函數的連續(xù)性

1、 微微 積積 分分21. 設有函數設有函數sin(2 ) (0)( )1 (0)xxf xxax, 問問 為何值時為何值時, 函數函數在在 點連續(xù)點連續(xù)?a0 x 解解 因為因為00sin(2 )lim( )lim222xxxf xx(0)1fa要使函數在要使函數在 點連續(xù)點連續(xù),0 x 則應有則應有0lim( )(0)xf xf所以所以121aa 321(1)(1)lim ( )lim(1)(2)xxxxf xxx解解 這是一個初等函數，其定義域為這是一個初等函數，其定義域為找出函數找出函數 的間斷點，并判別其類型。的間斷點，并判別其類型。221( )32xf xxx232012xxxx且1

2、11(1)(1)1lim ( )limlim2(1)(2)2xxxxxxf xxxx而而 所以，所以，x =1是函數的是函數的第一類第一類的的可去間斷點可去間斷點；x =2是函數是函數的的第二類第二類的的無窮間斷點無窮間斷點。不存在不存在(1)f而而2、4函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性(continuity)(continuity) 氣溫的變化，河水的流動，植物的生長等都是連續(xù)地變化氣溫的變化，河水的流動，植物的生長等都是連續(xù)地變化著，反映在函數關系上是著，反映在函數關系上是函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性。 當時間變化很微小時，氣溫的變化也很微小，一般的，當當時間變化很微小時，氣溫的變化也很微小，一般的，

3、當自變量改變很微小時，因變量也很微小，這個特性稱為自變量改變很微小時，因變量也很微小，這個特性稱為連續(xù)性連續(xù)性。 連續(xù)函數在圖像上是一條連續(xù)無間斷點的曲線。連續(xù)函數在圖像上是一條連續(xù)無間斷點的曲線。xyo5 函數的連續(xù)性描述函數的漸變性態(tài)函數的連續(xù)性描述函數的漸變性態(tài), ,在通常意義下，對函數連續(xù)性有三種在通常意義下，對函數連續(xù)性有三種描述：描述： 當自變量有微小變化時，因變量的當自變量有微小變化時，因變量的 變化也是微小的；變化也是微小的； 自變量的微小變化不會引起因變量的自變量的微小變化不會引起因變量的 跳變；跳變； 連續(xù)函數的圖形可以一筆畫成連續(xù)函數的圖形可以一筆畫成, ,不斷開不斷開.

4、 . 函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性61.連續(xù)性概念的增量形式在某過程中, 變量 u 的終值 u2 與它的初值 u1 的差 u2 u1, 稱為變量 u 在 u1處的增量, 記為 u = u2u1.u 是一個整體記號, 它可以取正值、負值或零. 有時我們也稱 u 為變量 u 在 u1 處的差分.7 設函數 f (x) 在 u(x0)內有定義, xu(x0) , 則稱x = x x0 為自變量 x 在 x0 點處的增量. = f (x0 + x) f (x0 )y = f (x) f (x0 )xyox0 xxyy = f (x)此時, x = x0 + x , 相應地, 函數在點 x0 點處有增量 y

5、80lim0yx)(0 xxx則稱 f (x) 在點 x0 處連續(xù).設 f (x) 在 u(x0) 內有定義. 若自變量的增量趨于零時, 函數的增量也趨于零.9可見 , 函數)(xf在點0 x一、一、 函數連續(xù)性的定義函數連續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數.)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 10對自變量的增量,0 xxx有函數的增量

6、)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù)函數0 x)(xf在點連續(xù)有下列等價命題:11右連續(xù)右連續(xù)（continuity from the rightcontinuity from the right）000( )lim( )(,( )xxf xf xf xyf xx如果函數滿足)則稱函數 在點 處右連續(xù)。0000( ) (yf xxf xf xf x在 點 連 續(xù))=)= ）單側連續(xù)單側連續(xù)x xa ab b( )y f x右右連連續(xù)

7、續(xù)左左連連續(xù)續(xù)連連續(xù)續(xù)0 x 左連續(xù)左連續(xù)（continuity from the leftcontinuity from the left）000( )lim( )( )xxf xf xf xyf xx如果函數滿足)，則稱函數 在點 處左連續(xù)。12函數左、右連續(xù)的幾何解釋在 x = 0 處的連續(xù)性.1,0( )sin ,0 xxf xxxy1)(xfy yx+1xoy = sinx13討論 y = | x |, x() 在點 x = 0 處0|lim0 xx0| 00 xxxy y = | x | 在點 x = 0 處連續(xù).xyy = | x |o的連續(xù)性.例1解14討論函數 f (x) =

8、x2, x 1,在 x = 1 處的連續(xù)性.1lim)(lim211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx, 1) 1 (12xxf 函數 f (x) 在點 x = 1 處不連續(xù).故函數 f (x) 在點 x = 1 處是左連續(xù)的.x + 1, x 1, 但由于) 1 (1)(lim1fxfx例2解153.函數在區(qū)間上的連續(xù)性設函數 f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內有定義.若 x0(a, b), f (x) 在點 x0 處連續(xù),則稱 f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內連續(xù), 記為f (x)c( (a, b) ).16若 f (x)c( (a, b) ), 且 f (x)

