第十八章 變分法模型

1、-336-第十八章 動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型動(dòng)態(tài)過(guò)程的另一類問(wèn)題是所謂的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題, 這類問(wèn)題一般要?dú)w結(jié)為求最優(yōu)控制 函數(shù)使某個(gè)泛函達(dá)到極值。 當(dāng)控制函數(shù)可以事先確定為某種特殊的函數(shù)形式時(shí), 問(wèn)題又 簡(jiǎn)化為求普通函數(shù)的極值。求解泛函極值問(wèn)題的方法主要有變分法和最優(yōu)控制理論方 法。§1 變分法簡(jiǎn)介變分法是研究泛函極值問(wèn)題的一種經(jīng)典數(shù)學(xué)方法, 有著廣泛的應(yīng)用。 下面先介紹變 分法的基本概念和基本結(jié)果, 然后介紹動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題求解的必要條件和最大值 原理。設(shè) S 為一函數(shù)集合, 若對(duì)于每一個(gè)函數(shù) S t x (有一個(gè)實(shí)數(shù) J 與之對(duì)應(yīng), 則稱 J 是 對(duì)應(yīng)在 S 上的泛函,記作 (t x J

2、。 S 稱為 J 的容許函數(shù)集。 通俗地說(shuō),泛函就是“函數(shù)的函數(shù)” 。例如對(duì)于 xy 平面上過(guò)定點(diǎn) , (11y x A 和 , (22y x B 的每一條光滑曲線 (x y , 繞 x 軸 旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體,旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是曲線 (x y 的泛函 (x y J 。由微積分知識(shí)不難寫出dx x y x y x y J x x (' (2 (212+= (1容許函數(shù)集可表示為 ( , (, (| (2211211y x y y x y x x C x y x y S = (2最簡(jiǎn)單的一類泛函表為=21, , ( (t t dt x x t F t x J & (3被積函數(shù) F 包含

3、自變量 t ,未知函數(shù) x 及導(dǎo)數(shù) x &。 (1式是最簡(jiǎn)泛函。泛 函 (t x J 在 S t x (0取 得 極 小 值 是 指 , 對(duì) 于 任 意 一 個(gè) 與 (0t x 接 近 的S t x (, 都有 ( (0t x J t x J 。 所謂接近, 可以用距離 < (, (0t x t x d 來(lái)度量,而距離定義為| ( (|, ( (|max (, (00021t x t x如同函數(shù)的微分是增量的線性主部一樣, 泛函的變分是泛函增量的線性主部。 作為 泛函的自變量,函數(shù) (t x 在 (0t x 的增量記為( ( (0t x t x t x =也稱函數(shù)的變分。由它引起

4、的泛函的增量記作( ( (00t x J t x t x J J +=如果 J 可以表為-337-(, ( (, (00t x t x r t x t x L J +=其中 L 為 x 的線性項(xiàng),而 r 是 x 的高階項(xiàng),則 L 稱為泛函在 (0t x 的變分,記作 (0t x J 。用變動(dòng)的 (t x 代替 (0t x ,就有 (t x J 。泛函變分的一個(gè)重要形式是它可以表為對(duì)參數(shù) 的導(dǎo)數(shù): 0 ( ( (=+=t x t x J t x J (4 這是因?yàn)楫?dāng)變分存在時(shí),增量, ( , ( ( (x t x r x t x L t x J x t x J J +=+= 根據(jù) L 和 r 的

5、性質(zhì)有, ( , (x t x L x t x L =0, (lim, (lim00=x xx t x r x t x r 所以( (lim (00x J x x J x x J +=+=( , ( , ( , (lim 0x J x x L x x r x x L =+=利用變分的表達(dá)式(4可以得到泛函極值與變分的關(guān)系。 若 (t x J 在 (0t x 達(dá)到極值(極大或極小 ,則0 (0=t x J (5 這是因?yàn)閷?duì)任意給定的 x , (0x x J +是變量 的函數(shù),該函數(shù)在 0=處達(dá)到極 值。根據(jù)函數(shù)極值的必要條件知0 (00=+=x x J 于是由(4式直接得到(5式。引理, (21

