù)；另外三個(gè)話題，是基于知識(shí)之上側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的一些方面的能力，一是運(yùn)算能力，一是符號(hào)意識(shí)，再一個(gè)是模型思想。 話題一 數(shù)與式 一、重點(diǎn) 關(guān)于數(shù)與式的主要內(nèi)容，包括有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式和二次根式，代數(shù)式主要是整式和分式。這一部分內(nèi)容的重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是強(qiáng)調(diào)理解數(shù)的意義，建立數(shù)感，理解代數(shù)式的表述功能，建立符號(hào)感，同時(shí)理解運(yùn)算的意義，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的必

2、要性。 二、內(nèi)容的變化 （一）降低了對于實(shí)數(shù)運(yùn)算的要求。比如“會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根與算術(shù)平方根，用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根”轉(zhuǎn)化為“會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根”。（二）取消了對“有效數(shù)字”的要求，但重視學(xué)生的估算能力，要求學(xué)生理解近似數(shù)。例如 “能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍”, “了解近似數(shù)，在解決實(shí)際問題中，能用計(jì)算器進(jìn)行近似計(jì)算，并按問題的要求對結(jié)果取近似值”。（三）與實(shí)驗(yàn)稿比較，加強(qiáng)了對二次根式的要求，比如對二次根式的化簡，分母有理化，但二次根式的運(yùn)算僅僅限于根號(hào)下是數(shù)的情況。（四）在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義

3、。例如要求“借助現(xiàn)實(shí)情境了解代數(shù)式，進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義?！保ㄎ澹┳⒅卮鷶?shù)式的實(shí)際應(yīng)用和實(shí)際意義。例如要求“能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示。”以及“會(huì)求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會(huì)代入具體的值進(jìn)行計(jì)算?！保τ诖鷶?shù)式的意義，除了關(guān)注數(shù)學(xué)意義外，還關(guān)注現(xiàn)實(shí)的意義。 （七）強(qiáng)調(diào)幾何直觀的作用。（八）知道a的含義（這里 a 表示有理數(shù)）。 三、價(jià)值及作用 數(shù)與式這部分內(nèi)容，在代數(shù)當(dāng)中甚至在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中，都是非常重要的。具體的來講，有下面的幾點(diǎn)： 第一點(diǎn)，通過數(shù)與式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值，能夠培養(yǎng)學(xué)生對

4、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。 關(guān)于數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，以及培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用意識(shí)，可以舉如下的例子：在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時(shí)候，學(xué)生通過觀察溫度計(jì)、天平的標(biāo)尺以及常見的兩個(gè)相反方向行走的例子，能夠從這些現(xiàn)象當(dāng)中得到數(shù)軸、抽象出數(shù)軸的這樣一個(gè)概念。接下來我們就可以利用數(shù)軸聯(lián)系數(shù)學(xué)內(nèi)部的一些知識(shí)，即應(yīng)用于數(shù)學(xué)內(nèi)部。同時(shí)數(shù)軸作為一種工具，它又能很好地幫助學(xué)生理解其他生活中的問題，比如時(shí)區(qū)問題，化學(xué)中的一些常見的問題等等。 這就是我們說的核心的概念：幾何直觀。從溫度計(jì)抽象出數(shù)軸來，同時(shí)數(shù)軸又幫助學(xué)生理解有理數(shù)及實(shí)數(shù)的概念。學(xué)習(xí)有理數(shù)之后數(shù)軸還不能被充滿，但是學(xué)了實(shí)數(shù)之后這個(gè)數(shù)軸就被充滿了。這樣直觀的一個(gè)

5、工具，對于學(xué)生來理解實(shí)數(shù)是非常有幫助的。 第二點(diǎn)，我們來談?wù)勱P(guān)于數(shù)的概念和運(yùn)算、代數(shù)式的建立、以及推導(dǎo)與探究性的活動(dòng)，有利于學(xué)生形成數(shù)感、符號(hào)感的問題。學(xué)習(xí)數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算，除了學(xué)生會(huì)運(yùn)算之外，數(shù)感和符號(hào)感也都是在這個(gè)過程當(dāng)中逐漸發(fā)展起來的，而且通過學(xué)習(xí)數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算，不僅能夠提高學(xué)生的運(yùn)算能力，同時(shí)也能夠發(fā)展學(xué)生的推理能力，對于提高學(xué)生的思維水平都是非常重要的載體。如：對于一般化的處理方法，因?yàn)樽帜副硎緮?shù)，實(shí)際上就是把數(shù)的概念和運(yùn)算進(jìn)行了一般化的處理，這樣就把學(xué)生的思維水平提高到抽象化的水平，同時(shí)也會(huì)逐漸通過式的建立以及對式的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，逐步形成模型的思想。 我們在學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算這一部分

