相似三角形壓軸題含復(fù)習(xí)資料

1、3 / 191、(2011學(xué)年度九年級第二學(xué)期普陀區(qū)期終調(diào)研)如圖，四邊形 ABCD中，AD/BC，點(diǎn)E在CB的延長線上，聯(lián)結(jié) DE，交AB于點(diǎn)F ,聯(lián)結(jié)DB ， AFD DBE，且2DE BE CE .(1) 求證：DBE CDE ；(2) 當(dāng)BD平分 ABC時(shí)，求證：四邊形 ABCD是菱形.答案：(1)證明：/ DE2 BE CE ,DE BECE DE E E ,（2分） （ 1 分）DBE s CDE（1 分）DBE CDE（ 1 分）（2）/ DBE CDE ,又 DBE AFD , CDE AFD （1 分） AB/DC （1 分）又 AD / BC ,四邊形ABCD是平行四邊形

2、（1分） AD / BC , ADB1 （1 分）/ DB 平分 ABC , 12 （1 分） ADB 2 - AB AD （1 分）1分）四邊形 ABCD是菱形.2、（2010?山東省泰安市） 如圖，在 ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn),且滿足 AD=AB，/ ADE= / C（1 ）求證：/ AED= / ADC，/ DEC= / B;（2）求證：AB 2=AE -AC2.（本小題滿分8分）證明：（1）在ADE 和 ACD 中/ ADE= / C,Z DAE= / DAE/ AED=180 Z DAE Z ADE/ ADC=180 Z ADE Z C Z AED= Z ADC（

3、2 分）vZ AED+ Z DEC=180Z ADB+ Z ADC=180 Z DEC= Z ADB又 v AB=AD Z ADB= Z B Z DEC= Z B（4 分）（2）在厶ADE和厶ACD中由（1 ）知/ ADE= Z C,Z DAE= Z DAE ADE ACD（5 分） AD AC "AE AD即 AD 2=AE-AC（7 分）又 AB=AD AB 2=AE -AC（8 分）（2009泰安）如圖， ABC是直角三角形， / ACB=90 ° , CD丄AB于D , E是AC的中點(diǎn), ED的延長線與CB的延長線交于點(diǎn) F。（1）求證：FD2=FBFC。（2）若G

4、是BC的中點(diǎn)，連接 GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由?！敬鸢浮孔C明：(1 ) E是Rt ACD斜邊中點(diǎn) DE=EA/ A= / 2 / 1 = / 2' Z 1 = / A / FDC= / CDB+ / 1=90° +/ 1，/ FBD= / ACB+ / A=9 0° + / A / FDC= / FBD- F是公共角 FB"A FDC FBFDFDFC FD2FB?FC(2) GD 丄EF理由如下：/ DG是Rt CDB斜邊上的中線, DG=GC/ 3= / 4由(1)得/ 4= / 1/ 3= / 1/ 3+ / 5=90°/ 5+ /

5、 1= 90° DG 丄 EF4、( 2010廣東珠海)如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE丄BC,垂足為E,連接DE F為線段DE上一點(diǎn)，且/ AFE=Z B.(1) 求證： ADDA DEC(2) 若 AB= 4,AD= 3 3 ,AE = 3,求 AF 的長.【答案】(1)證明：四邊形 ABCD是平行四邊形 AD/ BC AB / CD/ ADF玄 CED/ B+Z C=180°/ AFE+Z AFD=180 Z AFE=Z B Z AFD=Z C ADFA DEC 解：四邊形 ABCD是平行四邊形 AD/ BC CD=AB=4又 AE丄 BC AE 丄 AD在