6、x x C x , , (211x x C x , 0 ( (21=x x ,有210 ( (x x dx x x ,則 , , 0 ( 21x x x x 。1.2 無(wú)約束條件的泛函極值 求泛函=ft t dt t x t x t F J 0(, (, (& (6的極值,一般是用泛函極值的必要條件去尋找一條曲線 (t x ,使給定的二階連續(xù)可微 函數(shù) F 沿該曲線的積分達(dá)到極值。常稱這條曲線為極值曲線(或軌線,記為 (*設(shè)容許曲線 (t x 滿足邊界條件-338-00 (x t x =, f f x t x = ( (7 且二次可微。首先計(jì)算(6式的變分:0 ( (=+=t x t

7、x J J =+=f t t dt t x t x t x t x t F 00 ( (, ( (, (&& +=ft t x x dt x xx t F x x x t F 0 , , ( , , (&&&& (8 對(duì)上式右端第二項(xiàng)做分部積分,并利用 0 ( (0=f t x t x ,有=fft t x t t x xdt xx t F dtddt x xx t F 0, , ( , , (&&&&&, 再代回到(8式,并利用泛函取極值的必要條件,有 =ft t x x xdt F dtd F J 00

8、& 因?yàn)?x 的任意性,及 0 ( (0=f t x t x ,所以由基本引理得到著名的歐拉方程0=x x F dtd F & (9 它是這類最簡(jiǎn)泛函取極值的必要條件。(9式又可記作0=x F x F F F x x x x x t x &&&&&&& (10 通常這是 (t x 的二階微分方程,其通解的兩個(gè)任意常數(shù)由(7式中的兩個(gè)端點(diǎn)條件確定。(i F 不依賴于 x &,即 , (x t F F = 這時(shí) 0x F &,歐拉方程為 0 , (=x t F x ,這個(gè)方程以隱函數(shù)形式給出 (t x ,但它一

9、 般不滿足邊界條件,因此,變分問(wèn)題無(wú)解。(ii F 不依賴 x ,即 , (xt F F &= 歐拉方程為0 , (=xt F dtdx && 將上式積分一次,便得首次積分 1 , (c xt F x =&&,由此可求出 , (1c t x =&,積分后得到 可能的極值曲線族(dt c t x =1, (iii F 只依賴于 x&,即 (x F F &= 這時(shí) 0, 0, 0=x x x t x F F F &&,歐拉方程為0=x x F x &&&&由此可設(shè) 0=x &&a

10、mp;或 0=x x F &&,如果 0=x &&,則得到含有兩個(gè)參數(shù)的直線族 21c t c x +=。-339-另外若 0=x x F &&有一個(gè)或幾個(gè)實(shí)根時(shí), 則除了上面的直線族外, 又得到含有一個(gè)參數(shù) c 的 直線族 c kt x +=,它包含于上面含有兩個(gè)參數(shù)的直線族 21c t c x += 中,于是,在(xF F &=情況下,極值曲線必然是直線族。 (iv F 只依賴于 x 和 x&,即 , (x x F F &= 這時(shí)有 0=x t F &,故歐拉方程為0=x x x x x F x F x F &

11、amp;&&&&&此方程具有首次積分為1c F x F x =&&事實(shí)上,注意到 F 不依賴于 t ,于是有0 ( (=+=x x x x x x x F dtdF x F dt d x F x x F x F F x F dt d &&&&&&&&&&&&&。例 1 (最速降線問(wèn)題 最速降線問(wèn)題是歷史上變分法開(kāi)始發(fā)展的第一個(gè)問(wèn)題。它是約翰·貝努里(J. Bernoulli于 1696年提出的。問(wèn)題的提法是這樣的:設(shè) A 和

