排列組合典型例題

1、排列組合典型例題排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣,但題型多樣,思路靈活,因此解決排 列組合問題,首先要認真審題,弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組 合綜合問題;其次要抓住問題的本質(zhì)特征,采用合理恰當?shù)姆椒▉硖幚?。教學目標1. 進一步理解和應用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理。2. 掌握解決排列組合問題的常用策略 ; 能運用解題策略解決簡單的綜合應用 題。提高學生解決問題分析問題的能力3. 學會應用數(shù)學思想和方法解決排列組合問題 .復習鞏固1. 分類計數(shù)原理 (加法原理 完成一件事,有 n 類辦法,在第 1類辦法中有1m 種不同的方法,在第 2類 辦法中有2m 種不同的方法,在第 n 類辦法中有 n

2、m 種不同的方法,那么 完成這件事共有: 種不同的方法.2. 分步計數(shù)原理(乘法原理完成一件事,需要分成 n 個步驟,做第 1步有1m 種不同的方法,做第 2步 有2m 種不同的方法,做第 n 步有 n m 種不同的方法,那么完成這件事共 有: 種不同的方法.3. 分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立,任何一種方法都可以獨立地完成這件事。 分步計數(shù)原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一個階段,不能完 成整個事件.解決排列組合綜合性問題的一般過程如下 :1. 認真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事 , 即采取分步還是分類 , 或是分步與分類同時 進行 , 確定分

3、多少步及多少類。3. 確定每一步或每一類是排列問題 (有序 還是組合 (無序 問題 , 元素總數(shù)是 多少及取出多少個元素 .4. 解決排列組合綜合性問題,往往類與步交叉,因此必須掌握一些常用的解 題策略一 . 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù) .解 :由于末位和首位有特殊要求 , 應該優(yōu)先安排 , 兩個位置 .先排末位共有 13C然后排首位共有 14C 最后排其它位置共有 34A由分步計數(shù)原理得 113434288C C A = 練習題 :7種不同的花種在排成一列的花盆里 , 若兩種葵花不種在中間,也不種在兩端的花盆里,問有多少不

4、同的種法?二 . 相鄰元素捆綁策略例 2. 7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰 , 共有多少種不同的排法 . 解:可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素,同時丙丁也看成一個復合元素,再與其它元素進行排列,同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。 由分步計數(shù)原理可得共有 522522480A A A =種不同的排法 練習題 :某人射擊 8槍, 命中 4槍, 4槍命中恰好有 3槍連在一起的情形的不 同種數(shù)為 20三 . 不相鄰問題插空策略例 3. 一個晚會的節(jié)目有 4個舞蹈 ,2個相聲 ,3個獨唱 , 舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場 ,則節(jié)目的出場順序有多少種?解 :分兩步進行第一步排 2個相聲和 3個獨唱共有

5、 55A 種,第二步將 4舞蹈插入第一步排好的 6個元素中間包含首尾兩個空位共有種 46A 不同的方法 ,由分步計數(shù)原理 , 節(jié)目的不同順序共有 5456A A 練習題:某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩 個新節(jié)目 . 如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中,且兩個新節(jié)目不相鄰, 那么不同插法的種數(shù)為 30 四 . 定序問題倍縮空位插入策略例 4.7人排隊 , 其中甲乙丙 3人順序一定共有多少不同的排法解 :(倍縮法 對于某幾個元素順序一定的排列問題 , 可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列 , 然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù) , 則共有不同排法種數(shù)是:737

6、3/A A(空位法 設想有 7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 47A 種方法,其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法,則共有 47A 種方法。思考 :可以先讓甲乙丙就坐嗎 ?(插入法 先排甲乙丙三個人 , 共有 1種排法 , 再把其余 4四人依次插入共 有 方法 練習題 :10人身高各不相等 , 排成前后排,每排 5人 , 要求從左至右身高逐漸 增加,共有多少排法?510C五 . 重排問題求冪策略例 5. 把 6名實習生分配到 7個車間實習 , 共有多少種不同的分法解 :完成此事共分六步 :把第一名實習生分配到車間有 7 種分法 . 把第二名 實習生分配到車間也有 7種分依此類推 , 由分步計

