2018版高中數(shù)學(xué)平面向量1平面向量基本定理導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修4

1、2.3.1平面向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3.會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題.0r問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一平面向量基本定理思考1如果ei,e2是兩個(gè)不共線的確定向量，那么與ei,e2在同一平面內(nèi)白任一向量a能否用ei,e表示？依據(jù)是什么？答案能.依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則.思考2如果ei,e2是共線向量，那么向量a能否用ei,e2表示？為什么？答案不一定，當(dāng)a與ei共線時(shí)可以表示，否則不能表示.梳理（i）平面向量基本定理：如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那

2、么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)入i,入2,使a=入iei+入2e2.（2）基底：不共線的向量ei,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底知識點(diǎn)二兩向量的夾角與垂直思考i平面中的任意兩個(gè)向量都可以平移至起點(diǎn)，它們存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？答案存在夾角，不一樣.思考2AB8正三角形，設(shè)AB=a,BCF=b,則向量a與b的夾角是多少？答案如圖，延長AB至點(diǎn)D,使AB=BD則Bb=a,ABC等邊三角形，ABG=60,則/CBD=i20,故向量a與b的夾角為i20.梳理（i）夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b,作OA=a,OB=b,則/AOB0（0&0i80）叫做向量

3、a與b的夾角（如圖所示）.b當(dāng)。=0時(shí)，a與b同向；當(dāng)。=180時(shí)，a與b反向.(2)垂直：如果a與b的夾角是90,則稱a與b垂直，記作ab.題型探究類型一對基底概念的理解例1如果ei,e2是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是()入ei+e2(入，F(xiàn))可以表不平面a內(nèi)的所有向量；對于平面“內(nèi)任一向量a,使a=入ei+科&的實(shí)數(shù)對(入，科)有無窮多個(gè)；若向量入e+與入2ei+科共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得入科=入(入七葉2e2)；若存在實(shí)數(shù)入，使得入ei+e2=0,則入=0.A.B.C.D.答案B解析由平面向量基本定理可知，是正確的；對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面

4、的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的；對于，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即入1=入2=科1=科2=0時(shí)，這樣的入有無數(shù)個(gè)，故選B.反思與感悟考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線.此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來跟蹤訓(xùn)練1若ei,&是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()A.e1e2,e2一e1C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1+e2,e1一e2答案D解析選項(xiàng)A中，兩個(gè)向量為相反向量，即e1-e2=-(e2-e1),則e1-e2,e2e1為共線向1量；選項(xiàng)B中，2ae2=2(e2),

5、也為共線向量；選項(xiàng)C中，6e1-4e2=-2(2e2-3e1),為共線向量.根據(jù)不共線的向量可以作為基底，只有選項(xiàng)D符合.類型二向量的夾角例2已知|a|=|b|=2,且a與b的夾角為60,設(shè)a+b與a的夾角為a,ab與a的夾角是3,求a+3.解如圖，作OA=a,OB=b,且/AO960,1B.2e1e2,e一天2以O(shè)AOB為鄰邊作？OACB則OG=a+b,BA=OA-OB=a-b,BC=OA=a.因?yàn)閨a|=|b|=2,所以O(shè)A斯正三角形，所以/OAB=60=/ABC即ab與a的夾角3=60.因?yàn)閨a|=|b|,所以平行四邊形OACB；菱形，所以O(shè)CLAB所以/COA90-60=30,即a+b

6、與a的夾角a=30,所以a+3=90.反思與感悟（1）求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出（2）特別地，a與b的夾角為0,入ia與入2b（入1、 入2是非零常數(shù)） 的夾角為。 %當(dāng)入i入20時(shí)，00=0.1一一,7跟蹤訓(xùn)練2已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn)，若AO=2（AB+AQ,則ABWAC勺夾角為答案90解析由AO=2（超硝知，O,B,C三點(diǎn)共線，且O是線段BC的中點(diǎn)，故線段BC是圓O的從而/BAC=90,因此AB111.BE=-A-b,CF=-B/A=-AEJ=-a.22222DE=DA+AB+BE=ANA母BE.1.1.=

7、b+a+2b=a2b,1BF=BOCF=ANCF=ba.2引申探究若本例中其他條件不變，設(shè)DE=a,BF=b,試以a,b為基底表示ABAb解取CF的中點(diǎn)G,連接EG.BG分別為BCCF的中點(diǎn)，f11EO產(chǎn)=b,.DG=DE+EG=a+2b.一33又.DG=-DG=7AR44AB=4DG=4（a+；b）=-a+|b.3323311又.AD=BC=BF+FC=BF+DC=BF+2AB.Ab=BC=b+於+|b）=3a+3b.反思與感悟?qū)⒉还簿€的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一種是利用向量的線性運(yùn)算及法則對所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性

8、求解.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在AO沖，OA=a,OB=b,MN分別是邊OAOB的點(diǎn)，且OM=：a,ON=1b,設(shè)ANW曲目交于點(diǎn)P,用基底a,b表示OP32n(QA-Ol)l1.,1.、1=/b+n(a-b)=2(1n)b+na.a,b不共線,11 加一加一m尸尸n，fn=5,；1即f2ijc-nrf!m=5.一12OP=5a+5b.當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列關(guān)于基底的說法正確的是（）平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底；基底中的向量可以是零向量；平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的A.B.C.D.答案C解析零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故錯(cuò)