12、B 是鉛 直平面上不在同一鉛直線上的兩點(diǎn),在所有連結(jié) A 和 B 的平面曲線中,求一曲線,當(dāng) 質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用,且初速為零,沿此曲線從 A 滑行至 B 時(shí),使所需時(shí)間最短。解 將 A 點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn), x 軸水平向右, y 軸垂直向下, B 點(diǎn)為 , (22y x B 。根 據(jù)能量守恒定律,質(zhì)點(diǎn)在曲線 (x y 上任一點(diǎn)處的速度dtds滿足(s 為弧長(zhǎng) mgy dt ds m =221將 dx x y ds (' 2+=代入上式得dx gyy dt 2' 12+=于是質(zhì)點(diǎn)滑行時(shí)間應(yīng)表為 (x y 的泛函dx yy gdx gyy x y J x x +=+=2222'

13、1212' 1 ( 端點(diǎn)條件為 22 (, 0 0(y x y y =最速降線滿足歐拉方程,因?yàn)閥y y y F 2' 1 ' , (+=不含自變量 x ,所以方程(10可寫作0' ' ' ' ' ' =y F y F F y y yy y等價(jià)于0 ' (' =y F y F dxd作一次積分得-340-12' 1(c y y =+ 令 , 2' ctgy =則方程化為cos 1(22sin ' 112121=+=c c y c y 又因d c ctg d c y dy dx cos

14、 1(22cos sin ' 11=積分之,得21sin (2c c x += 由邊界條件 0 0(=y ,可知 02=c ,故得=. cos 1(2sin (211c y c x 這是擺線(圓滾線的參數(shù)方程,其中常數(shù) 1c 可利用另一邊界條件 22(y x y = 來(lái)確定。例 2 最小旋轉(zhuǎn)面問(wèn)題dx x y x y x y J x x (' (2 (212+= ( , (, |2211211y x y y x y x x C y y S =解 因 ' 2y y F +=不包含 x ,故有首次積分122' '' ' ' '

15、 c y y yy y y F y F y =+=化簡(jiǎn)得21' y c y +=令 sht y =' ,代入上式得cht c t sh c y 121=+=由于 dt c shtshtdtc y dy dx 11' =,積分之,得 21c t c x +=,消去 t ,就得到121c c x ch c y = 。這是懸鏈線方程。最簡(jiǎn)泛函取極值的必要條件可以推廣到其它情況。-341-(含多個(gè)函數(shù)的泛函 使泛函=21' , , ' , , ( (, (x x dx z z y y x F x z x y J取極值且滿足固定邊界條件. (, (, (, (22

16、112211z x z z x z y x y y x y = 的極值曲線 (, (x z z x y y =必滿足歐拉方程組=00' 'z z y y F dx d F F dx d F (ii 含高階導(dǎo)數(shù)的泛函使泛函 =21" , ' , , ( (x x dx y y y x F x y J取極值且滿足固定邊界條件 11 (y x y =, 221122' (' , ' (' y x y y x y y x y =, (的極值曲線 (x y y =必滿足微分方程0" 22' =+y y y F dxd F

17、 dx d F (iii 含多元函數(shù)的泛函設(shè) D y x c y x z , (, , (2,使泛函 =Dy xdxdy z zz y x F y x z J , , , , ( , (取極值且在區(qū)域 D 的邊界線 l 上取已知值的極值函數(shù) , (y x z z =必滿足方程 0=y x z z z F yF x F 上式稱為奧式方程。設(shè)容許曲線 (t x 在 0t 固定,在另一端點(diǎn) f t t =時(shí)不固定,是沿著給定的曲線(t x =上變動(dòng)。于是端點(diǎn)條件表示為= ( ( (00t t x x t x 這里 t 是變動(dòng)的,不妨用參數(shù)形式表示為 f f dt t t +=尋找端點(diǎn)變動(dòng)情況的必要條

18、件,可仿照前面端點(diǎn)固定情況進(jìn)行推導(dǎo),即有 0 , , (00=+=dt x xx x t F J ff dt t t &&-342-f t t t t x t t x x dt F x F xdt F dtd F f f f=+=&&0( (11 再對(duì)(11式做如下分析:(i 對(duì)每一個(gè)固定的 f t , (t x 都滿足歐拉方程,即(11式右端的第一項(xiàng)積分為 零;(ii 為考察(11式的第二、第三項(xiàng),建立 f dt 與 ft t x =之間的關(guān)系,因?yàn)? ( (f f f f f f dt t dt t x dt t x +=+ 對(duì) 求導(dǎo)并令 0=得f f t

