矩陣及向量外積在密碼學(xué)中的應(yīng)用

1、密碼學(xué)中矩陣及向量外積的應(yīng)用摘 要密碼技術(shù)是一門(mén)古老而十分有用的技術(shù)，隨著計(jì)算機(jī)通信技術(shù)的迅猛發(fā)展，大量的敏感信息通過(guò)公共設(shè)施或計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行交換。特別是 Internet 的廣泛應(yīng)用、電子商務(wù)和電子政務(wù)的迅速發(fā)展，越來(lái)越多的信息需要嚴(yán)格的保密，如：銀行賬號(hào)、個(gè)人隱私等。加密過(guò)程是實(shí)現(xiàn)安全系統(tǒng)的核心，矩陣在加密中起著重要作用，該論文結(jié)合矩陣加密的過(guò)程，利用向量的外積對(duì)通信信息進(jìn)行加密，可以更好地提高密碼的安全性能。AbstractCryptography is an ancient and very useful technique, along with the rapid developm

2、ent of computer communication technology, a large amount of sensitive information is exchanged through public facilities or computer networks. Especially the rapid development of Internet application, e-commerce and e-government, more and more information needs strict confidentiality, such as: bank

3、account, the personal privacy. The encryption process is the core of implementation of security system, matrix plays an important role in cryptography, the combining process matrixencryption, using a vector product to encrypt the communication of information, can better improve the safety performanc

4、e of the password.Keywords: password; matrix; vector product1 緒論近幾年來(lái)，信息安全成為全社會(huì)的需求，信息安全保障成為國(guó)際社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)。而密碼學(xué)是信息安全的核心，應(yīng)用密碼學(xué)技術(shù)是實(shí)現(xiàn)安全系統(tǒng)的核心技術(shù)。隨著信息系統(tǒng)及網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的爆炸性增長(zhǎng)，形形色色的安全威脅嚴(yán)重阻礙了當(dāng)前的信息化進(jìn)程，因此，使用密碼學(xué)來(lái)增強(qiáng)系統(tǒng)的安全性尤為重要，而密碼學(xué)課程設(shè)計(jì)正是為這方面做出了具體的實(shí)踐。在當(dāng)今密碼學(xué)不僅用于國(guó)家的信息安全上，人們已經(jīng)將重點(diǎn)更多的集中在實(shí)際應(yīng)用中，在我們的生活中就有很多密碼，例如為了防止別人查閱你文件，可以將你的文件加密；為了防止竊

5、取你錢(qián)物，可以銀行賬戶(hù)上設(shè)置密碼等等。隨著科技的發(fā)展和信息保密的需求，密碼學(xué)的應(yīng)用將融入了人們的日常生活。 1利用矩陣進(jìn)行加密是密碼學(xué)中信息編碼的技巧,可以更好的提高密碼的安全性能，而向量是特殊的矩陣，受矩陣加密過(guò)程的啟發(fā)，該論文嘗試?yán)孟蛄康耐夥e運(yùn)算對(duì)信息進(jìn)行加密與解密。加密過(guò)程中，需要進(jìn)行加密的消息稱(chēng)為明文。用某種方法偽裝消息以隱藏它的內(nèi)容的過(guò)程稱(chēng)為加密，加了密的消息稱(chēng)為密文，而把密文轉(zhuǎn)變?yōu)槊魑牡倪^(guò)程稱(chēng)為解密。加密與解密的算法稱(chēng)為密鑰。2 矩陣及向量外積的相關(guān)概念定義1 由mn個(gè)數(shù)構(gòu)成的m行n列的數(shù)表a11 a 21 am1a12a22 am2a1na2n amn稱(chēng)為m行n列的矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)m

6、n矩陣.向量的外積滿(mǎn)足反對(duì)稱(chēng)性=-()，且當(dāng),兩兩垂直時(shí)，若=，則()=m1,()=m2(其中m1，m2為整數(shù))3 矩陣及向量外積在密碼學(xué)中的應(yīng)用結(jié)合矩陣加密的過(guò)程，該論文嘗試?yán)孟蛄康耐夥e對(duì)信息進(jìn)行加密，得到一密文矩陣，下面結(jié)合例子給出具體的加密與解密過(guò)程。3.1 加密首先將原明文按025與26個(gè)英文字母一一對(duì)應(yīng)，然后將對(duì)應(yīng)所得數(shù)組按三個(gè)數(shù)一組劃分為幾個(gè)三維向量。若明文的字母?jìng)€(gè)數(shù)不能被3整除，則添零補(bǔ)齊。其次把分組所得三維向量?jī)蓛勺魍夥e（作外積前，先作坐標(biāo)向量旋轉(zhuǎn)，使這兩向量轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗷ゴ怪钡膬上蛄浚@樣便于解密。），若分組所得三維向量為奇數(shù)個(gè)，則最后一個(gè)向量不參與作內(nèi)積。最后用上面所得向量構(gòu)

