九年級數(shù)學上冊專題突破講練構(gòu)造相似三角形解題試題(新版)青島版

1、1.圖構(gòu)造相似三角形解題重點難點品錯點點點帶漁】構(gòu)造相似三角形的基本方法由平行得相似，如圖和;2.3.例題如圖所示,A. 1 ： 1 ： 1真盤難量名校需四邊形 ABC市B. 1 ： 2 ：也題整典】BEFG勻為正方形貝U AG： DF： C& (D. 1 ：爪：1由同角或等角得相似，如圖；由垂直得相似，如圖。（如等腰三角形、平行四邊形、方法歸納：在較為復雜的圖形中， 我們一般通過特殊圖形 圓等）的邊或角構(gòu)造相似三角形，如需添加輔助線，應(yīng)考慮添加輔助線后能構(gòu)成相等的角或 比例線段，如：過中點（或等分點）作平行線，過某點作平行或垂直等?？偨Y(jié)：1 .學會構(gòu)造相似三角形的方法和技巧，能熟練地

2、將邊和角劃分到相關(guān)的相似三角形中。2 .能夠綜合運用相似三角形的判定和性質(zhì)解決較為復雜的問題。解析：不難證明AB0 ACBtE所以 AG= CE那么，本題只要求 AG： DF即可。要求 AG和DF的比需要構(gòu)造一個含有這兩條線段的相似三角形，并且這對相似三角形的相似比要能求出來。在正方形中，邊長和對角線的比是可求的，所以本題可試著連接BF和BD通過三角形相似來求解。答案：連接 BF、BD 因為/ABG= /ABE- / EBG= /ABE- 90° , / CBE= /ABE-/ABC= /ABE- 90° 。所以/ ABG= / CB E,又 AB= BC, BG= BE,

3、所以 AB® ACBtE 所以 AG= CE 因為 / DBF= /ABE-/ABD-/ EBF= /ABE- 45° 45° = Z ABE- 90° ,所以/ DBF= ZABG又因為所有正方形都相似，所以這兩個正方形的對角線的比BD： BF、邊長的比AB ：BG都等于這兩個正方形的相似比，即 BD： BF= AB： BG所以 AB： BD= BG ： BF,所以 AB*ADBf 所以 AG： DF= BG： BF=1 ：啦。所以 AG： DF： CE= 1 ：/：1。故選 D=點撥：本題難度大，特別是確定AG和DF的關(guān)系是一大難點。解答這類難題，我

4、們束手 無策時，一定要展開聯(lián)想，尋找問題的突破口。如：線段的比往往要通過相似形來求；四邊正方形邊長和對形常常要連接對角線；兩個正方形變換形成的三角形中可能有全等三角形; 角線的比是1 ：寸2。廚紛r拓展總結(jié)*提升薪分必讀利用相似三角形求線段的比例關(guān)系時，有些題目根本無法將所求線段構(gòu)造成相似三角形的對應(yīng)線段，此類問題通常用如下的方法過渡：再構(gòu)造一個與之相似的三角形，利用相似三角形的傳遞性解題；把不能劃分到相關(guān)相似三角形中的線段進行等量代換等。例題 如圖，在正方形 ABCD43,對角線AC與BD相交于點 Q點E是BC上的一個動點，連接DE,交AC于點F。(1), CE 1 , $ CEF,如圖，當

5、前=可時，求的值;EB 3SA CDF(2)如圖，當 DE平分/CDB時，求證：AF= 420A1(3)如圖，當點 E是BC的中點時，過點 F作FGLBC于點G,求證：CG= qBG,國 圖2 國解析：(1)利用相似三角形的性質(zhì)求得 EF與DF的比值，因為 CEF和4CDF同高，所以其面積的比就是 EF與DF的比值；(2)利用三角形的外角和定理證得/ ADF= / AFD 可以 證彳導AD= AF,在直角4A0D中，利用勾股定理可求得 AD= 1120A從而得出 AF= J20A； (3) 連接0E易證0E是4BCD的中位線，然后根據(jù) FGC是等腰直角三角形，易證 EGM ECD利用相似三角形

