排列組合二項式遞推數(shù)列求通項常見

1、排列組合的常見題型及其解法 排列、組合的概念具有廣泛的實際意義，解決排列、組合問題，關鍵要搞清楚是否與元素的順序有關。復雜的排列、組合問題往往是對元素或位置進行限制，因此掌握一些基本的排列、組合問題的類型與解法對學好這部分知識很重要。一. 特殊元素（位置）用優(yōu)先法 把有限制條件的元素（位置）稱為特殊元素（位置），對于這類問題一般采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。 例1. 6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？ 分析：解有限制條件的元素（位置）這類問題常采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。 解法1：（元素分析法）因為甲不能站左右兩端，故第一步先讓甲排在左右兩端之間的任一位

2、置上，有種站法；第二步再讓其余的5人站在其他5個位置上，有種站法，故站法共有：480（種） 解法2：（位置分析法）因為左右兩端不站甲，故第一步先從甲以外的5個人中任選兩人站在左右兩端，有種；第二步再讓剩余的4個人（含甲）站在中間4個位置，有種，故站法共有：（種）二. 相鄰問題用捆綁法 對于要求某幾個元素必須排在一起的問題，可用“捆綁法”：即將這幾個元素看作一個整體，視為一個元素，與其他元素進行排列，然后相鄰元素內(nèi)部再進行排列。 例2. 5個男生和3個女生排成一排，3個女生必須排在一起，有多少種不同排法？ 解：把3個女生視為一個元素，與5個男生進行排列，共有種，然后女生內(nèi)部再進行排列，有種，所以

3、排法共有：（種）。三. 相離問題用插空法 元素相離（即不相鄰）問題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。 例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？ 解：先將其余4人排成一排，有種，再往4人之間及兩端的5個空位中讓甲、乙、丙插入，有種，所以排法共有：（種）四. 定序問題用除法 對于在排列中，當某些元素次序一定時，可用此法。解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調(diào)序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，則有種排列方法。 例4. 由數(shù)

4、字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有多少個？ 解：不考慮限制條件，組成的六位數(shù)有種，其中個位與十位上的數(shù)字一定，所以所求的六位數(shù)有： （個）五. 分排問題用直排法 對于把幾個元素分成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一成一排的方法求解。 例5. 9個人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？ 解：9個人可以在三排中隨意就坐，無其他限制條件，所以三排可以看作一排來處理，不同的坐標共有種。六. 復雜問題用排除法 對于某些比較復雜的或抽象的排列問題，可以采用轉(zhuǎn)化思想，從問題的反面去考慮，先求出無限制條件的方法種

5、數(shù)，然后去掉不符合條件的方法種數(shù)。在應用此法時要注意做到不重不漏。 例6. 四面體的頂點和各棱中點共有10個點，取其中4個不共面的點，則不同的取法共有（ ） A. 150種B. 147種C. 144種D. 141種 解：從10個點中任取4個點有種取法，其中4點共面的情況有三類。第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面內(nèi)，有種；第二類，取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個點共面，有3種。以上三類情況不合要求應減掉，所以不同的取法共有：（種）。七. 多元問題用分類法 按題目條件，把符合條件的排

6、列、組合問題分成互不重復的若干類，分別計算，最后計算總數(shù)。 例7. 已知直線中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。 解：設傾斜角為，由為銳角，得，即a，b異號。 （1）若c0，a，b各有3種取法，排除2個重復（，），故有：3×327（條）。 （2）若，a有3種取法，b有3種取法，而同時c還有4種取法，且其中任意兩條直線均不相同，故這樣的直線有：3×3×436（條）。 從而符合要求的直線共有：73643（條）八. 排列、組合綜合問題用先選后排的策略 處理排列、組合綜合性問題一般是先

7、選元素，后排列。 例8. 將4名教師分派到3所中學任教，每所中學至少1名教師，則不同的分派方案共有多少種？ 解：可分兩步進行：第一步先將4名教師分為三組（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（種），第二步將這三組教師分派到3種中學任教有種方法。由分步計數(shù)原理得不同的分派方案共有：（種）。因此共有36種方案。九. 隔板模型法 常用于解決整數(shù)分解型排列、組合的問題。 例9. 有10個三好學生名額，分配到6個班，每班至少1個名額，共有多少種不同的分配方案？ 解：6個班，可用5個隔板，將10個名額并排成一排，名額之間有9個空，將5個隔板插入9個空，每一種插法，對應一種分配方案，故方案有

8、：（種） 例說二項式定理的常見題型及解法二項式定理的問題相對較獨立，題型繁多，解法靈活且比較難掌握。二項式定理既是排列組合的直接應用，又與概率理論中的三大概率分布之一的二項分布有著密切聯(lián)系。二項式定理在每年的高考中基本上都有考到，題型多為選擇題，填空題，偶爾也會有大題出現(xiàn)。本文將針對高考試題中常見的二項式定理題目類型一一分析如下，希望能夠起到拋磚引玉的作用。一、求二項展開式1“”型的展開式例1求的展開式；解：原式= = = 小結(jié)：這類題目一般為容易題目，高考一般不會考到，但是題目解決過程中的這種“先化簡在展開”的思想在高考題目中會有體現(xiàn)的。2 “”型的展開式 例2求的展開式；分析：解決此題，只

