高中數(shù)學 三角與平面向量中檔題復習（學生版）

1、三角函數(shù)與平面向量三角函數(shù):內(nèi)容：三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形【試題特點】加強對三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查，重點轉(zhuǎn)移到對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查熱點是恒等變換與解三角形，特點是三角形中的三角函數(shù)問題要充分重視，解答題考查內(nèi)容大致可以分為以下四類：（）利用三角變換和誘導公式，考查求值、化簡問題； （）轉(zhuǎn)化為型函數(shù)，考查與其圖像、性質(zhì)（如周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值等）有關(guān)問題；（）三角變換及解三角形；（利用正余弦定理和相應(yīng)的三角變換，考查三角形的邊角關(guān)系及解三角形與實際應(yīng)用問題）；（）穿插考查函數(shù)概念和性質(zhì)、向量運算等知識試題如下：（）利用三角變換和誘導公式，考查求值、化簡問題； 1.（08天

2、津）已知.（）求的值； （）求的值.解：（）=（）xBCAOy2如圖，圓與軸的正半軸的交點為，點、在圓上，且點位于第一象限，點的坐標為， （）求圓的半徑及點的坐標； （）若，求的值解：（）半徑， 點C的坐標為； （）由（1）可知， 3已知為銳角，且.（）求的值；（）求的值.解：（）.（）（）轉(zhuǎn)化為型函數(shù)，考查與其圖像、性質(zhì)（如周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值等）有關(guān)問題；1已知函數(shù)(其中),其部分圖象如圖所示. (I)求的解析式; (II)求函數(shù)在區(qū)間上的 最大值及相應(yīng)的值.解：（I）. （II）當時，取得最大值. 2已知函數(shù)的圖象如圖所示.（）求的值；（）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.解：（）， （

3、）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為3已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)求和的值解：，又，得， 當時，在上是減函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)；當時，在上不是單調(diào)函數(shù)綜上可知，或4設(shè)函數(shù) （）求的最小正周期；（）當時，求函數(shù)的最大值和最小值解：（）， （）當，即時，有最大值， 當，即時，有最小值 5已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點 （I）求實數(shù)a、b的值； （II）若，求函數(shù)的最大值及此時x的值.解：（I） （II）由（I）知：時，取得最大值12分6已知函數(shù) （I）求函數(shù)的最小正周期及圖象的對稱軸方程；（II）設(shè)函數(shù)求的值域. 解：（I）函數(shù)圖象的對稱軸方程為 （II）取得最大值2，所以的值域為7.已知

4、函數(shù)，且的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點（1,2）.（I）求 （II）計算解：（I）.（II）（ 3 ）三角變換及解三角形；（利用正余弦定理和相應(yīng)的三角變換，考查三角形的邊角關(guān)系及解三角形與實際應(yīng)用問題）1在中，角，所對的邊分別為，且，.（）求的值；（）若，求的面積.解：（）（）. 2（文）在中，角，所對的邊分別為，且，.（）求，的值；（）若，求，的值.解：（）.則 . （）.， . 3在中，角所對的邊分別為，滿足，且的面積為（）求的值；（）若，求的值解：（）. （）. 4在中，角，所對的邊分別為，且，（）求的值；（）求的值；（）求的值解：（） . （）. （） . 5已知

5、的三個內(nèi)角，求當滿足何值時取得最大值，并求出這個最大值解：，令，則，原式可化為當，即，時，原式取得最大值6已知點是斜邊上一點，且，記 1）證明： 2）若，求的值 略解：1）易知： 得證 2） 7某海島上一觀察哨上午11時測得一輪船在海島北偏東60°的處，12時20分測得船在海島北偏西60°的B處，12時40分船到達位于海島正西方且距海島的港口，如果輪船始終勻速直線前進，問船速多少？分析：本題可培養(yǎng)學生從實際問題抽象出數(shù)學模型的能力和靈活運用正、余弦定理的能力解：輪船從點到點耗時80分鐘，從點到點耗時20分鐘，而船始終勻速行進，設(shè)，則在中，由正弦定理即在中，由正弦定理即在中，

6、由余弦定理輪船的速度為北2010ABC8如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船. （）求處于C處的乙船和遇險漁船間的距離；（）設(shè)乙船沿直線方向前往處救援，其方向與成角，求 (x)的值域.解：（）BC=10. （）， sin =是銳角，= 的值域為. 9. 如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，