6、的對應(yīng)邊的比相等即可得證。 CE 1 CE 1答案：(1)解：: 生=三，三;=了。二四邊形 ABCD是正萬形，. AD/ BC AD= BC,EB 3 BC 4.CES AADfEF_CEDF= AUEF CE 1Sb cef EF 1DF= BCT 4' Scdf= DF= 4(2)證明： DE平分/CDB0DF= Z CDF又AC BD是正方形 ABCD勺對角線。，/AD0= /FCD= 45° , / A0D= 90° , 0A= 0D 而/ ADF= / ADG / 0DF / AFD= / FCD 十 /CDF，/ADF= /AFD . - AD= AF

7、,在直角4A0D中，根據(jù)勾股定理得： AD=寸0大+ 0D =20A 1- AF= 20A(3)證明：連接 0E 丁點0是正方形 ABCD勺對角線AG BD的交點。，點 0是BD的1中點。又；.點 E是 BC的中點，OE是4BCD的中位線，OE/ CD OE= -CD .-.OFtEACFtDEF OE 1 EF 1 一GF EF 1，加=后2，-ED)= 3。/ FGLBC CDLBC . FG/ CD .EGS ECD 黃奇3。在直角 FGC 中，. / GCF= 45° , . .C& GF,又CD= BC, .票CG= 2，CG=，CGCD BC 3 BG 21 -

8、=2BG醫(yī)點撥：本題是勾股定理、三角形的中位線定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng) 用，理解正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵。工即字即劇肌固提升】（答題時間：45分鐘）一、選擇題*1.如圖所示, 的面積之比為（A. 1 ： 2已知 AD/ EF/ BC 若 AD： )B. 1 ： 3EF： BC= 1 ： 2 ： 4,貝U梯形 AEFD與梯形 EBCFD. 2 ： 3*2.如圖，正方形= 135°ABCD勺邊長為AMCN勺面積為（1, M N為BD所在直線上的兩點，且 AM= ® M MAN ）A.C.B. 2D. 3已知在平行四邊形*3.Q兩點,如圖所示,貝U AP： PQ： QC

9、=()ABC邛,M N為AB的三等分點，DM DN交AC于P、A. 1 ： 1 ： 3B. 3 ： 2 ： 5C. 5 ： 3 ： 12D. 5 ： 4 ： 10*4A.481360B.13D.7013C. 5如圖所示，四邊形 ABCD一個矢I形，AD= 12、AB= 5, P是AD上任意一點，PH BD于點E, PH AC于點Fo則P曰PF=()二、填空題5.如圖，在等邊 ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且/ ADE= 60° , BD= 3, CE= 2,則 ABC的邊長為 。點F在AC上，連接EF,OE,* 6.如圖，在 ABC中，AB= AC= 13, BC=

10、10, D是AB的中點，過點 D作DE! AC于點則DE的長是* 7.如圖， ABC中，AB= 9, AEF與4ABC相似，則 AF= E、* *8.如圖所示，點C在線段BG上且四邊形 ABCD正方形，AG與BD CD分別相交于點F,如果 AE= 5且-EF= 3,那么FG=三、解答題9.如圖所示，在 ABC中，AB= AC D是4ABC的外接圓的 位上任一點，連接 AR BD 求證:BE AEbdT Abo*10.如圖所示，4ABC中，AD平分/ BAC AD的垂直平分線 FE交BC的延長線于點 E。求 證：dU=be- ce=*11. 如圖所示，在 ABC中，/ BAC= 90°