9、在 x = a 處右連續(xù), 在端點 x = b 處左連續(xù), 則稱函數f (x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù), 記為f (x)c( a, b ).對半開閉區(qū)間和無窮區(qū)間可類似定義連續(xù)性17二、函數的間斷點:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數函數xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數函數則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只

10、xfxxxf18函數間斷點的分類 函數的間斷點第一類間斷點第二類間斷點跳躍可去無窮振蕩其它19(1) 第一類間斷點若 x0 為函數 f (x) 的一個間斷點, 且f (x) 的第一類間斷點.00lim( ) lim( ) ,xxxxf xf x與存在則稱 x0 為函數20討論. 1 11)(2處的連續(xù)性在xxxxf函數在 x =1 無定義,2) 1(lim11lim 121xxxxx而故 x =1 為函數的第一類間斷點. x =1 為函數的間斷點.yxo11p(1,2)y x + 1 進一步分析該間斷點的特點.例1解21補充定義211lim|211xxyxx則函數 f *(x) 在 x =1

11、連續(xù).f * (x) =1 112xxx2 x = 1 即定義分析211lim 21xxx由于 故 x =1 為函數的可去間斷點.22跳躍間斷點跳躍間斷點例例2 2.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數的跳躍間斷點為函數的跳躍間斷點 xoxy 將左、右極限存在但不相等的間斷點, 稱為函數的跳躍型間斷點.23(2) 第二類間斷點 凡不屬于第一類的間斷點, 稱為函數的第二類間斷點.這算定義嗎？即左右極限至少有一個不存在的點即左右極限至少有一個不存在的點.24討論函數. 0 1)(處

12、的連續(xù)性在xxxfxyoxy1在 x = 0 無定義,xxf1)(x = 0為函數的間斷點,1lim)(lim 00 xxfxx又故 x = 0為函數的第二類間斷點.xxf1)()(lim 0 xfx所以稱它為無窮間斷點.由于例3解25. 0 1sin)( 處的連續(xù)性在討論函數xxxf在 x = 0 處無定義,xxf1sin)(. 0 為函數的間斷點x又xxfxx1sinlim)(lim00不存在,故 x = 0 為函數的第二類間斷點. 看看該函數的圖形.例4解26o11xy 1sinxy . 1sin)( 0 的振蕩型間斷點為稱xxfx27 無窮型間斷點 其它間斷點 第二類間斷點左右極限至少

13、有一個不存在左右極限至少有一個為無窮 振蕩型間斷點 左右極限至少有一個振蕩28三、小結1.函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數區(qū)間上的連續(xù)函數;第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)29第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 x可去型可去型oyx0 x30四.初等函數的連續(xù)性 基本初等函數在其定義域內是連續(xù)的. 初等函數在其有定義的區(qū)間

14、內連續(xù). 注意兩者的區(qū)別！31一、四則運算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數若函數xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內連續(xù)內連續(xù)在在xxtan ,cot ,.xx故在其定義域內連續(xù)32.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復合函數則復合函數連續(xù)連續(xù)在點在點而函數而函數且且連續(xù)連續(xù)在點在點設函數設函數xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理例如例如,), 0()0,(1內連續(xù)內連續(xù)在在 xu,),(sin內連續(xù)內連續(xù)在在 uy.), 0()0

15、,(1sin內連續(xù)內連續(xù)在在 xy二、復合函數的連續(xù)性33三、初等函數的連續(xù)性 基本初等函數在定義域內是連續(xù)的基本初等函數在定義域內是連續(xù)的. . 一切初等函數在其一切初等函數在其定義區(qū)間定義區(qū)間內都是連續(xù)的內都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間. . 初等函數求極限的方法初等函數求極限的方法代入法代入法.000lim( )()()xxf xf xx定義區(qū)間34求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan) 12ln(12 連續(xù)性給極限運算帶來很大方便.例1解35例例2 2. 1sinlim1 x

16、xe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例3 3.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 36一.最大值和最小值定理二.介值定理371 最大值和最小值定理設 f (x) 在 a, b上連續(xù), 則 (i) f (x) 在 a, b 上為以下兩種單調函數時 aobxyoab xy38y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , . )()(max,bfxfbax, )()(min,afxfbax， )()(max,afxfbax. )()(min,bfxfbax此時, 函數 f

17、(x) 恰好在 a, b 的 端點 a 和 b 處取到最大值和最小值.則則39 (ii) y = f (x) 為一般的連續(xù)函數時xya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)o1am2am3am4am5am6am40(最大值和最小值定理)若 f (x) 在 a, b上連續(xù) , 則它在該閉區(qū)間上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .ab2 1 xyo)(xfy 41 在定理中, 閉區(qū)間的條件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 內連續(xù), 但它不能取到它的最大值和最小值.應注意的問題42 又如 如下函數在閉區(qū)間0 2內既無最大值又無最小值 21 31 110 1)(xxxxxxfy 如果函數在閉區(qū)間上有間斷點如果函數在閉區(qū)間上有間斷點 那么函數在那么函數在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值 43(介值定理)ybcaoa bx44最大、最小值定理介質定理？ 引入設 f (x) 在 a, b上連續(xù), 則 f (x) 取得值 m 之間的任何一個值. 推論推論介于其在 a, b 上的最大值 m 和最小45(根存在定理或零點定理)則至少存在一