13矢量微分算子

1、、微分算子的定義1 -3矢量微分算子a 一一e dy 在電磁場理論中,為簡化運算，引入了微分算子廠，它 已成為場論分析中不可缺少的工具。微分算子是一個運算 符號，在運算中具有矢量和微分的雙重性質(zhì)，其優(yōu)點在于可 以把對矢量函數(shù)的微分運算轉(zhuǎn)變?yōu)槭噶看鷶?shù)運算，從而明顯地簡化運算過程，并且推導(dǎo)簡明扼要，易于掌握。微分算子的三種基本運算為V/* = gradfV-A = div A Vx A = rot A二、一重算子+討痔- 6 一 二、 6f =(exoxGX生+生+退dx dy dzdydz6 一二、6嗚(D+京 G，A)+g(D = f 8- d -* d -dydzVxA = (xA) + (

2、ey xA) + (x A)k(M- 4。+魯(-AA + 也)+舟(也- M)=eY ( ) + 匕.( )+ e_ (; )dy dzdz dx dx dy如果有某些函數(shù)位于算子的前面，那么在運算中這些函 數(shù)應(yīng)視為常數(shù)，不受微分影響。含有算子的算式的性質(zhì)1）對于任何廠，可以將看作普通矢量進行矢量代數(shù)的恒等變換，所得結(jié)果不變。但是在變換中不能將后面的函數(shù)移到 的前面（除非此函數(shù)視為常數(shù)）,而若把前面的函數(shù)移到 的后面時應(yīng)在此函數(shù)上加注下標C,以表示它被視為常數(shù)。2）如果在的后面有兩個函數(shù)相乘（包括數(shù)乘、點乘和叉乘），那么可表示為兩項之和。在其中一項中，前一函數(shù)視為常數(shù), 不受微分影響，而在另

3、一項中，后一函數(shù)視為常數(shù)，不受微分 影響。Ml：V-(/A) = ?v.(/a)=v.(x.a)+v.(/X)(A)=(幺*A) + (s A)+(匕4)oxoycz4 一 一一 d -=/(x 4) + / = (ey A) + f (ez A) oxcyczdA SA 5z4-=/ + /_L + / =/V 4_$X- 9 汽a - _(/人)= (ex f Ac) + (ey f Ac) + (ez f Ac)oxcyoz= A.ex + A-ey+A-ez =A-Vfdxdydz所以 (/A) = /V-A +A-V/*例2: Vx(AxB) = ?Vx(AxB) = Vx(Ac x

4、B) +Vx(AxBc)(*)由矢量代數(shù)恒等式Ax(BxC) = (AC)B-(A-5)C = B(AC)-C(AB) 可得 Vx(Xx5) = A(V-B)-(V-4)S = A(VB)-(AV)gVx(AxBr) = (V-Br)A-(V-A)Br =(B-V)A-B(V-A)代入（*）式后可求得Vx(AxB) = A(VB)-(AV)B + (S-V)A-B(VA)三、二重算子在電磁場理論中，除了上面所介紹的一重算子的算式外,還經(jīng)常碰到口巧, x 0, VV A,V-Vx A等二重算子的算式例1:求巧在直角坐標系中的展開式。ox oy oz ox oy ozox+6)(0dz dx7 7

5、 a%2 dy2 dz2一_V7 g例2：求V VA在直角坐標系中的展開式。 左+盲+左VA = Aex+ Aey +Ae.=vVdx x dy y dz z Ed _扇- dA dA xV-VA = (eY+ev + 丁匕)(. +亍 wv+亍匕)dx dy dz dx dy dz一空空空_ o I。十 o _ V 21dx2dydz2v va2a2a2v2V-V =+y = Vdx2dy2dz1a = 4乓+冬耳+ 4乙d2A d2Ax夕人324=e H e H e dx2 dx2 x dx2 y dx2 zw衛(wèi)少a2Av夕人 a a2Av a2xv a 夕人 羅人VVA = (+)匕+(

6、+)匕,+(+)乞dx。 切 dv dx dy dzdx 切 dz “= V2AA+V2A/y+V2A/z證明：Vx(Vf) = O“）=（軟+詁+詐（軟+袞+家）v軟M軟+李+家）三鵲仝討誌蠶yx（壬尼+d6+*dxdyS2f dydzvx(vy)= ossV(VX4)HO J 、e ,a1dy HV(VXA)“ (嚇 雪)(Ox 8 H 少鄉(xiāng) Mr)+ 1VXF(2e+【e+7exe+Ae+Ag) dy , dzF) + (一F +- + (一0 谿) $小 $ B 6A 、6A SJi y s )個 +(一 一)F- +(1 n 站) 谿 dy QA OA $ 6A g A H Ox a

7、 FFg(F譚F。dy / oz dx dz dx dydz6z:s-1 6A L0+-F) +、 6y oy2 Ji)f + ()0 Ox Qy zv(vxa)ho vx(yf)HO四、包含算子的恒等式(l)V(/ + g) = V/ + Vg V() = /Vg + gV/V(厶=冋-嚴(g工0)gg(4) V (A + B) = V- A + V- B(5) V -(fA) = fV-A + Vf-A(6) V(AxB) = B(VxA)-A(VxB)(7) V-V/=V2/(8) V-(VxA) = 0(9) V x(A + B) = VxA + VxB(10) V x(/A) = /V x A +Vf x A(1 1)Vx(AxB) = (BV)A-5(V.A)-(A-V)B + A(VB)(12)