近世代數(shù)期末考試試卷及答案(正)

1、近世代數(shù)期末考試試卷及答案（正）近世代數(shù)模擬試題一一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個 備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、 多選或未選均無分。1、設(shè)G有6個元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集(C )是子群。33A a B、a,e C、e，a D、e,a,a2、下面的代數(shù)系統(tǒng)(G *)中，()不是群A、G為整數(shù)集合，*為加法B 、G為偶數(shù)集合，*為加法G G為有理數(shù)集合，*為加法 D 、G為有理數(shù)集合，*為乘法3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運算是可結(jié)合的？()A a*b=a-b B a*b=maxa,b C、a*b=a+2b

2、 D 、a*b=|a-b|4、設(shè) 1、2、 3是三個置換，其中 1= (12)(23)(13),2= (24)(14), 3 =(1324),則 3=().22A 1 B 、1 2 C、2 D、2 15、任意一個具有2個或以上元的半群，它()。A、不可能是群B、不一定是群G 一定是群D是交換群二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上 正確答案。錯填、不填均無分。1、凱萊定理說：任一個子群都同一個-變換群- 同構(gòu)。2、一個有單位元的無零因子的-交換環(huán)一稱為整環(huán)。43、已知群G中的兀素a的階等于50,則a的階等于-25-。4、a的階若是一個有限整數(shù)n,那么G與-模n

3、乘余類加群-同構(gòu)。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AH B=-2-。6、若映射 既是單射又是滿射，則稱為-一一映射。7、叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的-不都等于零的元-a°,a1, ,an使得 a0 a1an n°。8、。是代數(shù)系統(tǒng)（40）的元素，對任何力均成立.= 則稱。為-右單位9、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果滿足G對于乘法封閉；結(jié)合律成立、一-消去律成立O10、一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是一交換環(huán) 三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分） 1、設(shè)集合A=1,2,3G是A上的置換群，H是G的子群，H=

4、I, （1 2）,寫出H 的所有陪集。解：H 的 3個右陪集為：I, (1 2), (1 2 3), (1 3), (1 3 2 ), (2 3 )H 的 3 個左陪集為：I, (1 2) , (1 2 3 ), (2 3), (1 3 2), (1 3 )2、設(shè)E是所有偶數(shù)做成的集合，是數(shù)的乘法，則是E中的運算，（E, ）是一個代數(shù) 系統(tǒng)，問（E,）是不是群，為什么？ 答：（E, ）不是群，因為（E, ）中無單位元。3、a=493, b=391,求（a, b）, a, b和 p, q。解：方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式： a=b+102 b=3X 102+85102=1X85+17由此得到(

5、a,b)=17, a, b=aXb/17=11339o然后回代：17=102-85=102-(b-3 X102) =4X 102-b=4X (a-b) -b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、若3, *是群，則對于任意的a、b£G,必有惟一的x£G使得a*x=b。證明：設(shè)e是群G, *的幺元。令*=l*b,貝！Ja*x=a*（al*b) = (a*al)*b=e*b=bo 所以，x=al*b 是 a*x=b 的解。若 x 6 G也是 a*x = b 的解，則 x = e*x = (a 1*a)*x

6、= a 1*(a*x )=a1*b = x。所以，x = a1*b 是 a*x = b 的惟一解2、設(shè)m是一個正整數(shù)，利用 m定義整數(shù)集Z上的二元關(guān)系：a? b當且僅當m| a - b 0證明：容易證明這樣的關(guān)系是 Z上的一個等價關(guān)系，把這樣定義 的等價類集合Z記為Zm每個整數(shù)a所在的等彳介類記為a= x6Z; ml x- a或者也可記為a,稱之為模m剩余類。若m| a- b也記為a三 b(m)。當m=2時，Z2僅含2個元：0與1。近世代數(shù)模擬試題二一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個 備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、

7、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是()。A、2階B、3階 C、4階 D6階2、設(shè)G是群，G有()個元素，則不能肯定 G是交換群。A 4個 B 、5個 C 、6個 D 、7個3、有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于()。A、偶數(shù) R奇數(shù) C、4的倍數(shù) D、2的正整數(shù)次幕4、下列哪個偏序集構(gòu)成有界格()A (N, )B、(Z,)G (2,3,4,6,12,|(整除關(guān)系)D、(P(A),)5、設(shè) S3= (1) , (12) , (13) , (23) , (123) , (132)，那么,在 S3 中可以與(123) 交換的所有元素有()A (1) , (123) , (132) B

8、、12) , (13) , (23)G (1) , (123)、S3中的所有元素二、填空題（本大題共10小題，每空3分，共30分）請在每小題的空格中填上 正確答案。錯填、不填均無分。1、群的單位元是-唯一-的，每個元素的逆元素是-唯一-的。2、如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則f 1 f a -a。3、區(qū)間1 , 2上的運算a b min a,b的單位元是-2。4、可換群 G中間=6,|x|=8,則|ax|= 24。5、環(huán)Z8的零因子有24后 。6、一個子群H的右、左陪集的個數(shù)-相等。7、從同構(gòu)的觀點，每個群只能同構(gòu)于他/它自己的一商群-。8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階

9、數(shù)稱為R的-特征。9、設(shè)群G中元素a的階為m ,如果an e ,那么m與n存在整除關(guān)系為mnI 0三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？解：在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只 1種，四白一黑1種，三白二黑2 種，等等，可得總共8種。2、Si, &是A的子環(huán)，則Si A&也是子環(huán)。S+S2也是子環(huán)嗎？證：由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b S1n S2有a-b, ab e sipS2:因為 S1, S2 是 A 的子環(huán)，故 a-b, ab CS1 和 a-b, ab CS2 ,因而a-b, ab CS1AS2，所以S1AS2是子環(huán)。S1+S2一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：；,.小2卜=1:.必C，曷見瓦與跖均為子環(huán).但瓦-跖=：:卜危。仁Z卜是子環(huán)3、設(shè)有置換(1345)(1245)(234)(456) S601 .求 和.、_12,確定置換 和的奇偶性。-1-(1243)(56)(16524).52,兩個都是偶置換四、證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。證明：假定 是R的一個理想而 不是零理想，那么a 0,由理想的定義1a a