7、數(shù)原理共有 67種不同的 排法練習題:1. 某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單, 開演前又增加了兩個 新節(jié)目 . 如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為 42 2. 某 8層大樓一樓電梯上來 8名乘客人 , 他們到各自的一層下電梯 , 下電梯 的方法 87六 . 環(huán)排問題線排策略例 6. 8人圍桌而坐 , 共有多少種坐法 ?解:圍桌而坐與坐成一排的不同點在于,坐成圓形沒有首尾之分,所以固定一人 44A 并從此位置把圓形展成直線其余 7人共有(8-1 !種排法即 7! A B C D E A E H G F允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象,元素不受位置的約束,可以

8、逐一安排各個元素 的位置,一般地 n 不同的元素沒有限制地安排在 m 個位置上的排列數(shù)為 n m 種一般地 ,n 個不同元素作圓形排列 , 共有 (n-1!種排法 . 如果從 n 個不同元素中取出 m 個元素作圓 形排列共有1m n A n練習題:6顆顏色不同的鉆石,可穿成幾種鉆石圈 120 七 . 多排問題直排策略例 7.8人排成前后兩排 , 每排 4人 , 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法 解 :8人排前后兩排 , 相當于 8人坐 8把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 個特殊元素有 24A 種 , 再排后 4個位置上的特殊元素丙有 14A 種 , 其余的 5人在 5個位置上任

9、意排列有 55A 種 , 則共有 215445A A A 種 練習題:有兩排座位,前排 11個座位,后排 12個座位,現(xiàn)安排 2人就座規(guī)定前排中間的 3個座位不能坐,并且這 2人不左右相鄰,那么不同 排法的種數(shù)是 346八 . 排列組合混合問題先選后排策略例 8. 有 5個不同的小球 , 裝入 4個不同的盒內(nèi) , 每盒至少裝一個球 , 共有多少 不同的裝法 .解 :第一步從 5個球中選出 2個組成復合元共有 25C 種方法 . 再把 4個元素(包含一個復合元素 裝入 4個不同的盒內(nèi)有 44A 種方法, 根據(jù)分步計數(shù) 原理裝球的方法共有 2454C A 練習題:一個班有 6名戰(zhàn)士 , 其中正副班

10、長各 1人現(xiàn)從中選 4人完成四種不同的任務 , 每人完成一種任務 , 且正副班長有且只有 1人參加 , 則不同 的選法有 192 種九 . 小集團問題先整體后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾 1, 5在兩個奇數(shù)之間 , 這樣的五位數(shù)有多少個?解:把1, 5, 2, 4當作一個小集團與3排隊共有 22A 種排法,再排小集團 內(nèi)部共有 2222A A 種排法,由分步計數(shù)原理共有 222222A A A 種排法 . 練習題:1. 計劃展出 10幅不同的畫 , 其中 1幅水彩畫 , 4幅油畫 , 5幅國畫 , 排成一一般地 , 元素分成多排的排列問題

11、, 可歸結為一排考慮 , 再分段研小集團排列問題中,先整體后局部,再結合其它策略進行處理。行陳列 , 要求同一 品種的必須連在一起,并且水彩畫不在兩端,那么共有陳列方式的種數(shù)為 254254A A A2. 5男生和5女生站成一排照像 , 男生相鄰 , 女生也相鄰的排法有 255255A A A 種十 . 元素相同問題隔板策略 例 10. 有 10個運動員名額, 分給 7個班, 每班至少一個 , 有多少種分配方案? 解:因為 10個名額沒有差別,把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板,可把名額分成7份,對 應地分給7個班級,每一種插板方法對應一種分法共有 69C

