矩陣特征值與特征向量的計(jì)算

1、第九章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算教學(xué)目的與要求:掌握用冪法和反冪法求矩陣特征值與特征向量的方法,了解 Jacobi 方法的適用范圍和使用方法。 重點(diǎn)和難點(diǎn):冪法和反冪法 教學(xué)內(nèi)容:§1 冪法和反冪法一、 冪法冪法的基本思想是給定初始向量 (00x , 由迭代公式 產(chǎn)生向量序列(1( (0,1, 2, +=L k k x Ax k (k x :上述向量稱為迭代向量。 (1(0(22(0( (0 =LLLLk k x Ax x A x x A x 于是由上式得(1 ( 1(01111( +k i u =nnk k k k i i i i i i x Ax A x A a u a 111

2、21112211+=+L k k k n n n a u a u a u設(shè) ,由 10a 1(2,3, , i i n >=L 得 11lim 0+=k i i i k a u ,于是 121lim 0+=k ni i i k i a u故只要 k 充分大,就有 (1111111121+=+nk k k i i i i 1x a u a u a u 因此, 可以近似作為與 (1 +k x 1相應(yīng)的特征向量。下面我們通過(guò)特征向量來(lái)計(jì)算特征值 1。用 ( k i x 表示 的第 i 個(gè)分量,由于( k x (1 1111(111( ( +k k i i k k i i x a x a u u

3、 ,所以 (11( (1,2, , +=L k i k ix i n x 上式這種由已知非零向量 及矩陣 (0x A 的乘冪 構(gòu)造向量序列 kA ( k x 用來(lái)計(jì)算矩陣 A 按模最大的 特征值 1與對(duì)應(yīng)的特征向量的方法稱為 冪法 。例 1 用冪法的規(guī)范運(yùn)算求矩陣 的按模最大的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。=1439A冪法的收斂速度取決于比值21,比值越小,收斂越快。反之,則很慢。此外,當(dāng)矩陣 A 無(wú) 個(gè)線性 無(wú)關(guān)的特征量時(shí),冪法收斂很慢,亦應(yīng)考慮改用其它方法。n 二、反冪法分析反設(shè) A 為 階非奇異矩陣, ×n n , u 為 A 的特征值與相應(yīng)的特征向量,即 =Au u ,由于,11=

4、A u u ,所以 1A 的特征值是 A 的特征值的倒數(shù)1,而相應(yīng)的特征向量不變。如果 A 的特征值的次序?yàn)?2n L ,則 1A 的特征值為11111L n n,因此,若對(duì)矩陣 1A 用冪法,即可計(jì)算出 1A 的按模最大的特征值n1,從而求得 A 的按模最小的特征值 n 。這就是反冪法的基本思想。因?yàn)榉磧绶ǖ膩?lái)源反冪法計(jì)算的主要步驟如下:1.對(duì) A 進(jìn)行三角分解 ; 2.求整數(shù) LU A =r ,使得 ( ( 1max , k k rii nk rxx=x, 計(jì)算 (=k k x y;3. 解方程組(1+=k k Lz yUxz 例 2 用反冪法求矩陣 的最接近 =7232133312A 1

5、3的特征值,并求相應(yīng)的特征向量。 §2 Jacobi方法Jacobi 方法的基本思想是:構(gòu)造特殊的正交矩陣序列,通過(guò)正交變換,使 A 的非零的非對(duì)角元素逐次 化成零 ,并且使得非對(duì)角元素的平方和減小。從而使該矩陣近似為對(duì)角矩陣,得到全部特征值和特征向 量。一、 矩陣的旋轉(zhuǎn)變換Jacobi 方法的關(guān)鍵是如何構(gòu)造正交矩陣?先分析簡(jiǎn)單例子。 對(duì)二階矩陣,只做依次正交變換,選擇適當(dāng)角 ,就可將 A 對(duì)角化。將這種思想推廣到 維情況,設(shè) n A 為 階實(shí)對(duì)稱矩陣,考慮 n nR 中平面旋轉(zhuǎn)變換矩陣11cos sin 1( 1sin cos 11ij V =O L M O M L O它是將 n

6、階單位陣中對(duì)角線上第 i 和第 j 個(gè)元換成 cos ,非對(duì)角元 和 分別換或 sin ij V ji V 和sin 而得到的,容易驗(yàn)證, ( ij V 是正交矩陣,若記 (1(1( T ij ij ijA V AV a = 則有 (122(122(1(1(1(1(1cos sin sin 2 sin cos sin 2 cos sin (, sin cos ii ii jj ij jj ii jj ij ik ki ik jk jk kj ik jk kl a a a a a a a a a a a a k i j a a a a a =+=+=+=+ (1(1(1(, , 1(sin 2c