7、然后求B，D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30°, ADC=60°DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=180°60°60°=60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，     在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。  （）穿插考查函數(shù)概念和性質(zhì)、向量運算等知識1.在直角坐標系中，已知點和點，其中若向量與垂直，求的值解： 或2. 已知，（1）若，求的值；（2）若，且，求與的夾角解：

8、（1）；（2）設(shè)與的夾角為，則3. 設(shè)函數(shù)，其中向量，（）若且，求；（）若函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，求實數(shù)、的值解：（）（）4 已知向量（）若，求；（），求的周期和最小值解：（）（）當時，函數(shù)有最小值5 在內(nèi)，分別為角所對的邊，成等差數(shù)列，且 .(I)求的值； (II)若，求的值.解：（I）（II）， . 平面向量平面向量概念較多，容易混淆，建議復習時從考查的重點內(nèi)容（向量概念、線性運算、數(shù)量積運算及其幾何意義）入手，不僅要強化對知識的準確掌握，還要從數(shù)形等多種角度去認識重點內(nèi)容【試題特點】縱觀近幾年與平面向量有關(guān)的試題，可以發(fā)現(xiàn)：北京卷堅持在選擇填空題中，考查平面向量的基礎(chǔ)知識、

9、基本方法，難度不大，05-09年試題呈現(xiàn)出來的考查內(nèi)容僅限于平面向量本身，10年則是以邏輯為載體，試圖將向量、函數(shù)和簡易邏輯進行橫向的結(jié)合，雖然有所創(chuàng)新，但是考察基礎(chǔ)，難度不大的主線不變而以平面向量知識為背景，與三角函數(shù)、數(shù)列、解三角形、解析幾何知識相結(jié)合的綜合性問題，在北京卷中尚未出現(xiàn)一利用平面向量知識解決一些以平面幾何圖形為背景的問題一方面平面向量的幾何特性為解決這類問題提供的便利的條件，另一方面把幾何圖形放到適當?shù)淖鴺讼抵?，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標，這就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決1 在中，已知，邊上的中線，求的值解：以B為坐標原點，軸正向建立直角坐標系，且不

10、妨設(shè)點A位于第一象限.二 . 關(guān)注以向量的線性運算、平面基本定理為背景的一類問題1.（2009安徽卷理）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若其中,求的最大值.法1設(shè) ，即 當即時，x+y有最大值，其最大值為2法2建系略，設(shè)，則，經(jīng)整理得到，后略三 關(guān)注與模、數(shù)量積相關(guān)的一類問題1. 已知，（1）若，求的值；（2）若，且，求與的夾角解：（1）；（2）2. 已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值解：（） （）ab當sin()1時，|ab|取得最大值，即當時，|ab|最大值為1 3. 已知向量與互相垂直，其中（

11、1）求和的值（2）若，,求的值【解析】（）,(2) 又 , 4. 設(shè)向量 （1）若與垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求證：. 解：（1）（2）（3）由 5. 已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量， .（1） 若/，求證：ABC為等腰三角形； （2） 若，邊長c = 2，角C = ，求ABC的面積 .證明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圓半徑， 為等腰三角形解（2）四. 對向量和其它知識的綜合考查主要是依據(jù)平面向量的模、數(shù)量積、夾角等公式，通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)與其他知識的有機結(jié)合，同時考查綜合應(yīng)用知識的能力三角函數(shù)與向量的交匯，通過考查向量的概念與運算，來

12、考查三角恒等變形和求值等問題 1.在直角坐標系中，已知點和點，其中若向量與垂直，求的值解： ，或2 在直角坐標系中，以為圓心的圓與直線相切（1）求圓的方程；（2）圓與軸相交于兩點，圓內(nèi)的動點使成等比數(shù)列，求的取值范圍解：（1）（2） 3已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點（）求的取值范圍；（）如果，且曲線上存在點，使，求的值和的面積解：（） （），但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，點的坐標為4. 在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：（）點M的軌跡方程

13、；（）的最小值。.解:點M的軌跡方程為: + =1 (x>1,y>2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9.且當x21= ,即x=>1時,上式取等號. 故|的最小值為3.5. 已知拋物線x24y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且（0）過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為（）證明·為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達式，并求S的最小值解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y1

14、2y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導得yx所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出兩條切線的交點M的坐標為(，)(，1) 4分所以·(，2)·(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以·為定值，其值為07分()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當1時，S取得最