第八章第九節(jié)圓錐曲線的綜合問題（理科）

1、一、選擇題1已知橢圓1(a>b>0)的焦點分別為F1、F2，b4，離心率為.過F1的直線交橢圓于A、B兩點，則ABF2的周長為()A10B12C16 D20解析：如圖，由橢圓的定義知ABF2的周長為4a，又e，即ca，a2c2a2b216，a5.ABF2的周長為20.答案：D2設F1、F2為橢圓y21的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P、Q兩點，當四邊形PF1QF2的面積最大時，·的值等于()A0 B2C4 D2解析：易知當P、Q分別在橢圓短軸端點時，四邊形PF1QF2的面積最大此時，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，P(0,1)，(，1)，(，1)·2.答

2、案：D3過橢圓C：1(a>b>0)的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若<k<，則橢圓離心率的取值范圍是()A(，) B(，1)C(，) D(0，)解析：由題意：B(c，)，k1e，<1e<，<e<.答案：C4(2011·東北三校第一次聯(lián)考)已知雙曲線1，過其右焦點F的直線(斜率存在)交雙曲線于P、Q兩點，PQ的垂直平分線交x軸于點M，則的值為()A. B.C. D.解析：依題意，將直線PQ特殊化為x軸，于是有點P(3,0)、Q(3,0)、M(0,0)、F(5,0)，.答案：B5(2012

3、·濰坊模擬)橢圓1的離心率為e，點(1，e)是圓x2y24x4y40的一條弦的中點，則此弦所在直線的方程是()A3x2y40 B4x6y70C3x2y20 D4x6y10解析：依題意得e，圓心坐標為(2,2)，圓心(2,2)與點(1，)的連線的斜率為，所求直線的斜率等于，所以所求直線方程是y(x1)即4x6y70.答案：B二、填空題6(2011·北京東城區(qū)期末)設橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為_解析：設橢圓方程為1(a>b>0)，令xc，則|y|，由題意得|PF2|，又|F1F2

4、|PF2|，2c，b2a2c2，c22aca20，e22e10，解之得e1±，又0<e<1，e1.答案：17已知以坐標原點為頂點的拋物線C，焦點在x軸上，直線xy0與拋物線C交于A、B兩點若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為_解析：由題意知，拋物線的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，所以可設拋物線的方程為y2ax(a0)將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，得：x2ax0，解得x10，x2a，故AB中點的橫坐標為x0(x1x2)a，由題意得a2，解得a4.所以該拋物線的方程為y24x.答案：y24x三、解答題8已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢

5、圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(1)一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k21.解：(1)設橢圓的半焦距為c，由題意知：，2a2c4(1)，所以a2，c2，又a2b2c2，因此b2.故橢圓的標準方程為1.由題意設等軸雙曲線的標準方程為1(m>0)，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以m2，因此雙曲線的標準方程為1.(2)證明：P(x0，y0)，則k1，k2.因為點P在雙曲線x2y24上，所以xy4.因此k1k2·1，即k1k2

6、1.9(2012·大連模擬)已知橢圓C過點M(1，)，兩個焦點為A(1,0)，B(1,0)，O為坐標原點(1)求橢圓C的方程；(2)直線l過點A(1,0)，且與橢圓C交于P，Q兩點，求BPQ的內切圓面積的最大值解：(1)由題意，c1，可設橢圓方程為1.因為A在橢圓上，所以1，解得b23，b2(舍去)所以橢圓方程為1.(2)設直線l方程為xky1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(43k2)y26ky90所以SBPQ·|F1F2|y1y2|.令t，則t1，所以SBPQ，而3t在1，)上單調遞增，所以SBPQ3，當t1時取等號，即當k0時，BPQ的面積最大值為3.10已知橢圓的一個頂點為A(0，1)，焦點在x軸上若右焦點F到直線xy20的距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)設直線ykxm(k0)與橢圓相交于不同的兩點M、N.當|AM|AN|時，求m的取值范圍解：(1)依題意，可設橢圓方程為y21，則右焦點為F(，0)由題意，知3，解得a23.故所求橢圓的方程為y21.(2)設點M、N的坐標分別為M(xM，yM)、N(xN，yN)，弦MN的中點為P(xP，yP)由得(3k21)x26mkx3(m21)0.直線ykxm(k0)與橢圓相交于不同的兩點，(6mk)24(3k21)×3(m21)>0m2<3k21.x