7、os 22lk kl ij jk jj ii ij a a k l i j a a a a a =+如果 ,取 0ij a 使得 2tan 2(4ij ii jja a a =<則有 (1(10ij ji a a =,這樣,就得到一個(gè)使 A 中非零的非對(duì)角元素 變成零的正交相似變換。對(duì) 重復(fù)上述過(guò)程,可得 ,如此繼續(xù)下去,得到一個(gè)矩陣序列 =ij ji a a (1A (2A ( k A 。 可以證明由上述方法構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì) 變換后, 就會(huì)使非對(duì)角元的平方和嚴(yán)格單調(diào)遞減,而對(duì)角元的平方和單調(diào)遞增。(k A 二、 J acobi 方法通過(guò)一系列旋轉(zhuǎn)相似變換將 A 變成 (1+k A ,求

8、得 A 的全部特征值與特征向量的方法稱為 Jacobi 方法。計(jì)算過(guò)程如下:(1令 ; (2求整數(shù) (0, k k A =A j i , ,使得 (1, , maxk ij lml m n l ma =k a ; (3計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣 (4計(jì)算 ; (5計(jì)算 (1+k A(1(1 2( (k k lm l mE Aa +=, (令 =lk kl a A E 2(6若 (1( k E A+<,則 為特征值, 的各列為相應(yīng)的特征 向量;否則, 返回 2,重復(fù)上述過(guò)程。(1 (1 (11122, , , k k k nna a a +L +k (0(1( k Q V V V =L 1k +數(shù)值計(jì)算

9、方法教案 -第九章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算定理 1 設(shè) A 為 階實(shí)對(duì)稱陣,對(duì) n A 用經(jīng)典 Jacobi 方法得到序列 ( k A ,其中 (0=AA ,則( lim ( 0k k E A =例 3 用 Jacobi 方法求對(duì)稱矩陣 的全部特征值。=612152224A 小結(jié):1. 冪法的基本思想; 2. 冪法的應(yīng)用; 3. 反冪法的基本思想及應(yīng)用; 4. Jacobi方法作業(yè):習(xí)題 9第 1, 2, 3題§3 方法QR 教學(xué)目的與要求:掌握用 QR 方法求矩陣特征值與特征向量的方法。 重點(diǎn)和難點(diǎn):方法QR 教學(xué)內(nèi)容:QR 方法是計(jì)算一般中小型矩陣全部特征值與特征向量的最有效

10、的方法之一。它是以矩陣正交三角分解為基礎(chǔ)的一種變換方法。這里僅討論實(shí)矩陣,并假定矩陣非奇異。一、矩陣的 QR 分解定理 9.2 任一非奇異實(shí)矩陣都可以分解成一個(gè)正交矩陣 Q 和一個(gè)上三角矩陣 R 乘積,而且當(dāng) R 的對(duì) 角元素為正時(shí),分解是惟一的。對(duì)矩陣作 QR 分解的方法有多種,下面以 Schmit 正交化方法為例證明。 證明 設(shè) A 為 階非奇異實(shí)矩陣,將矩陣 n A 寫成分塊形式12=L n A a a a其中 ,因?yàn)?A 非奇異,所以 線性無(wú)關(guān)。=j a 12(, , , (1, 2, , j j nj a a a j n =L L 12L n a a a 取 111a a b =,

11、顯然 11222b b a a b ><=, 12b b , 取 222/=b b b , 則 12121, , 0=b b b b 。 一般地,取11, =k kk k i i b a a b b i /(2,3, , =L k kk b b b k n 數(shù)值計(jì)算方法教案 -第九章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算則向量組 正交,且 12, , , L n b b b 1(1, 2, , =L k b k n 。式(9-13可改寫成1111, , =+L k k k k k ka a b b a b b b b k 于是1211212121, , , , , , , , 0=L L L

12、 O Ln n n nna a b a b b A a a a b b b b b M QR =這就是用 Schmit 正交化方法對(duì)矩陣進(jìn)行 分解的過(guò)程。QR 二、基本 QR 方法基本 方法的思想是利用矩陣的 QR 分解,通過(guò)迭代格式QR, 2, 1(1(L =+k Q R AR Q A k k k kk k 將 化成相似的上三角陣(或分塊上三角陣 ,從而求出矩陣 (1=A A A 的全部特征值與特征向量。具體計(jì)算步驟為: 令 ,對(duì) 作 分解(1A=A (1A QR (111A Q R =令 (211A R Q =,作 分解QR (222A Q R = 重復(fù)上述過(guò)程,得迭代公式( (1(1,