6、內(nèi)容時(shí)，教師們通常是讓學(xué)生在原有的一些知識(shí)基礎(chǔ)之上，猜想觀察猜想出冪的運(yùn)算規(guī)律，從數(shù)的計(jì)算開始，103 × 102 = 10 5 =10 3+2 ，a 4× a 3 =a 7 =a4+3 ，a m· a n a m + n 逐步地提升到用字母來表示。再將這個(gè)公式應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題，這樣的話，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般，再從一般到特殊這樣一個(gè)過程，體會(huì)了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)思想。但這個(gè)過程我想其實(shí)充分體現(xiàn)了符號(hào)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。我們觀察冪的運(yùn)算公式，會(huì)發(fā)現(xiàn)冪之間所做的運(yùn)算，如果冪之間做的是乘除運(yùn)算，到了指數(shù)上它就會(huì)變?yōu)榧訙p運(yùn)算，運(yùn)算等級降了一級，冪做乘方的運(yùn)算，在指數(shù)上就變?yōu)榱顺朔?/p>

7、的運(yùn)算，其實(shí)也是降了一級。而學(xué)生無論通過觀察，還是在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，他都能夠認(rèn)識(shí)這樣的規(guī)律，產(chǎn)生這樣的意識(shí)，這正是學(xué)生積累了一定的符號(hào)感。符號(hào)感的獲得一方面基于對算理的理解，也是基于學(xué)生不斷的歸納和類比和各種方法的運(yùn)用，就可以逐步獲得這樣一種意識(shí)。 這個(gè)例子挺好，里面就體現(xiàn)了符號(hào)表示的一般化作用，因?yàn)樵谇懊嫱ㄟ^具體的數(shù)字產(chǎn)生了一種猜想，有可能這個(gè)同底的冪做乘法是指數(shù)相加，然后再根據(jù)指數(shù)冪的意義進(jìn)行計(jì)算，就得到一個(gè)一般化結(jié)論，所以這個(gè)過程中除了有符號(hào)感，也有合情推理的成分。因此我們認(rèn)為，這部分內(nèi)容不僅能夠發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，而且也發(fā)展了學(xué)生的符號(hào)感還有推理能力。 第三點(diǎn)價(jià)值，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)里面，我

8、們經(jīng)?？吹揭恍α⒔y(tǒng)一思想。例如在一些概念、一些量中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，正數(shù)與負(fù)數(shù)，精確與近似，還有已知與未知之間的轉(zhuǎn)換等等這些概念中都蘊(yùn)含著統(tǒng)一思想。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)確實(shí)有助于學(xué)生提高他們用唯物主義的思想和科學(xué)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)客觀事件的能力。而且也體現(xiàn)模型思想，比如正數(shù)與負(fù)數(shù)，在生活中我們表示東與西就用正數(shù)與負(fù)數(shù)，所以正數(shù)負(fù)數(shù)它不單純就是我們所學(xué)的計(jì)算等等，最后它已經(jīng)成為表示具有相反意義的量的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。 話題二 方程與不等式  一、重點(diǎn) 方程與不等式在初中階段主要涉及到這樣一些內(nèi)容，一個(gè)就是關(guān)于方程的，比方說一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程，可化為一元一次方程的分式方程。不等式主要

9、是一元一次不等式，和一元一次不等式組。 方程和不等式這個(gè)話題里面，這部分內(nèi)容一個(gè)我們強(qiáng)調(diào)方程和不等式的模型思想，也就是說如何從現(xiàn)實(shí)生活中去把問題進(jìn)行抽象，用這種方程的形式和不等式的關(guān)系刻劃出來，然后進(jìn)行講學(xué)，最后運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)問題。所以這一部分內(nèi)容就是一個(gè)重點(diǎn)，還是突出它的模型思想，當(dāng)然另外一個(gè)部分，也是我們在這部分內(nèi)容所突出的一個(gè)重點(diǎn)，那就是如何解這個(gè)方程和不等式。 二、內(nèi)容的變化 在方程部分變化的內(nèi)容為： （一）與實(shí)驗(yàn)稿相比，有些內(nèi)容適當(dāng)增加：如一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，但不要求應(yīng)用這個(gè)關(guān)系解決其他問題，了解就可以了，不要深挖洞。 （二）三元一次方程組作為選學(xué)內(nèi)容。 （三）一些具體要求，如