6、 Rt ADE中，DE=、AD2 AE2.(3 3)2 32 6/ ADFA DECADAF3、3AF AF= 2.3DECD645、( 2010 廣東肇慶)如圖 5,Z ACB=90 , AC=BC , BE 丄CE于 E, AD丄 CE于 D, CE與 AB 交于F.(1) 求證： CEBA ADC;(2) 若 AD=9cm , DE = 6cm，求 BE 和 EF 的長.【答案】解：(1)因?yàn)? ACB=90，所以/ BCE+ / ECA=90 .因?yàn)?AD丄 CE于 D,所以/ CAD+ / ECA=90 .所以/ BCE= / CAD.因?yàn)?BE 丄 CE于 E,所以/ BEC= /

7、 CDA=90 .又因?yàn)?AC=BC，所以 CEBA ADC(AAS .(3)因?yàn)?CEBA ADC 所以 CE=AD=9cmCD=BE因?yàn)?DE = 6cm,所以 CD=CE-DE=3cm.所以 BE=3cm.因?yàn)? BEF= / ADF=90，/ EFB= / DFA,所以 EFBA DFA.所以 .設(shè) EF=xcm，所以 DF=(6-x)cm, 所以 3 = - ,所以 x= 3 cm.AD FD96-x2BC .取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)FD6> .（2009年濰坊）已知 ABC，延長BC到D，使CD 交AC于點(diǎn)E AF(1 )求竺的值;AC過點(diǎn)F作FM / AC，交BC于點(diǎn)M .Q

8、F為AB的中點(diǎn)1M為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)M AC .2由 FM / AC，得 CED MFD , ECDFMD , FMD ECDDC EC 2DM FM 32211EC FMAC AC33231 AEACECAC3AC2AC ACAC311（2） Q AB a, FB AB a2 2p1又 FB EC, EC a213Q EC AC, AC 3EC -a .3 27、（ 2011?東莞市）21.如圖（1）, ABC與厶EFD為等腰直角三角形， AC與DE重合，AB=AC=EF=9，/ BAC= / DEF=90o，固定 ABC，將 DEF 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) DF 邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止

9、.現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE, DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G , H點(diǎn)，如圖（2）題21圖（1）問：始終與 AGC相似的三角形有(1)的情形說明理由）(2)設(shè)CG=x, BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖(3)問：當(dāng)x為何值時(shí)， AGH是等腰三角形.【答案】 解：（HAB , HGA。AC(2)：公 AGCHAB , -HBGC，即 9 /。AB y 981.y= 。x又 BC= . 92929 2 ,0< x< 9 2。 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為(3)當(dāng)/ GAH= 45°可知x CG是等腰三角形匹9 2。2 2是等腰三

10、角形Oy= 81 0< x < 9 2 < x的底角時(shí)，如圖當(dāng)/ GAH= 45在厶HGA和厶AGC中的頂角時(shí)，如圖2,/ AGH= / CGA，/ GAH= / C=45°, HGA s AGC。/ AG=AH , x CG AC 99 當(dāng)x. 2或x 9時(shí)， AGH是等腰三角形。28、(2009武漢)如圖1,在Rt ABC中,BAC 90° AD丄BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接 BO交AD于F，OE丄OB交BC邊于點(diǎn)E .(1)求證： ABF COE ；(2) 當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，-AB(3) 當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，必AB2時(shí)，如圖2,求蘭的值；OEn

11、時(shí)，請直接寫出9匸的值.OE23 / 19圖1圖2【關(guān)鍵詞】相似三角形的判定和性質(zhì)【答案】解：(1) Q AD丄BC， DAC C 90 Q BAC 90° BAF C .QOE 丄 OB， BOA COE 90°Q BOA ABF 90°， ABF COE. ABF COE ；(2)解法一：作OG丄AC，交AD的延長線于G .Q AC 2AB，O 是 AC 邊的中點(diǎn)，AB OC OA .由(1)有 ABF sCOE， ABF COE，BF OE .Q BAD DAC 90° DAB ABD 90°DAC ABD，又 BAC AOG 90