19、t f f dt t x dt t xf( (&&=+= 即f f f t t dt t x t x f( (&&= (12 把(12代入(11并利用 f dt 的任意性,得0 (=+=f t t x F x F &&& (13(13式就是確定歐拉方程通解中另一常數(shù)的定解條件,稱為橫截條件。橫截條件有兩種常見(jiàn)的特殊情況:(i 當(dāng) (t x =是垂直橫軸的直線時(shí), f t 固定, (f t x 自由,并稱 (f t x 為自由 端點(diǎn)。此時(shí)(11式中 0=f dt 及 ft t x =的任意性,便得自由端點(diǎn)的橫截條件0=ft t x F &a

20、mp;(14(ii 當(dāng) (t x =是平行橫軸的直線時(shí), f t 自由, (f t x 固定,并稱 (f t x 為平動(dòng)端點(diǎn)。此時(shí) 0=&, (13式的橫截條件變?yōu)?=ft t x F x F && (15注意,橫截條件與歐拉方程聯(lián)立才能構(gòu)成泛函極值的必要條件。1.3 有約束條件的泛函極值 在最優(yōu)控制系統(tǒng)中, 常常要涉及到有約束條件泛函的極值問(wèn)題, 其典型形式是對(duì)動(dòng) 態(tài)系統(tǒng)(, (, ( (t u t x t f t x =& (16尋求最優(yōu)性能指標(biāo)(目標(biāo)函數(shù)+=ft t f f dt t u t x t F t x t t u J 0(, (, ( (, (

21、( (17其中 (t u 是控制策略, (t x 是軌線, 0t 固定, f t 及 (f t x 自由, nR t x (, mR t u (不受限,充滿 mR 空間 , F f , , 連續(xù)可微。下面推導(dǎo)取得目標(biāo)函數(shù)極值的最優(yōu)控制策略 (*t u 和最優(yōu)軌線 (*t x 的必要條件。采用拉格朗日乘子法,化條件極值為無(wú)條件極值,即考慮+=ft t T f f dt x u x t f t u x t F t x t u x J 0 , , ( , , ( (, ( , , (1& (18的無(wú)條件極值,首先定義(16式和(17式的哈密頓(Hamilton 函數(shù)為-343-, , ( (

22、 , , ( , , , (u x t f t u x t F u x t H T+= (19 將其代入(18式,得到泛函+=ft t T f f dt x u x t H t x t u x J 0 , , , ( (, ( , , (1& (20下面先對(duì)其求變分( (, (1f f f f t x t x dt t J +=0( ( , , , (0=+dt x xu u x x t H T dt t t f f && f f f f t t T T f t t T f t T f t x Tf x dt u x t H dt dt t x =+= ( ( , ,

23、, ( ( ( ( (& dt x xH H u H x T T T u T x T t t f ( ( ( (0&&+ ( , , , ( (f f f t x T f t t t T f t x t u x t F dt +=+=ff f t t T t t f T t t T T u T x T dt x x t dt x H H u H x 0( ( ( ( ( (&&注意到 (f t t t x xf=, f f f t t dt t xt x xf( (&=,因而 ffft t x T f t t t T f t x u x t H

24、dt J =+= ( , , , ( (1+ft t u T T x T dt H u x H H x 0 ( ( ( ( (&& 再令 01=J ,由 , , , (, u x t x dt f f 的任意性,便得(i *, x 必滿足正則方程: 狀態(tài)方程 , , (u x t f H x=& 協(xié)態(tài)方程 xH =&。 (ii 哈密頓函數(shù) , , , (*u x t H 作為 u 的函數(shù),也必滿足 0=u H 并由此方程求得 *u 。(iii 求 *, , u x 時(shí),必利用邊界條件 00 (x t x =, (用于確定 *x ( (ft x f t =, (用