10、一元二次方程只要求解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；分式方程只要求解可化為一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超過兩個(gè)。 （四）刪除了部分內(nèi)容，如由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的解法；由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程的方程組成的方程組的解法。這是與大綱相比發(fā)生的變化。 在不等式部分變化的內(nèi)容為： （一）強(qiáng)調(diào)結(jié)合具體問題，在具體情境中探索不等式的意義。而且強(qiáng)調(diào)了過程目標(biāo)“探索”，強(qiáng)調(diào)對于不等式組解的幾何意義的理解。 （二）刪除了一元一次不等式組的應(yīng)用。 （三）解不等式中對相關(guān)的內(nèi)容作出了限定。如能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。 三、價(jià)值及作用 這里想突出方程與不等

11、式的三個(gè)主要的作用，第一個(gè)是模型思想。這點(diǎn)非常重要。另外涉及到的一點(diǎn)就是化歸的思想方法，我們解方程組等等一系列過程都涉及到化歸。第三點(diǎn)，這部分內(nèi)容對后續(xù)學(xué)習(xí)是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，因此我們說它在整個(gè)數(shù)與代數(shù)里面有著非常重要的作用和價(jià)值。 首先，方程與不等式的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成建模思想。 方程的模型思想主要是指根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)過必要的抽象，提煉出未知數(shù)與已知數(shù)之間具有的等量關(guān)系，列出方程（組）；在列出方程后，再運(yùn)用方程（組）求解的各種方法，求出方程（組）的解，進(jìn)而解決問題，從而體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，是貫穿方程與方程組的一條主線。 “相等”與“不等”是數(shù)學(xué)中

12、兩種基本的數(shù)量關(guān)系，二者相輔相成，形成對數(shù)量關(guān)系的完整認(rèn)識(shí)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可缺少的基礎(chǔ)知識(shí)和有效工具，也是分析和解決一些實(shí)際問題的重要方法。 說到模型思想，我們在教學(xué)當(dāng)中曾經(jīng)用到這樣一個(gè)案例：一位同學(xué)小明，如果給出了他的走路速度和跑步速度：走路平均速度為 6km/h ，跑步平均速度為 10km/h ，又給出了從家到學(xué)校的距離為 2km ，有了這樣的條件，可以提出什么樣的一些問題呢？在和同學(xué)們討論之后，學(xué)生反應(yīng)非常熱烈。這里我們拿出一個(gè)例子跟老師們分享：有的學(xué)生提出了這樣一個(gè)補(bǔ)充條件，說他走在路上，走著走著突然發(fā)現(xiàn)自己有東西落在家里了，于是就趕緊跑回去，跑回家去取東西，接下來又跑到學(xué)校，跑到

13、學(xué)校發(fā)現(xiàn)所用的時(shí)間和走到學(xué)校的時(shí)間是一樣，也就是說到校的時(shí)間是沒有變化，那問小明是在什么地方或者走了多久發(fā)現(xiàn)自己落了東西？ 學(xué)生在提出這樣一個(gè)問題之后，要想確定出這個(gè)問題的模型，首先就要考慮，小明走到學(xué)校到底要花多長時(shí)間？通過計(jì)算得出用 20 分鐘。接下來在這次上學(xué)的過程中，到底發(fā)生了一些什么樣的事情，先走了一段路，接下來往回折返跑回去，相當(dāng)于從家又跑到了學(xué)校，這個(gè)過程當(dāng)中學(xué)生們通過分析通過畫圖通過各種各樣的方法，發(fā)現(xiàn)他跑的這一段路程實(shí)際上走路的路程多出來的就是家到學(xué)校的距離，即 2 公里。如果設(shè)未知數(shù)，我們就可以利用等量關(guān)系列出方程： 設(shè) t 分鐘之后返回，用 2 公里這個(gè)路程作為等量關(guān)系可

14、以列出這樣的方程： ，進(jìn)而解決問題。 當(dāng)然學(xué)生還可以改變條件，或提出各種各樣的補(bǔ)充條件，在這樣一個(gè)問題的基礎(chǔ)上，尋找“等量”“不等”這樣不同的關(guān)系，建立各種各樣的模型，用方程或不等式等多種方法來表述問題、解決問題，這個(gè)案例我想供老師們參考，希望能給大家一些啟發(fā)和思考。 關(guān)于列方程解決實(shí)際運(yùn)用問題，有很多老師反應(yīng)比較難，找等量關(guān)系方面學(xué)生就比較有困難；找出等量關(guān)系了方程卻列不出來。像剛才的問題，有沒有什么好的建議？即怎么使學(xué)生能夠在分析實(shí)際問題的過程中抓住主要的關(guān)系，怎么能夠讀懂題目？怎么能夠提高他們分析問題和解決問題的能力？ 這確實(shí)是老師們比較頭疼的一個(gè)問題。學(xué)生在面對數(shù)學(xué)和生活聯(lián)系的時(shí)候，往