12、76; AB OA. ABCOAG， OG AC 2AB .QOG 丄 OA， AB / OG， ABF sGOF，OF OG OF OF OG， 2 .BF AB OE BF AB解法二：Q BAC 90° AC 2AB, AD 丄 BC 于 D , AD AC2 .BD ABRtA BAD s Rt BCA.設(shè)AB 1,則AC2, BC、5, bo 2 ,AD 25, BD5Q BDF BOEBDDF1 AD290° 1 .5 .5BDF BOE ,由（1）BOOE知BFOE,設(shè) OEBF1乜5DFx 10DF .在厶DFB中x21丄2510x，OF OB BF2 2&

13、quot;OFOE（3）OF（3）n .OE9、（2010 ?濟(jì)寧市）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目:如圖1,正方形ABCD的邊長為12 , P為邊BC延長線上的一點(diǎn),DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊 DC于M，交邊AB的延長線 于N 當(dāng)CP 6時(shí)，EM與EN的比值是多少？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過DE為PE作直線平圖1行于BC交DC , AB分別于F , G，如圖2 ,則可得:因?yàn)镈E EP,所以DF FC .可求出 得EM與EN的比值DF DEFC EPEF和EG的值，進(jìn)而可求（1）請按照小明的思路寫出求解過程（2）小東又對此題作了進(jìn)一步探究,得出了 DP MN的結(jié)論.

14、D你認(rèn)為小東的這個結(jié)論正確嗎？如果正確,請給予證明；如果不正確，請說明理由（第22題）則 MH CBCD ,MHN90 .DCP 1809090 ,DCPMHN . MNHCMNDME90CDP ,DPC 90DPCMNH . - DPCMNH 二 DP MNCDP ,分22. (1)解：過E作直線平行于 BC交DC , AB分別于點(diǎn)F , G ,DFDEEMEF則-,GFBC12.FCEP，ENEG DEEP , DFFC 分 EF-CP1 63, EG GFEF12 3 15.22EMEF3 1. 分ENEG15 5(2)證明：作MH / BC交AB于點(diǎn)H ,5分10、(2010?湖北省咸

15、寧)24.(本題滿分12分)如圖，直角梯形 ABCD 中，AB/ DC, DAB 90 , AD 2DC 4 , AB 6 .動點(diǎn) M以每秒1個單位長的速度，從點(diǎn) A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從 點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn) M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動.過點(diǎn)M作直線I/ AD，與線段CD的交點(diǎn)為E,與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q.點(diǎn)M運(yùn)動的時(shí)間為t (秒).(1)當(dāng)t 0.5時(shí)，求線段QM的長；(2) 當(dāng)Ov tv 2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值；CQ(3) 當(dāng)t> 2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R.請?zhí)骄渴欠駷槎ㄖ?，若是，試求這RQ個

16、定值；若不是，請說明理由.24 .解：(1)過點(diǎn)C作CF AB于F，則四邊形 AFCD為矩形. - CF 4 , AF 2 .此時(shí)，Rt AAQM s Rt AACF .-2分D QMCFAMAF .4 - 2M.5 Q O1QM 1 .3分(第 24 題)A(2)v DCA為銳角，故有兩種情況： 當(dāng) CPQ 90時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合.此時(shí)DE CP CD，即t t 2 , t 1.5分 當(dāng) PQC 90時(shí)，如備用圖1,此時(shí) Rt APEQs RtQMA ,EQPEMAQM由(1)知，EQ EM QM4 2t ,而 PE PC CE PC (DCDE) t (2 t) 2t 2 , 4 2t 1

17、. *5. t .2t 223綜上所述，t 1或5 . 8分(說明：未綜述，不扣分)3(備用圖1)PA DA DP 4 (t2)6 t .由(1)得，BF ABAF4 . CF BF . CBF45 . QM MB 6 t . QMPA .四邊形AMQP為矩形. PQ /AB .11分CQ(3)為定值. 9分RQ當(dāng)t > 2時(shí)，如備用圖2,(備用圖2) CRQs CAB.CQ BC CF2 BF24 22 2八-.12分RQ ABAB6311、五、石景山24題：在 ABC中，AB AC,D是底邊BC上一點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)，且/ BED 2 CED BAC.(1) 如圖1,若/ BAC