25、于確定 *fft t t u x t H = , , , (, (確定 f t 1.4 最大(小值原理如果受控系統(tǒng), , (u x t f x=&, 00 (x t x = 其控制策略 (t u 的全體構(gòu)成有界集 U ,求 U t u (,使性能指標(biāo) +=ft t f f dt u x t F t x t t u J 0, , ( (, ( (-344-達(dá)到最大(小值。最大(小值原理:如果 , , (u x t f , (, (f f t x t 和 , , (u x t F 都是連續(xù)可微的, 那么最優(yōu)控制策略 (*t u 和相應(yīng)的最優(yōu)軌線 (*t x 由下列的必要條件決定:(i 最優(yōu)

26、軌線 (*t x ,協(xié)態(tài)向量 (*t 由下列的必要條件決定:, , (u x t f dt dx=, U t u (, xH dt d =. (ii 哈密頓函數(shù), , ( ( , , ( , , , (*u x t f t u x t F u x t H T += 作為 (t u 的函數(shù),最優(yōu)策略 (*t u 必須使, , , (max , , , (*u x t H u x t H Uu =或使, , , (min , , , (*u x t H u x t H Uu =(最小值原理 (iii 滿足相應(yīng)的邊界條件 若兩端點(diǎn)固定,則正則方程的邊界條件為 0 0(x x =, f f x t x

27、 = (。 若始端固定,終端 f t 也固定,而 (f t x 自由,則正則方程的邊界條件為 0 0(x x =, (, ( ( (f f t x f t x t t f =。 若始端固定,終端 (, f f t x t 都自由,則正則方程的邊界條件為 0 0(x x =, (, ( ( (f f t x f t x t t f =, 0 (, ( (, (, (, (=+f f t f f f f t x t t t u t x t H f 。§2 生產(chǎn)設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益某工廠購(gòu)買了一臺(tái)新設(shè)備投入到生產(chǎn)中。 一方面該設(shè)備隨著運(yùn)行時(shí)間的推移其磨損 程度愈來(lái)愈大, 因此其轉(zhuǎn)賣價(jià)將隨著使

28、用設(shè)備的時(shí)間增加而減小; 另一方面生產(chǎn)設(shè)備總 是要進(jìn)行日常保養(yǎng), 花費(fèi)一定的保養(yǎng)費(fèi), 保養(yǎng)可以減緩設(shè)備的磨損程度, 提高設(shè)備的轉(zhuǎn) 賣價(jià)。那么,怎樣確定最優(yōu)保養(yǎng)費(fèi)和設(shè)備轉(zhuǎn)賣時(shí)間,才能使這臺(tái)設(shè)備的經(jīng)濟(jì)效益最大。 2.1 問(wèn)題分析與假設(shè)(i 設(shè)備的轉(zhuǎn)賣價(jià)是時(shí)間 t 的函數(shù),記為 (t x 。 (t x 的大小與設(shè)備的磨損程度和 保養(yǎng)費(fèi)的多少密切相關(guān)。記初始轉(zhuǎn)賣價(jià) 0 0(x x =。(ii 設(shè)備隨其運(yùn)行時(shí)間的推移,磨損程度越來(lái)越大。 t 時(shí)刻設(shè)備的磨損程度可以 用 t 時(shí)刻轉(zhuǎn)賣價(jià)的損失值來(lái)刻畫,常稱其為磨損函數(shù)或廢棄函數(shù),記為 (t m 。(iii 保養(yǎng)設(shè)備可以減緩設(shè)備的磨損速度, 提高轉(zhuǎn)賣價(jià)。 如

29、果 (t u 是單位時(shí)間的保 養(yǎng)費(fèi), (t g 是 t 時(shí)刻的保養(yǎng)效益系數(shù)(每用一元保養(yǎng)費(fèi)所增加的轉(zhuǎn)賣價(jià) ,那么單位時(shí) 間的保養(yǎng)效益為 ( (t u t g 。 另外, 保養(yǎng)費(fèi)不能過(guò)大 (如單位時(shí)間保養(yǎng)費(fèi)超過(guò)單位時(shí)間產(chǎn) 值時(shí), 保養(yǎng)失去了意義 , 只能在有界函數(shù)集中選取, 記有界函數(shù)集為 W , 則 W t u (。-345-(iv 設(shè)單位時(shí)間的產(chǎn)值與轉(zhuǎn)賣價(jià)的比值記為 p ,則 (t px 表示在 t 時(shí)刻單位時(shí)間 的產(chǎn)值,即 t 時(shí)刻的生產(chǎn)率。(v 轉(zhuǎn)賣價(jià) (t x 及單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi) (t u 都是時(shí)間 t 的連續(xù)可微函數(shù)。為了統(tǒng)一 標(biāo)準(zhǔn),采用它們的貼現(xiàn)值。對(duì)于貼現(xiàn)值的計(jì)算,例如轉(zhuǎn)賣價(jià) (