15、往很難直接找到它們之間的聯(lián)系建立模型。實(shí)際上學(xué)生在生活當(dāng)中，本身就應(yīng)用著數(shù)學(xué)，經(jīng)常面對數(shù)學(xué)，而教師們在設(shè)計(jì)問題或者說設(shè)計(jì)教學(xué)的時(shí)候，有的時(shí)候會(huì)忽略學(xué)生和實(shí)際數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。如果說利用剛才這樣的案例，給學(xué)生一個(gè)比較開放性的平臺(tái)，即給出的條件是不充足的，你再補(bǔ)充其他條件，這樣，問題也許會(huì)比較簡單，也許會(huì)比較復(fù)雜，也許有解也許沒有解，不同的階梯性補(bǔ)充，可能對水平存在差異的同學(xué)來說，確實(shí)是有很好的幫助。 有經(jīng)驗(yàn)的教師也會(huì)發(fā)現(xiàn)，在解決方程與不等式建立模型或者說是列方程解決問題的時(shí)候，往往是在教師的引導(dǎo)下把問題簡化，指出主干讓學(xué)生去抓住問題當(dāng)中最基礎(chǔ)的這樣一個(gè)關(guān)系，這樣會(huì)使問題變得簡單，如果說一上來問題就

16、比較復(fù)雜的話，往往會(huì)挫傷學(xué)生的積極性，并且再處理起來，也確實(shí)無從下手。 第二方面，當(dāng)學(xué)生學(xué)方程和不等式的時(shí)候，對形成化歸的思想非常有幫助，我們知道，化歸就是把你原來不會(huì)的問題轉(zhuǎn)化成你能夠解決的問題，把復(fù)雜的問題變成一個(gè)簡單的問題。我們在求解方程的過程當(dāng)中，我們經(jīng)常用到合并同類項(xiàng)，移項(xiàng)去括號(hào)去分母等等，這樣一些方法來解決一元一次方程，以及可化為一元一次方程的分式方程，這是老師都比較熟悉的這樣一個(gè)解方程的步驟。再一個(gè)當(dāng)學(xué)二元一次方程組求解的時(shí)候，就可以通過消元，即把兩元變成一元，轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容。當(dāng)我們再學(xué)到一元二次方程的時(shí)候，我們也是想辦法降次，降次我們可能用到配方法，因式分解法，其實(shí)這些都

17、體現(xiàn)了我們所說的化歸思想。 第三方面，方程不等式同樣也是后面學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的基石，例如我們談到根與系數(shù)的關(guān)系這部分內(nèi)容。當(dāng)然在一元二次方程中，只要學(xué)生能夠體會(huì)這種關(guān)系，而不需要他去擴(kuò)展解決其他問題。實(shí)際上根與系數(shù)的關(guān)系，作為一個(gè)普遍的規(guī)律在高次方程，一元 n 次方程的情況還是有適用性的。所以，學(xué)生通過這樣一個(gè)探索會(huì)發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律。一次方程，二次方程，高次方程等等這些方程，甚至是將來高等數(shù)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)中，根與系數(shù)關(guān)系都體現(xiàn)了一個(gè)很好的應(yīng)用，都體現(xiàn)了方程的模型思想，不同的只是解法不同。初中階段學(xué)習(xí)的方程和不等式其實(shí)對后續(xù)的學(xué)習(xí)是有非常大的幫助。 話題三 函數(shù)  一、重點(diǎn) 初

18、中階段函數(shù)部分的內(nèi)容，主要包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)， 在這個(gè)階段學(xué)習(xí)函數(shù)，重點(diǎn)就是要借助現(xiàn)實(shí)背景，在現(xiàn)實(shí)情景中理解函數(shù)的概念。而且在研究函數(shù)的性質(zhì)過程當(dāng)中，重點(diǎn)應(yīng)該是要利用圖象的方法直觀地發(fā)現(xiàn)函數(shù)。例如一次函數(shù)有什么特點(diǎn)？二次函數(shù)有什么特點(diǎn)？反比例函數(shù)呢？此外還有一個(gè)非常重要的方面，就是體會(huì)函數(shù)各種表示之間的聯(lián)系。例如函數(shù)的表示法，我們有表格表示，就是具體的看有一個(gè) x 怎么和 y 對應(yīng)，另外就是有解析式表示，還有圖象表示。以前在傳統(tǒng)的教學(xué)當(dāng)中，可能這個(gè)解析式的表示我們用的比較多，表格、圖象表示用的比較少，不管在標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)稿當(dāng)中還是修訂稿中，我們都要關(guān)注函數(shù)的圖象表示，借助函數(shù)的圖象