18、 90，猜想DB與DC的數(shù)量關(guān)系為 (2) 如圖2,若/ BAC 60，猜想DB與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3) 若/ BAC，請直接寫出 DB與DC的數(shù)量關(guān)系【參考答案】24.解：(1) DB 2DC DB 2DC證明：過點(diǎn)C作CF / BE交AD的延長線于點(diǎn)F ,在AD上取點(diǎn)G使得CG CF60gg3060201F圖(1)/317126032/ AB AC ABE CAG:.CG AE, BE AG/ GCE 6 CED 30 CG EG11 CF CG AG BE22由厶DBE sDCF得-BD 匹 2DC FC DB 2DC(3)結(jié)論：DB 2DC .25. (11 漳州)(滿

19、分13分)如圖，直線y=- 2x + 2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),將厶OAB繞點(diǎn)0逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°后得到 OCD .(1 )填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是(，)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(，)；(2)設(shè)直線CD與AB交于點(diǎn)M，求線段BM的長；（3）在y軸上是否存在點(diǎn) P,使得 BMP是等腰三角形？若存在, 請求出所有滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（一2, 0）4分（2）方法一：由（1）可知 CD = OC2+ OD2 = 5, BC= 1又/ 1 = / 5,/ 4 = / 3BMCsDOC BM BC BM =丄"

20、DO = DC 即 2 = 5BM5方法二：設(shè)直線 CD的解析式為y= kx+ b由（1 ）得b= 1鉀/曰 b= 12k+ b = 0 解得 k= 12直線CD的解析式為y= 2 x+ 1又/ 1 = / 5,/ BCM = / DCOBMCDOC BM = BC BM =丄DO = DC 即 2 = 5BM5y= 2x+ 2 126過點(diǎn)M作ME丄y軸于點(diǎn)e,則 me=5, be=4y= 2x+1BMME2 + BE2分兩種情況討論：以BM為腰時(shí)T BM = 2 5，又點(diǎn)P在y軸上，且BP= BM此時(shí)滿足條件的點(diǎn) P有兩個，它們是Pi (0,2 + 2 5)、P2 (0,2 5 5)11分過

21、點(diǎn)M作ME丄y軸于點(diǎn)E,vZ BMC = 90°則 BMEBCMBE _ BMBM = BC BE =BC又 BM = BP PE = BE= 45.yP1P2DOAxA X BP = 5此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P 有一個，它是P3 OP = 32八5) 12 分以BM為底時(shí)，作BM的垂直平分線，分別交 y軸、BM于點(diǎn)P、F,由(2)得/ BMC = 90° PF / CM F是BM的中點(diǎn)，1 1 BP = 2BC = 2此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個，它是P4 (0 , 2)綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有四個，它們是：Pl (0, 2+ 2 5)、P2 (0 , 2-2P3(0,5)、P4

22、(0,32) 13分13.(2010?福建省莆田市)如圖 1,在 Rt ABC 中， ACB 90° AC 6, BC 8,點(diǎn) D 在邊AB上運(yùn)動，DE平分 CDB交邊BC于點(diǎn)E, CM BD垂足為M , EN CD，垂 足為N.(1) 當(dāng) AD=CD 時(shí)，求證：DE / AC ;(2) 探究：AD為何值時(shí)， BME與ACNE相似？(3) 探究：AD為何值時(shí)，四邊形 MEND與 BDE的面積相等?24.(本小題滿分12分)(1)證明：Q AD CDDAC DCABDC 2 DAC 1分又 DE是/ BDC的平分線 / BDC=2 / BDE第24題/ DAC= / BDE 2分 DE