11、 , AD! BC E是AC的中點，ED交AB的延長線于點F。求證:AB DF-= OAC AF*12.如圖所示，F(xiàn)為正方形 ABCD勺邊AB的中點，E為AD上的一點，AE= 1AD, FGL CE4于點G求證：Fd=E(G- CGD1. C 解析：延長 BA C四于點O,則。人以O(shè)ES OBC設(shè)$ oa尸s,則$ oef= 4s,S>A OBC=2. C=龍2，16s,所以S梯形AEFD： S梯形EBC尸 3S： 12S= 1 ： 4。.ME=解析：過點 A作AE!BD于點E,則點E是BD中點。在 RtAEM中，AM=鄧,AE ,，BM= ® -/MAN 135°

12、, Z MAB- Z NAD= 45° , 又/ANDF Z NAD=/ ADB= 45°,/ AMB+/ MAB=/ ABD= F 45°,/ AND=/ MAB,/ NAD=/ AMB,八 八DN AD 口.DN 1'2.2 5.ANm AMAB即一="，.Dl 幺。. MN= BW BD+ DN=、叵+、/ + 幺='AB BM 1?22211,又4AM明口CMN0積相等，四邊形 AMCN勺面積是ZXXMNXAE= 2X,X52°3. C 解析：DC/ BA .APMh ACPID一 2- . AQ= 5AC0AP AM

13、1=.PC DC 331 -AP= AGPQ= 5AC-AC= 20AC 又 QC= 5AC, AP： PQ： QC=-:3204. B 解析：根據(jù)題意可得 AC= BA 13且4 PD BDA PAD CAD口 e AQ AN 2同理二 = ,QC DC 33 . = 5 . 3. . 12。5PD PE PA所以 BT BA' caPF即CD13PD)= PE, 整 PT,所以 PD= *E, PA= *F,所以 PA PA=13 (PE+ PF) = AD, 13 513 555560即g (PE+ PF) = 12,所以 P斗 PF=o 5135. 9 ,解析：. ABC是等邊

14、三角形， ./ BA* / CAD= 60° 。 ,:乙 CADF / AD曰 / CDE + /C= 180°, / C= 60°, ZADE= 60° , . . / CAA ZCDE= 60°。 . . /BAD= / CDE又/. 一. _ _.AB CD 、_ 1,xx-3 一B= / C= 60 ,BAD CDtE，詬=正設(shè) ABC的邊長為 x,則§ = 一2"，解得 x= 9。60 6.13 AGAC解析：過點 A作AGLBC于點G,過點B作BF±AC于點F。則 AG。 BFC，麗oAB= AC AG

15、± BC, BC= 10,BFBG= 5, AG="百BG =12。.13 1210 BF'120BF=-o13160DE± AC, BF± AC, . . DE/ BF,又點 D是 AB 的中點，. DE= -BF=o 213AC7. 2 或9 解析：當AEQAABC 時，則 A|=祟 即4 = .9,，AF= 2;當AAEMAACB 2AF AC AF 6一3 6_ 9,9時，則 酢=d，AF=-o .-.AF= 2 或萬。 AF 92216a 5 小，.8. 解析：設(shè)正萬形ABCM邊長為a,由ADaAGBE導 ；由4ADF3a+ CG 3+

16、 FGa 8 a 8，58-16GCF- IP。由可信 3484 FC 斛倚 FG石。CG FG a十 CG 8十 FG3十 FG 8十 FG39.證明： AB= AC,，/ABE= / C, /A / C, . . / ABE= / D,又/ BAD= Z BAEBE AE.ABm AADB .亞國10.證明：連接 AE,EF垂直平分 AD, .-.AE= DE, / FAE= / FDE-/ B= / FDE / BAD/ CAE= / FAE- / CAD 又 / BAD= / CAD，/B= /CAE X'. Z AEB= Z CEA.ABECAE.a ce Be- AE'DE CEBe- DE'即 dE= be- ce11.證明:. /AB* / DA已 90°/ABA Z C= 90° , ，/DAF= / 0=又,點 E 是 RtADC斜邊 AC 的中點，. ED= EC, / C_一一 . _ BD DF=/ CDE 又/ CDE= /