19、來研究函數(shù)的性質(zhì)，這是一種非常直觀的辦法。同時(shí)在這個(gè)修訂版的標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，也強(qiáng)調(diào)了對自變量取值范圍的討論，應(yīng)該結(jié)合具體的實(shí)際問題，在實(shí)際問題中討論自變量取值范圍，而不是說泛泛地、一般性地討論自變量的定義域、值域。 二、內(nèi)容的變化 （一）強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義。如要求“結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式。” （二）強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，但不要求用圖象法求二元一次方程組的近似解。 （三）強(qiáng)調(diào)對于一次函數(shù)圖象變化的探索。例如“根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式 y = kx + b (k 0) 探索并理解 k 0 和 k 0 時(shí)，圖象的變化情況?！?（四）強(qiáng)調(diào)用反比例

20、函數(shù)解決實(shí)際問題。如要求在具體情境中理解反比例函數(shù)的意義。 （五）突出反比例函數(shù)的圖象功能。能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式 (k 0) 探索并理解 k 0 和 k 0 時(shí)，圖象的變化情況。 （六）強(qiáng)調(diào)用函數(shù)解決實(shí)際問題。如要求在實(shí)際問題中分析體會(huì)二次函數(shù)的意義，并運(yùn)用于實(shí)際，在實(shí)際問題中考慮自變量的取值范圍。 三、價(jià)值及作用 函數(shù)是非常有價(jià)值的內(nèi)容，首先變量之間的關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界當(dāng)中就是普遍存在的，如何研究變量之間的關(guān)系，從數(shù)學(xué)上解決這個(gè)問題，它的工具就是函數(shù)。所以對于學(xué)生來講，利用函數(shù)的方法解決現(xiàn)實(shí)問題，實(shí)際上是從常量的數(shù)學(xué)走到變量的數(shù)學(xué)，像在方程中，x 表示未知數(shù)，它實(shí)際上不是變量

21、，其實(shí)它是一個(gè)常量。在函數(shù)當(dāng)中就不一樣，它可能是自變量，也可能是因變量，所以從這個(gè)角度來講，從學(xué)生的思維角度來講，它是一種飛躍，而且通過變量的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以逐漸地形成辯證唯物主義的思想。 通過變量之間關(guān)系的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，因?yàn)閷W(xué)習(xí)函數(shù)，就要表示變量之間的關(guān)系，它有一個(gè)很重要的作用，就是利用函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行預(yù)測，或利用函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，未知的點(diǎn)可以通過函數(shù)關(guān)系把它計(jì)算出來。我們預(yù)測人口，如中國二十年以后的人口數(shù)量問題，可以根據(jù)對以前人口的統(tǒng)計(jì)、對數(shù)量進(jìn)行分析，根據(jù)它的變化規(guī)律來進(jìn)行預(yù)測。進(jìn)行計(jì)算也是函數(shù)非常重要的一個(gè)應(yīng)用，我們根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律，看其中某一些位置的點(diǎn)的函數(shù)值是多少等

22、等。另外由于在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，我們非常重視函數(shù)的圖象表示，所以對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀函數(shù)也是非常重要的載體。通過直觀分析函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生可以對函數(shù)的增減性，或者是周期性等等都能夠有很好的認(rèn)識(shí)。 從常量到變量數(shù)學(xué)的過渡階段，學(xué)生從小學(xué)階段就已經(jīng)開始。到了初中階段，學(xué)生又接觸到一些新的知識(shí)，他們逐漸在豐富的自己的認(rèn)識(shí)。如我們在教學(xué)中也曾經(jīng)向?qū)W生出示這樣的一些圖象，向?qū)W生提出問題：這些圖象都可以刻畫什么？ 不同的學(xué)生有著不同的一些想法。你能不能夠在現(xiàn)實(shí)生活中找到這樣的函數(shù)的一個(gè)實(shí)際背景或?qū)嵗?？例如第一個(gè)圖象，學(xué)生可能會(huì)說是勻速行駛的汽車的時(shí)間和路程之間的關(guān)系，也有學(xué)生會(huì)舉例子說，如果蘋果一斤是 2