30、t x 的貼現(xiàn)值計(jì)算,如果 它的貼現(xiàn)因子為 (經(jīng)過(guò)單位時(shí)間的單位費(fèi)用貼現(xiàn),那么由 =1 ( (111t x t x dt t dx 解得(11 (t t et x =令 01=t ,便得 t 時(shí)刻單位費(fèi)用的貼現(xiàn)(稱貼現(xiàn)系數(shù)為 te,所以設(shè)備在 t 時(shí)刻轉(zhuǎn)賣價(jià)(t x 的貼現(xiàn)為 t e t x (。仿此計(jì)算, (t u 的貼現(xiàn)為 t e t u (,單位時(shí)間產(chǎn)值的貼現(xiàn)為 t e t px (。(vi 欲確定的轉(zhuǎn)賣時(shí)間 f t 和轉(zhuǎn)賣價(jià) (f t x 都是自由的。2.2 模型構(gòu)造根據(jù)以上的分析與假設(shè)可知:考察的對(duì)象是設(shè)備在生產(chǎn)中的磨損保養(yǎng)系統(tǒng); 轉(zhuǎn)賣 價(jià)體現(xiàn)了磨損和保養(yǎng)的綜合指標(biāo), 可以選作系統(tǒng)的

31、狀態(tài)變量; 在生產(chǎn)中設(shè)備磨損的不可 控性強(qiáng), 其微弱的可控性也是通過(guò)保養(yǎng)體現(xiàn), 加之保養(yǎng)本身具有較強(qiáng)的可控性, 所以選 單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi) (t u 作為控制策略。這樣,生產(chǎn)設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益模型可以構(gòu)成 為在設(shè)備磨損保養(yǎng)系統(tǒng)的(轉(zhuǎn)賣價(jià)狀態(tài)方程=+=00( ( ( (x x t u t g t m dtt dx (21 之下, 在滿足 U t u (0的函數(shù)集 W 中尋求最優(yōu)控制策略 (*t u , 使系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效益這一性能指標(biāo)+=fft t t f dt e t u t px et x t u J 0( ( ( ( (22為最大,其中 (, f f t x t 都是自由的。2.3 模型求解首先

32、寫出問(wèn)題的哈密頓函數(shù) ( ( ( (t u t g t m et u t px H t += (23再由協(xié)態(tài)方程及邊界條件求出 (t ,即由=ff t t x f tx e t peH dt t d ( ( ( 解得t t e pe pt f+= 1( (下面利用最大值原理求 u (t 。先將（23）式改變?yōu)?* H = px (t e t m(t + g (t e t u(t 顯然， H 是對(duì) u 的線性函數(shù)，因此得到 U , g ( t e t > 0 * u (t = g ( t e t < 0 0, 或 （24） U , u * (t = 0, * p t p (1 e f

33、 + e t g (t e t > 0 (1 e p t f + p （25） e t g (t e * t <0 在上式中， 還需解決兩個(gè)問(wèn)題： 一是 u (t = U 與 u (t = 0 的轉(zhuǎn)換點(diǎn) t s 在什么位置， * 即 t s 等于多少？二是 u (t 是由 U 到 0 ，還是由 0 到 U 。 轉(zhuǎn)換點(diǎn) t s 應(yīng)滿足 p t p (1 e f + e t g (t e t = 0 即 p p ( t t f ( 1e g (t 1 = 0 （26） 從而可解出 t s 。 因?yàn)?g (t 是時(shí)間 t 的減函數(shù)，所以（26）式的左端也是時(shí)間 t 的減函數(shù)，也就是說(shuō) u