13、2, k k kk k k A Q R k AR Q +=L 這樣可以得到矩陣序列 ( k A ,并且矩陣是相似矩陣。事實(shí)上:由 (111A Q R =可得 ,于是11Q A R =1(211111A R Q Q AQ =數(shù)值計(jì)算方法教案-第九章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算 即A (2 與 A 相似。同理可得， A (k A(k = 2,3,L ，故它們有相同的特征值。有上述方法構(gòu)造正交相似 矩陣的方法稱為基本 QR 方法。 在一定條件下， 矩陣序列 A( k 收斂于一個(gè)上三角陣或分塊上三角陣， 且對(duì)角塊為 1×1 矩陣或 2×2 矩陣，其中 1×1 矩陣對(duì)角元素

14、為 A 的實(shí)特征值，2×2 矩陣含有 A 的一對(duì)復(fù)特征值。特別地，如果 A 是實(shí) 對(duì)稱陣，則 A( k 收斂于對(duì)角矩陣。另外，當(dāng) K 充分大時(shí)， A 可以作為 A 的特征值的近似。 (k 的主對(duì)角元（或主對(duì)角子塊的特征值）就 5 2 5 1 1 0 3 2 的特征值。 例 5 用基本 QR 方法求矩陣 A = 0 2 2 3 1 2 0 0 解 令A(yù) (1 = A ，對(duì) A (1 作 QR 分解 A(1 = Q1 R1 0.9806 0.0377 0.1923 0.1038 5.0992 1.9612 5.4912 0.3922 0.1961 0.18804 0.8804 0.419

15、2 0.0000 2.0381 1.5852 2.5288 × = 0.0000 0.9813 2.5242 3.2736 0.1761 0.0740 0.0000 0.0000 0.0000 0.7822 0.3962 0.8989 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 然后，求得 A(2 = R1Q1 ，作 QR 分解 A(2 = Q2 R2 ，一直下去，得到 * * * 4.0000 1.8789 3.5910 * A12 = 1.3290 0.1211 * 1.0000 所以， A 的一個(gè)特征值為 4，一個(gè)特征值為 1 ，還有一對(duì)復(fù)特征值是方程 1.8789

16、 1.3290 2 3.5910 0.1211 =0 的根，即 2 1.8789 × 0.1211 1.3290 × ( 3.5910 = 0 ，得 1± 2i 。 事實(shí)上，矩陣 A 特征方程為 4 53 + 7 2 7 20 = 0 ，其特征值為 4,1 ， 1 ± 2i 。 小結(jié)：基本 QR 方法每次迭代都需作一次 QR 分解與矩陣乘法，計(jì)算量大，而且收斂速度慢。因此實(shí) 數(shù)值計(jì)算方法教案-第九章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算 際計(jì)算時(shí)，總是先用一系列相似變換將 A 化成擬上三角矩陣（稱為上Hessenberg矩陣） ，然后對(duì)此矩陣用基 本 QR 方法。

17、這樣可減少運(yùn)算量。下面介紹一種化 A 為相似的擬上三角陣的方法：Householder變換。 作業(yè)：習(xí)題 9 第 8，12 題 數(shù)值實(shí)驗(yàn)： 1 程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)： 求 A 的全部特征值、特征向量: EigensystemA 求 A 的數(shù)字特征值 EigenvaluseA 求 A 的特征向量組: EigenvectorsA 求 A 的特征多項(xiàng)式：DetA-x*IdentityMatrix3 ClearA,x A=1,2,1,-1,2,1,0,4,2; MatrixForm% EigenvaluesA EigenvectorsA; MatrixForm% DetA-x*IdentityMatrix

18、3 EigensystemA 2 1 0 2用冪法求矩陣 A = 0 2 1 按模最大特征值 1 和對(duì)應(yīng)的特征向量 x1 0 1 2 取初始向量 V0=(0.5,0.5,1.1T A=2,-1,0,0,2,-1,0,-1,2; MatrixForm% vx=0.5,0.5,1.1; Dovy=A.vx;Printk," ",vy," ",vy1/vx1," ", vy2/vx2;vx=vy/MaxAbsvy,k,1,15 EigensystemA 數(shù)值計(jì)算方法教案-第九章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算 2 1 0 用反冪法求矩陣 A = 0 2 1 按模最小特征值 1 和對(duì)應(yīng)的特征向量 x1 0 1 2 A=2,-1,0,0,2,-1,0,-1,2; MatrixForm% y=0,0,1.; Dox=LinearSolveA,y;Printk," y=x/MaxAbsx,k,1,20 EigensystemA ",x," ",y1/x1; 知識(shí)拓展及課題研究（適合研究生） ： 課題 1：利用極小值原理設(shè)計(jì)廣義特征值算法，并評(píng)價(jià)其數(shù)值性質(zhì) 課題 2：設(shè)