23、 元錢，這個(gè)圖表示的是蘋果斤數(shù)和總價(jià)的關(guān)系，這些例子都是比較樸素的。不妨再來看看第八個(gè)圖，有的學(xué)生會(huì)說，這個(gè)是向水桶中注水，最后達(dá)到了上限還要再注，時(shí)間與水面高度的關(guān)系；還有同學(xué)舉例子說，將 20 度的水加熱，加熱到沸騰；有的學(xué)生是說從甲地出發(fā)到了某地之后，這個(gè)車壞了怎么修也修不好；還有的說是彈簧的承重有一個(gè)限度，但它超過這個(gè)限度之后，長度就已經(jīng)超過了彈簧的承受能力，長度就不變了。當(dāng)然這些所舉的例子都還需要再斟酌。有的學(xué)生會(huì)說是小明的體溫，開始逐漸上升，最后持續(xù)高燒，這也是一種可能的情境。有非常多的學(xué)生都提出自己的想法，用來解釋以上圖象，即是說他們能夠從現(xiàn)實(shí)生活中挖掘出豐富的現(xiàn)實(shí)情景，去解釋各

24、種各樣的函數(shù)關(guān)系，我想在這樣一個(gè)過程中學(xué)生們就能真正體會(huì)到函數(shù)圖象的價(jià)值。這是在用解析式表達(dá)、學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)、應(yīng)用函數(shù)解決問題等等之外的收獲。可能我們首先應(yīng)該讓學(xué)生感受到的就是：函數(shù)離我們這么近，其實(shí)它就是這么普通。這樣，函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的取值范圍等在學(xué)生的理解中也就更簡化，更容易被他們所接受。 函數(shù)還有一個(gè)作用，體現(xiàn)在解方程中。即方程可用函數(shù)的方法去解，如果一個(gè)方程，我們不能用已學(xué)的的方法去解。例如三次方程，我們的學(xué)生還沒有學(xué)，就不會(huì)解，但是我們可以畫一下它的圖象，然后就可以以此來大致的估計(jì)一下它的解的范圍，對它的解形成一些初步的認(rèn)識(shí)。實(shí)際上在初中，方程、不等式還都可以看成函數(shù)的一種特殊情況

25、。 另外函數(shù)這一研究變量關(guān)系的方法，實(shí)際上對于其他的學(xué)科，如物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)及一些文科都有非常重要的作用，都是非常有力的工具。因此學(xué)好函數(shù)這部分內(nèi)容，搞好函數(shù)這部分的教學(xué)，在初中代數(shù)中是非常重要的。 話題四 運(yùn)算能力  一、意義及作用 運(yùn)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，初中數(shù)學(xué)中大多數(shù)問題的解決，都離不開運(yùn)算。但是，教學(xué)中常常出現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算時(shí)機(jī)械地搬用運(yùn)算公式、盲目推算，缺乏合理選擇簡捷運(yùn)算途徑的意識(shí)等。因此，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿將“運(yùn)算能力”作為一項(xiàng)重要的內(nèi)容，同時(shí)提出運(yùn)算能力培養(yǎng)的價(jià)值，即“有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\(yùn)算途徑解決問題?！庇纱丝梢?，運(yùn)算能力在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，

26、尤其是數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中具有重要的價(jià)值和意義。 二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義 課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿將“運(yùn)算能力”界定為“能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力?！薄罢_”是對運(yùn)算結(jié)果的要求，這是進(jìn)行一切運(yùn)算最終的也是最根本的要求?！案鶕?jù)法則和運(yùn)算律”也就是運(yùn)算的依據(jù)和運(yùn)算的前提。這要求學(xué)生要理解運(yùn)算時(shí)所用的法則和運(yùn)算律，不僅如此，還要求會(huì)正確、恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用這些運(yùn)算律、運(yùn)算法則。 此外，課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿還指出了 “培養(yǎng)運(yùn)算能力還有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\(yùn)算途徑解決問題。”因此，運(yùn)算能力不僅包含對運(yùn)算意義、法則、公式、運(yùn)算程序的正確理解，還包含對簡捷的運(yùn)算途徑的合理選擇。這要求學(xué)生能夠根據(jù)問題的不

27、同條件和不同目標(biāo)，靈活地運(yùn)用公式、法則和有關(guān)的運(yùn)算律，能夠掌握同一個(gè)問題的多種運(yùn)算方法，并善于通過觀察、分析、比較，作出合理的選擇。也就是說，運(yùn)算能力中包含著對思維能力的要求。因而，在運(yùn)算過程中，學(xué)生的思維能力會(huì)受到檢驗(yàn)，并得到鍛煉。 三、與內(nèi)容的聯(lián)系 與運(yùn)算能力相關(guān)的內(nèi)容，一個(gè)是有理數(shù)的運(yùn)算。還有實(shí)數(shù)的運(yùn)算，但由于解決實(shí)際問題取近似值，落腳點(diǎn)還是有理數(shù)運(yùn)算，帶根號(hào)的無理數(shù)的運(yùn)算實(shí)際上是恒等變形。關(guān)于式的運(yùn)算，實(shí)際上就是恒等變形。運(yùn)算在解決問題中是必須的，運(yùn)算能力的培養(yǎng)是重要的。還有方程或不等式的求解，都有式的運(yùn)算，都要求其結(jié)果具有正確性、采用簡便算法，及選擇最佳途徑。 四、如何培養(yǎng) 關(guān)于運(yùn)算