9、需要把改寫成的形式然后按照二項展開式的格式展開即可。本題主要考察了學生的“問題轉(zhuǎn)化”能力。3二項式展開式的“逆用”例3計算；解：原式=小結(jié)：公式的變形應用，正逆應用，有利于深刻理解數(shù)學公式，把握公式本質(zhì)。二、通項公式的應用1確定二項式中的有關元素例4已知的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為 解： 令，即依題意，得，解得2確定二項展開式的常數(shù)項例5展開式中的常數(shù)項是 解： 令，即。 所以常數(shù)項是3求單一二項式指定冪的系數(shù)例6（03全國）展開式中的系數(shù)是 ；解：= 令則，從而可以得到的系數(shù)為： ，填三、求幾個二項式的和（積）的展開式中的條件項的系數(shù)例7的展開式中，的系數(shù)等于 解：的系數(shù)是四個二項展開式中

10、4個含的，則有 例8（02全國）的展開式中，項的系數(shù)是 ； 解：在展開式中，的來源有： 第一個因式中取出，則第二個因式必出，其系數(shù)為； 第一個因式中取出1，則第二個因式中必出，其系數(shù)為的系數(shù)應為：填。四、利用二項式定理的性質(zhì)解題1 求中間項例9求（的展開式的中間項；解：展開式的中間項為 即：。 當為奇數(shù)時，的展開式的中間項是和；當為偶數(shù)時，的展開式的中間項是。2 求有理項例10求的展開式中有理項共有 項；解：當時，所對應的項是有理項。故展開式中有理項有4項。 當一個代數(shù)式各個字母的指數(shù)都是整數(shù)時，那么這個代數(shù)式是有理式； 當一個代數(shù)式中各個字母的指數(shù)不都是整數(shù)（或說是不可約分數(shù)）時，那么這個代

11、數(shù)式是無理式。3 求系數(shù)最大或最小項（1） 特殊的系數(shù)最大或最小問題例11（00上海）在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)是 ；解：要使項的系數(shù)最小，則必為奇數(shù)，且使為最大，由此得，從而可知最小項的系數(shù)為（2） 一般的系數(shù)最大或最小問題 例12求展開式中系數(shù)最大的項； 解：記第項系數(shù)為，設第項系數(shù)最大，則有 又，那么有 即 解得，系數(shù)最大的項為第3項和第4項。（3） 系數(shù)絕對值最大的項例13在（的展開式中，系數(shù)絕對值最大項是 ；解：求系數(shù)絕對最大問題都可以將“”型轉(zhuǎn)化為型來處理，故此答案為第4項，和第5項。五、利用“賦值法”求部分項系數(shù)，二項式系數(shù)和 例14若， 則的值為 ； 解： 令，有，

12、 令，有 故原式= =在用“賦值法”求值時，要找準待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系，一般而言：特殊值在解題過程中考慮的比較多。 例15設， 則 ；分析：解題過程分兩步走；第一步確定所給絕對值符號內(nèi)的數(shù)的符號；第二步是用賦值法求的化簡后的代數(shù)式的值。 解： =0六、利用二項式定理求近似值 例16求的近似值，使誤差小于； 分析：因為=，故可以用二項式定理展開計算。 解：= ， 且第3項以后的絕對值都小于， 從第3項起，以后的項都可以忽略不計。 =小結(jié)：由，當?shù)慕^對值與1相比很小且很大時，等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計，因此可以用近似計算公式：，在使用這個公式時，要注意按問題對精

13、確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：。 利用二項式定理求近似值在近幾年的高考沒有出現(xiàn)題目，但是按照新課標要求，對高中學生的計算能力是有一定的要求，其中比較重要的一個能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二項式定理來求近似值。七、利用二項式定理證明整除問題 例17求證：能被7整除。 證明： = = =49P+（） 又 =（7+1） = =7Q（Q） 能被7整除。在利用二項式定理處理整除問題時，要巧妙地將非標準的二項式問題化歸到二項式定理的情境上來，變形要有一定的目的性，要湊 出相關的因數(shù)。 遞推數(shù)列求通項題型分類歸納解析類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

14、，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即 所以， 類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例3:已知， ，求。解： 。 變式:（2004，全國I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項 解：由已知，得，用此式減去已知式，得當時，即，又，將以上n個式子相乘，得 類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中，求.解：設遞推公式可以

15、轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_（key:） 類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例5:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解 (特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；

16、當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。例6: 數(shù)列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是 故練習:已知數(shù)列中，,，求。變式:（2006，福建,文,22）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式；（I）解： 類型6 遞推公式為與的關系式。(或)解法：利用與消去 或與消去進行求解。例7：數(shù)列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以類型7 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例8：已知數(shù)列中，求數(shù)列解：由兩邊取對數(shù)得