12、 種分法。 二 班 三班六 班 七 班練習題:1. 10個相同的球裝 5個盒中 , 每盒至少一有多少裝法? 49C2 .100x y z w +=求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 3103C 十一 . 正難則反總體淘汰策略例 11. 從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù),使其和為不小于 10的偶數(shù) , 不同的 取法有多少種?解:這問題中如果直接求不小于 10的偶數(shù)很困難 , 可用總體淘汰法。這 十個數(shù)字中有 5個偶數(shù) 5個奇數(shù) , 所取的三個數(shù)含有 3個偶數(shù)的取法有 35C ,只含有 1個偶數(shù)的取法有 1255C C , 和為偶數(shù)的取法共有 123555C C C +。

13、再淘汰和 小于 10的偶數(shù)共 9種,符合條件的取法共有 1235559C C C +-練習題:我們班里有 43位同學 , 從中任抽 5人 , 正、副班長、團支部書記至 少有一人在內(nèi)的抽法有多少種 ?十二 . 平均分組問題除法策略例 12. 6本不同的書平均分成 3堆 , 每堆 2本共有多少分法?將 n 個相同的元素分成 m 份(n , m 為正整數(shù) , 每份至少一個元素 , 可以用 m-1塊隔板, 插入 n 個元素排成一排的 n-1個空隙中,所有分法數(shù)為 11m n C - 有些排列組合問題 , 正面直接考慮比較復雜 , 而它的反面往往比較簡捷 , 可以先求出它的反面 , 再從整體中淘汰 .解

14、 : 分三步取書得 222642C C C 種方法 , 但這里出現(xiàn)重復計數(shù)的現(xiàn)象 , 不妨記 6本書為 ABCDEF ,若第一步取 AB, 第二步取 CD, 第三步取 EF 該分法記為 (AB,CD,EF,則 222642C C C 中 還 有 (AB,EF,CD,(CD,AB,EF,(CD,EF,AB(EF,CD,AB,(EF,AB,CD共有 33A 種取法 ,而這些分法僅是 (AB,CD,EF一種分法 , 故共有 22236423/C C C A 種 分法。練習題:1 將 13個球隊分成 3組 , 一組 5個隊 , 其它兩組 4個隊 , 有多少分法?(544213842/C C C A 2

15、.10名學生分成 3組 , 其中一組 4人 , 另兩組 3人但正副班長不能分在同一 組 , 有多少種不同的 分組方法 (15403. 某校高二年級共有六個班級,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入 4名學生,要安排到該年級 的兩個班級且每班安排 2名,則不同的安排方案種數(shù)為 _(22224262/90C C A A = 十三 . 合理分類與分步策略例 13. 在一次演唱會上共 10名演員 , 其中 8人能能唱歌 ,5人會跳舞 , 現(xiàn)要演出一個 2人唱歌 2人伴舞的節(jié)目 , 有多少選派方法解:10演員中有 5人只會唱歌, 2人只會跳舞 3人為全能演員。選上唱 歌人員為標準進行研究只會唱的 5人中沒有人選上唱歌人員共有

16、 2233C C 種 , 只會唱的 5人中只有 1人選上唱歌人員 112534C C C 種 , 只會唱的 5人中只有 2人選上唱歌人員有 2255C C 種,由分類計數(shù)原理共有22112223353455C C C C C C C +種。練習題:1. 從 4名男生和 3名女生中選出 4人參加某個座 談會, 若這 4人中必須 既有男生又有女生,則不同的選法共有 342. 3成人 2小孩乘船游玩 ,1號船最多乘 3人 , 2號船最多乘 2人 ,3號船只 能乘 1人 , 他們?nèi)芜x 2只船或 3只船 , 但小孩不能單獨乘一只船 , 這 3人共平均分成的組 , 不管它們的順序如何 , 都是一種情況 ,