28、能力的培養(yǎng)有四點(diǎn)，即關(guān)于態(tài)度、知識(shí)、能力，以及應(yīng)用。 第一在學(xué)生的態(tài)度上，首先要讓學(xué)生重視數(shù)學(xué)運(yùn)算，讓他們意識(shí)到數(shù)學(xué)運(yùn)算是非常重要的，需要在態(tài)度上面有一個(gè)非常正確的認(rèn)識(shí)，不要認(rèn)為這個(gè)運(yùn)算可有可無，或者把丟一個(gè)數(shù)或者錯(cuò)一個(gè)數(shù)，看成一個(gè)非常不重要的事情。所以第一點(diǎn)就是強(qiáng)調(diào)態(tài)度，必須重視運(yùn)算。 第二個(gè)運(yùn)算不是憑空建立起來，它是基于一定的知識(shí)背景的，這種知識(shí)是什么？首先必須要讓學(xué)生要掌握好運(yùn)算過程中的一些概念，性質(zhì)，以及用到什么樣的公式，用到什么樣的法則。因此我們認(rèn)為，在學(xué)習(xí)這些知識(shí)的時(shí)候，應(yīng)該給學(xué)生強(qiáng)化，讓他意識(shí)到這是一個(gè)最根本的東西。 其實(shí)在學(xué)生運(yùn)算過程中運(yùn)算能力與推理能力直接關(guān)系。為什么這么說呢

29、？因?yàn)閷W(xué)生在運(yùn)算的時(shí)候需要一步一步地去進(jìn)行，前一步是后一步的前提，運(yùn)算不是憑空建立起來，必須有充分的理由才能夠做后面的運(yùn)算，才能夠?qū)崿F(xiàn)前后的這種連貫。因此在這個(gè)過程中一定要讓學(xué)生理解運(yùn)算的性質(zhì)和公式，以提高他們進(jìn)行推理的能力。 比如我們在學(xué)習(xí)乘法公式的時(shí)候，學(xué)生經(jīng)常愛犯的錯(cuò)誤中，比較典型的就是將這兩個(gè)公式混淆了，認(rèn)為 (a+b)2 =a2 +b2 。這是一個(gè)常見的錯(cuò)誤，不利于今后的學(xué)習(xí)和使用以上知識(shí)點(diǎn)。這個(gè)錯(cuò)誤產(chǎn)生原因我們可以分析，可能是一些知識(shí)的負(fù)向遷移。我們到底如何避免這樣的錯(cuò)誤？老師們不妨在教學(xué)中不斷的回到最初，不斷地追本溯源讓學(xué)生重新認(rèn)識(shí)公式是如何得來的。 公式得來其實(shí)有兩個(gè)方面：一個(gè)

30、是代數(shù)推導(dǎo)，一個(gè)是幾何直觀推導(dǎo)。它的代數(shù)推導(dǎo)就是我們之前的所學(xué)的知識(shí)：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。這個(gè)乘法的運(yùn)算中，共得出四項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)得到了三項(xiàng)。在這個(gè)方法之外，其實(shí)幾何也非常重要，而且是完全不同的一個(gè)途徑呢。 對于這個(gè)圖，我們還是很熟悉的，在幾何圖形中，(a+b)2 可以理解為邊長為 a+b 的正方形的面積，而它是在兩個(gè)小正方形 a2 和 b2的基礎(chǔ)之上，還要算上兩個(gè)矩形的面積，這樣我們就完全否定了剛才的錯(cuò)誤。學(xué)生在有了數(shù)、形兩個(gè)方面對這個(gè)公式的認(rèn)識(shí)之后，對這個(gè)公式的正確掌握會(huì)得以提高。在此給大家一個(gè)建議，此處很好地體現(xiàn)了幾何直觀的作用，利用幾何直觀糾正學(xué)生這個(gè)錯(cuò)誤很有效。 這個(gè)問題也是大家一直談