34、 (t 隨時(shí)間應(yīng)由 U 到 0。于是最優(yōu)控制策略的具體表達(dá)式為 0 t < ts U , u* = ts < t t f 0, 至于 t f ， x (t f 的求法，請(qǐng)見(jiàn)下面的例子。 例3 在生產(chǎn)設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益的問(wèn)題中，設(shè) x (0 = 100 ， U = 1 ， m(t = 2 ， * p = 0.1 ， = 0.05 ， g (t = 解 2 (1 + t 1 1 2 ，試求 t f ， x (t f 和 u (t 。 * 由（26）式可得求 t s 的公式 (1 + t s 2 = 4 2e 當(dāng) t < t s 時(shí)， u (t = U = 1 ，狀態(tài)方程為 * 0

35、.05( t s t f （27） dx = 2 + dt * 2 (1 + t 1 2 當(dāng) t > t s 時(shí)， u (t = 0 ，狀態(tài)方程為 -346- 于是 t > t s 時(shí)，有 t dx = 2 dt ts dx dt = 2 + 0 dt 0 2 (1 + t 2 1 dt + ( 2dt 1 ts t 解得 x (t = 4(1 + t s 2 + 96 2t 由自由邊界條件 H t =t f （28） = t f 及 (t f = e t f t f ，得 t f px (t f e 于是 + 2e t f = e x (t f x (t f = 當(dāng) t = t

36、f 時(shí)，由（28）式有 2 = 40 p 1 40 = 4(1 + t s 2 + 96 2t f 即 1 t f = 2(1 + t s 2 + 28 （29） 將（27）和（29）聯(lián)立求解，編寫如下 Matlab 程序 x,y=solve('(1+ts(1/2=4-2*exp(0.05*(ts-tf','tf=2*(1+ts (1/2+28' 求得 t s = 10.6 ， t f = 34.8 于是，最優(yōu)控制策略（保養(yǎng)費(fèi)）為 1, 0 t < 10.6 u * (t = 0, 10.6 < t 34.8 §3 產(chǎn)品最佳價(jià)格調(diào)整問(wèn)題 3

37、.1 問(wèn)題提出 物價(jià)管理部門根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)和經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展的需要，決定將 A 產(chǎn)品的單位價(jià)格 p(t 由現(xiàn)在的 p0 = 70 元調(diào)整到 p1 = 100 元，并要求各公司自行在一年內(nèi)完成這一調(diào) 價(jià)任務(wù)。某公司經(jīng)營(yíng) A 產(chǎn)品多年，深知每周 A 產(chǎn)品的銷售量 s 與其價(jià)格 p 和價(jià)格變化 & 的信息是可靠的，不妨假設(shè) s = s ( p, p ； & 率 p 有著密切的聯(lián)系， 公司想利用這種關(guān)系制定一個(gè) A 產(chǎn)品的調(diào)價(jià)方案， 使全年經(jīng)營(yíng) A 產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大。在如下假設(shè)條件下： （1）物價(jià)部門對(duì) A 產(chǎn)品的調(diào)價(jià)決策是積極的、正確的，在一年內(nèi)（調(diào)價(jià)期）不會(huì) 發(fā)生對(duì) A 產(chǎn)品的其它調(diào)價(jià)決策， A 產(chǎn)品在市場(chǎng)上的供求矛盾不會(huì)出現(xiàn)大的變化； & “每周銷售量 s 與其價(jià)格 p 和價(jià)格變化率 p 的關(guān)系” （2） 公司多年經(jīng)營(yíng) A 產(chǎn)品關(guān)于 -347- （3）公司生產(chǎn) A 產(chǎn)品的能力足以滿足市場(chǎng)需求。設(shè)每周生產(chǎn) s 件 A 產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi) 用是 c( s ； & （4）函數(shù) s ( p, p 和 c( s 由統(tǒng)計(jì)方法擬合成連續(xù)可微函數(shù)?，F(xiàn)查閱統(tǒng)計(jì)資料得到