7、成密文矩陣。例1 明文 battle on Tuesday 將明文與數(shù)字一一對(duì)應(yīng)得一數(shù)組1,0,19,19,11,4,14,13,19,2 0按3個(gè)數(shù)一組劃分為5個(gè)3維向量1=(1,0,19)2=(19,11,13,4,0,4)19) 18)24)3=(14,4=(20,5=(3,并把分組所得向量?jī)蓛勺魍夥e。首先對(duì)1與2作外積.把2作坐標(biāo)向量旋轉(zhuǎn)，得一個(gè)與1垂直的向量，即1=(1,0,1,19)，2=(19,11,4).令1=2+x1-10使得 14)1即可，取1=(0,0)，顯然11，此時(shí)x1=(-19,記1顯然有1=11=(19,0,-1)，則1,1,1兩兩垂直且構(gòu)成右手系，=m1(11)

8、(其中m1為整數(shù)),且可解得m1=1其次對(duì)3與4作外積.把4作坐標(biāo)向量旋轉(zhuǎn)，得一個(gè)與3垂直的向量，即3=(14，13，19)2=(-13,14，4=(20，418).令2=4+2使得 210,-18)3即可， 取0)，顯然23，此時(shí)x2=(-33,247,記2顯然有3=23=(266,=m2(22)365)，則2,2,3兩兩垂直且構(gòu)成右手系，=365 -3310-18(其中m2為整數(shù)),且可解得m21911 4-19-10-4190-1204182662473653024根據(jù)加密過(guò)程可得密文矩陣其中密文矩陣的行數(shù)為3（即向量的維數(shù)），列數(shù)不定（由分組所得三維向量的個(gè)數(shù)確定），矩陣中的第一列為分

9、組后的第二個(gè)向量2；第二列為向量2進(jìn)行坐標(biāo)向量旋轉(zhuǎn)的向量x1；第三列為1與1的外積1；依次排列第四、五、六列分別為4，x2，2；最后一列為分組后的最后一個(gè)向量5。當(dāng)密文矩陣的列數(shù)不能被3整除時(shí)，說(shuō)明分組所得三維向量的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，且密文矩陣的最后一列必為原明文分組后的最后一個(gè)向量。密鑰為向量(1,365,0)，其中第一個(gè)分量是m1（即1是11的m1倍，），第二個(gè)分量是m2（即3是22的m2倍，），第三個(gè)分量表示原明文的字母?jìng)€(gè)數(shù)不能被3整除時(shí)所添零的個(gè)數(shù).3.2 解密根據(jù)加密的過(guò)程，對(duì)例1的解密過(guò)程如下，解密人收到密文矩陣19 11 4-19-10-4190-120418-3310-182662

10、473653024與密鑰向量(1,365,0)時(shí)由加密的過(guò)程便可知密文矩陣的各列依分為2=(19,11,4,4)，x1=(-19,18)，x2=(-33,-10,10,4)，1=(19,0,-1)， 247,365)，4=(20,-18)，2=(266,且m1=1,m2=365.又密鑰中第三個(gè)分量為0，于是原明文字母?jìng)€(gè)數(shù)可以被3整除，且由密文矩陣的列數(shù)可知原明文被分的向量組數(shù)為奇數(shù)。 由1算得1=(1,=2+x1，1=m1(11)0,19)與2=(19,11,與2=4+x2，3=m2(22)可計(jì)4)，于是根據(jù)1=(1,0,19)，2=(19,11,4)，3=(14,13,19)，4=(20,4,18)，5=(3,0,24)與原明文字母?jìng)€(gè)數(shù)可以被三整除，便可得原明文所對(duì)應(yīng)的數(shù)組為1,0,19,19,11,4,14,13,19,20,4,18,3,0,24.最后把該數(shù)組對(duì)應(yīng)到字母便可得原明文為 battle on Tuesday。4 結(jié)語(yǔ)通過(guò)學(xué)習(xí)矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用，該論文嘗試著利用向量的外積對(duì)消息進(jìn)行加密。利用矩陣進(jìn)行加密是信息編碼的技巧，雖然密碼學(xué)中運(yùn)用的矩陣知識(shí)簡(jiǎn)單，但由此可見(jiàn)矩陣作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，