31、論的：我們算的目的是什么？其實(shí)我們在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的時(shí)候，可能有的時(shí)候又要考慮到算的原因和它將來的發(fā)展。在學(xué)生出現(xiàn)問題的時(shí)候，我們怎么去給它克服思維的定勢，找到錯(cuò)誤的根源，以及解決它。所以運(yùn)算能力的培養(yǎng)不僅要關(guān)注在解決問題的過程中，考慮要解決一些純數(shù)學(xué)問題，也要考慮解決其他知識(shí)這方面的問題。這個(gè)例子一方面反應(yīng)了對運(yùn)算的理解，另一個(gè)方面有一些運(yùn)算也可以運(yùn)用到其他的知識(shí)中去，這其實(shí)也加深了學(xué)生對運(yùn)算知識(shí)的一些理解，同時(shí)也培養(yǎng)他這方面的能力。所以運(yùn)算能力的培養(yǎng)其實(shí)是一個(gè)大家比較關(guān)注的話題，當(dāng)然也是一個(gè)非常重要的話題，但是我們也注意到，運(yùn)算能力的培養(yǎng)不是一下子能夠到位，我們應(yīng)該循序漸進(jìn)，隨著知識(shí)的學(xué)

32、習(xí)和深入把它要滲透到我們教學(xué)過程里面去，這樣的話才對學(xué)生真正的發(fā)展起作用。  話題五 符號(hào)意識(shí)和代數(shù)的思維特點(diǎn)  一、意義及作用 學(xué)生一進(jìn)入初中，首先學(xué)的代數(shù)內(nèi)容就是用字母表示數(shù)。用字母表示數(shù)一般被認(rèn)為是學(xué)習(xí)代數(shù)的開始。用字母表示數(shù)把小學(xué)所學(xué)的關(guān)于數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行了一般化的表示。用符號(hào)是數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)，符號(hào)實(shí)際上是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)可以說是一個(gè)符號(hào)化的世界，在數(shù)學(xué)當(dāng)中，人們用符號(hào)來進(jìn)行表示，而且用符號(hào)來進(jìn)行交流，所以學(xué)生具有符號(hào)意識(shí)是非常重要的。逐步形成符號(hào)或感受符號(hào)的作用是非常重要的，沒有符號(hào)在一定意義上來說就沒有近代和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)，所以符號(hào)的產(chǎn)生，用符號(hào)來進(jìn)行表示非常重要，標(biāo)準(zhǔn)

33、指出，建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生的理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形成就是從用字母表示數(shù)開始，學(xué)生就應(yīng)該用符號(hào)來進(jìn)行表示，用符號(hào)來進(jìn)行思考。 二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義 在課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂稿中，將“符號(hào)意識(shí)”界定為：主要是指學(xué)生能夠理解，并且運(yùn)用符號(hào)來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號(hào)可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理。這里所提到的運(yùn)用符號(hào)來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，其實(shí)也像剛才所提，在小學(xué)字母表示數(shù)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步建立比較復(fù)雜一些的數(shù)量關(guān)系和盡可能地用符號(hào)刻畫事物發(fā)展的趨勢和變化規(guī)律。符號(hào)可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理，也就是涉及到我們用基礎(chǔ)的符號(hào)來不斷構(gòu)建數(shù)學(xué)、代數(shù)部分的運(yùn)算大系統(tǒng)。其實(shí)符號(hào)可

34、以表示，也可以運(yùn)算，也可以去轉(zhuǎn)換。課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿中特別突出符號(hào)的作用，它可以進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考。這里面我們所理解的數(shù)學(xué)表達(dá)，其實(shí)對學(xué)生來說就是能夠建立初步的符號(hào)意識(shí)，用符號(hào)和其他的一些手段，用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活，這其實(shí)是一種對學(xué)生來說比較基本的要求。在此基礎(chǔ)之上，他能夠用符號(hào)進(jìn)行思考，其實(shí)更是對他理性思維和在數(shù)學(xué)能力上的一個(gè)要求的體現(xiàn)。 三、與內(nèi)容的聯(lián)系 與符號(hào)意識(shí)相關(guān)內(nèi)容，第一個(gè)要考慮的是符號(hào)的表示。第二點(diǎn)是對符號(hào)的解釋。還有一點(diǎn)，在符號(hào)意識(shí)中還有一個(gè)符號(hào)的運(yùn)算，以及符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換。 四、如何培養(yǎng) 首先應(yīng)該讓學(xué)生在實(shí)際的問題情景中理解符號(hào)以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義。也就是說我們培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)和具體問題應(yīng)該是發(fā)生聯(lián)系的。 其次也是非常重要的，我們經(jīng)常說數(shù)學(xué)是一種語言，其實(shí)是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的符號(hào)也是一種語言，因此我們要培養(yǎng)學(xué)生的自然語言和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換能力。我們知道學(xué)生自然語言能力非常好，因?yàn)檫@是他的母語，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的過程中，讓他實(shí)現(xiàn)這兩種語言之間的轉(zhuǎn)換也非常重要。有學(xué)者認(rèn)為，在解決問題的過程中，