17、 所以分組后要一定要除以 n n A (n 為均分的 組數(shù) 避免重復計數(shù)。 解含有約束條件的排列組合問題, 可按元素的性質(zhì)進行分類, 按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步, 做 到標準明確。分步層次清楚,不重不漏,分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。有多少乘船方法 . (27 本題還有如下分類標準:*以 3個全能演員是否選上唱歌人員為標準 *以 3個全能演員是否選上跳舞人員為標準 *以只會跳舞的 2人是否選上跳舞人員為標準 都可經(jīng)得到正確結果 十四 . 構造模型策略例 14. 馬路上有編號為 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈 , 現(xiàn)要關掉其中的 3盞 , 但不能關掉相鄰的 2盞或 3盞 ,

18、 也不能關掉兩端的 2盞 , 求滿足條 件的關燈方法有多少種?解:把此問題當作一個排隊模型在 6盞亮燈的 5個空隙中插入 3個不亮的燈 有 35C 種練習題:某排共有 10個座位,若 4人就坐,每人左右兩邊都有空位,那么 不同的坐法有多少種?(120 十五 . 實際操作窮舉策略例 15. 設有編號 1,2,3,4,5的五個球和編號 1,2,3,4,5的五個盒子 , 現(xiàn)將 5個球投入這五個盒子內(nèi) , 要求每個盒子放一個球, 并且恰好有兩個球的編 號與盒子的編號相同 , 有多少投法 解:從 5個球中取出 2個與盒子對號有 25C 種還剩下 3球 3盒序號不能對應,利用實際操作法,如果剩下 3,4,

19、5號球 , 3,4,5號盒 3號球裝 4號盒時,則 4,5號球有只有 1種裝法,同理 3號球裝 5號盒時 ,4,5號球 有也只有 1種裝法 , 由分步計數(shù)原理有 252C 種 3號盒 4號盒 5號盒練習題:1. 同一寢室 4人 , 每人寫一張賀年卡集中起來 , 然后每人各拿一張別人的賀年 卡,則四張賀年卡不同的分配方式有多少種? (92. 給圖中區(qū)域涂色 , 要求相鄰區(qū) 域不同色 , 現(xiàn)有 4種可選顏色 , 則不同的著色 方法有 72種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型, 如占位填空模型, 排隊模型, 裝盒 模型等,可使問題直觀解決 對于條件比較復雜的排列組合問題,不易用公式進

20、行運算,往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收 到意想不到的結果54321十六 . 分解與合成策略例 16. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析:先把 30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13依題意可知偶因數(shù)必先取 2, 再從其余 5個因數(shù)中任取若干個組成乘積,所有的偶因數(shù)為:1234555555C C C C C + 練習 :正方體的 8個頂點可連成多少對異面直線解:我們先從 8個頂點中任取 4個頂點構成四體共有體共 481258C -=, 每個四面體有 十七 . 化歸策略 例 17. 25人排成 5

21、5;5方陣 , 現(xiàn)從中選 3人 , 要求 3人不在同一行也不在同一 列 , 不同的選法有多少種? 解:將這個問題退化成 9人排成 3×3方陣 , 現(xiàn)從中選 3人 , 要求 3人不 在同一行也不在同一列 , 有多少選法 . 這樣每行必有 1人從其中的一 行中選取 1人后 , 把這人所在的行列都劃掉, 如此繼續(xù)下去 . 從 3×31115練習題 :某城市的街區(qū)由 12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路, 從 A 走到 B 的最短路徑有多少種? (3735C = BA十八 . 數(shù)字排序問題查字典策略例 18.由 0, 1, 2, 3, 4, 5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復的比 324105大的數(shù)?解 :297221122334455=+=AAAAAN練習 :用 0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復的四位偶數(shù) , 將這些數(shù)字從 小到大排列起來 , 第 71個數(shù)是 3140十九 . 樹圖策略例 19. 3人相互傳球 , 由甲開始發(fā)球 , 并作為第一次傳球 , 經(jīng)過 5次傳求后 , 球 仍回到甲的手中 , 則