23、 / AC 3分(2)解：(I)當(dāng)厶 BME CNE 時(shí)，得 MBE NCE BD=DCDE 平分/ BDC DE 丄 BC , BE=EC.又/ ACB=90 ° DE / AC. 4分匹BC AD=5匹即BDAB珅 WC2 BC2()當(dāng) BME ENC 時(shí)，得 EBM CEN EN / BD又 EN 丄 CD BD丄CD即CD是厶ABC斜邊上的高 6分由三角形面積公式得 AB-CD=AC BC CD= 245二 ADAC2CD218綜上，當(dāng)AD=5或18時(shí),5 BME與厶CNE相似.（3）由角平分線性質(zhì)易得1SamdeSa denDM ' ME2Q S四邊形 MENDSA

24、 BDE11-BD-EM DM - EM 即 DM - BD 8 分22 EM是BD的垂直平分線. ACDE sACBD 9分CDCEDE10分BCCDBDCDBEBEBCBD2BM4BE即CDBMBM45Q cosBCD45BE54/ EDB= / DBE/ EDB= / CDE DBE= / CDE又/ DCE = / BCD由式得CECD2BC258BE398BMBE cosBAD AB 2BM10 2 39104 39395 81011511分12分14、（ 2012莆田市質(zhì)檢）24.（本小題滿分12分）如圖，在Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=8, BC=6，點(diǎn)D是射線CA

25、上的一個 動點(diǎn)（不與A、C重合）,DE!直線AB于E點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作FFU 直線AB于點(diǎn)H,連接EF,設(shè)AD= x.（1）（ 3分）若點(diǎn)D在AC邊上，求FH的長（用含x的式子表示）；S 4分）若點(diǎn)D在射線CA上, BEF的面積為S,求s與x的函數(shù)關(guān) 系式，并寫出x的取值范圍.（2）（ 5 分）若點(diǎn)D在AC邊上，點(diǎn)P是AB邊上的一個動點(diǎn)，DP與EF相 交于O點(diǎn)，當(dāng)DP + FP的值最小時(shí)，猜想DO與PO之間的數(shù)量關(guān)系，并加以 證明.24.解：（1）v ACB900 , AC 8 , BC 6AB方法一：sin ABC 63AB 105v AED900- DE AD si nA3x -

26、5v DEB900, F是BD的中點(diǎn) EF BFv FHAB EH BH13 FH 丄 DE x3分210方法二：vAEDACB900 ,AA ADE s ABC DEADBCABDEx3 DEx -_2分6 105一2分,AC2 BC282DEB 900, F 是 BD 的中點(diǎn) 二 EFBFv FH AB EH BH FH - DEx 3 分102 ADE s ABC有兩種情況: BE10(I)4x5.AE AC 當(dāng)占1 八、 S SBE23x251FH -(10232x，B2:同理得：FH 丄DE Ax210v BE104xBE543x) SFH1 (1022510 S3x23x, (x

27、0)252(2)猜想：DO3PO -8分證明:作點(diǎn)F關(guān)于AB的對:寸稱點(diǎn)Fx-7分',連接FF'則FF'當(dāng)點(diǎn)D在CA延長線上時(shí)，如圖B圖2AB 于 H , EF于O ,交AB于P，此時(shí)DP FP的值最小時(shí)連接EF .連接DF'交1 'v FH DE , FH F H2 FF DE 又t FF / DE四邊形DEF'F是平行四邊形一9分DPE 與 F'PH900方法一：如圖3,在t DEP FHPDPE中f'phDPEPHDPPFDE二 DP2PF11分 DOPO 2(DOPO)化簡得:DO3PO方法二：連接OH如圖4: OE OF ,FH F'H OH /EF,廠1且 OH =- EF,-210分.OPOH1 _-11 分PF 'EF ,2方法三：取PB的中點(diǎn)M，連接t FHF'H ,FH-DE2 FF'DE又tFF' / DEOPHFPEs:.DOFM如圖5:四邊形DEF12分BOFOEOF-10 分DFBF ,PM BMFM/ DP ,op -2FM ,DP4PO DO3PO F是平行四邊形FMCB212分15、（