9、，正確2 .在直角三角形ABC中，/BAG=30,則AfeBA勺夾角等于（）A.30B.60C.120D.150答案D解OAOMMpMONF寸POP=ONF設(shè)MP=mMBNP=nNA則=a+m(b3a)=3(1-n)a+nb,O解析由向量夾角定義知，AbrB的夾角為1503.已知向量ei,e2不共線，實(shí)數(shù)x,y滿足(2x3y)ei+(3x4y)&=6ei+3e2,則x=，y=.答案1512解析:向量ei,e2不共線,4.如圖所示，在正方形ABCD,設(shè)收a,Xb=b,Bb=c,則當(dāng)以a,b為基底時(shí)，成：可表示為,當(dāng)以a,c為基底時(shí)，AC可表示為答案a+b2a+cAC=AB+Ab=a+b,以a,c

10、為基底時(shí)將BD笄移，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，再由三角形法則和平行四邊形法則即可得到5 .已知在梯形ABC陰，AB/DC且AB=2CDE,F分別是b,試用a、b為基底表示DCBCEF解連接FDDC/ABAB=2CDE,F分別是DCAB的中點(diǎn),D微FB四邊形DCBF;平行四邊形.依題意，DCFB11U=_AB=_b,22BC=FD=AD-AF11.=AD-2AB=a2b,1EF=DF-DE=FD-DE=BC-2DC1111=一一2b廠/”=4規(guī)律與方法-11 .對基底的理解2x-3y=6,|3x-4y=3,x=-15,解得,y=-12.解析由平行四邊形法則可知,DCAB的中點(diǎn)，設(shè)AD)=a,AB=(1)

11、基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：基底是兩個(gè)不共線向量；基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底.2 .準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解， 即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕祝瑢栴}中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.設(shè)ei,e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()A.ei+e2

12、和ei金B(yǎng).3ei一4e2和6ei一8e2C.ei+2e2和2ei+eD.ei和ei+e2答案B解析B中，飛ei8e2=2(3ei4e2),，(6ei8e2)/(3ei4e2),3ei4e2和6ei8e2不能作為基底.2.若向量a與b的夾角為60,則向量一a與一b的夾角是()A.60B.i20C.30D.i50答案A3.如圖所示，用向量ei,e2表示向量ab為()A.一4ei一2e2B.一2ei一4e2C.ei3e2D.3eie2答案C解析如圖，由向量的減法得ab=AB由向量的加法得AB=ei3e2.4.設(shè)向量ei和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，若3xei+(10y)&=(4y7)ei+

13、2xe2,則實(shí)數(shù)y的值為()A.3B.4C.-1D.-344答案B解析因?yàn)?xei+(10y)e2=(4y7)ei+2xe2,所以(3x4y+7)ei+(i0-y-2x)e2=0,6.若D點(diǎn)在三角形ABCW邊BC上，且CD=4DB=rAB+sAC則3r+s的值為(答案C解析.Cb=4DB=rAB+sAC44又因?yàn)閑i和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以3x-4y+7=0,i0-y-2x=0,x=3,解得，y=4,故選B.5.若OP=a,OP=b,Pip=入PP(入 wi),則O由于()A.a+入bC.入a+b答案DB.入a+(i入)bD.-ai+入入i+入OF3-OP=X(OPOP,(i

14、+入)OP=OP+入OP,，OP=iMe,入 Me-OP+-OP=i+入i+入i入i+入a+1+入b.i6ATi28B.石C.5D.CD=5c氏5(AAAC=rAfe+sAC,sT-8.5557 .在平行四邊形ABC珅，AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段ODW中點(diǎn)，AE的延長線與C改于點(diǎn)F.若於a,BD=b,則融于（）11A.4a+2b21C.3a+3b答案C解析如圖，設(shè)是入CDAE=科靠,一11則CD=OD-OC=2b?故AF=AC+CF=（1一/）a+2入b.11大.AF=AE=（AOOE（1（111=27a+47b，二、填空題11B.5a+4b12D.-a+-b23=（-a+-b）a24由平面

15、向量基本定理,11.2入=43科=4,-AF=|a+3b,故選C.8.已知ei,e2不共線，a=ei+2e2,b=2ei+入e2,要使a,b能作為平面內(nèi)的一組基底，則若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線.a=ei+2e2,b=2ei+入由awkb,實(shí)數(shù)入的取值范圍為答案（一00,4）U（4,十0）解析即得 入W4.9.若|a|=|b|=|ab|=r(r0)，貝Ua與b的夾角為答案60/AO時(shí)a與b的夾角，由|a|=|b|=|ab|知4AOB為等邊三角形，所以/AOB=60又AC=a+b,2,2,、24AC=3(AE+AD，即入=3,，入+=3.三、解答題11.判斷下列命題的正誤，并說明理由

16、：(1)若aa+be2=ce1+d&(a、b、c、dCR,則a=c,b=d；(2)若e1和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么該平面內(nèi)的任一向量可以用e+e2、e一e2表不出來.解(1)錯(cuò)，當(dāng)a與e2共線時(shí)，結(jié)論不一定成立.(2)正確，假設(shè)e1+e2與ee2共線，則存在實(shí)數(shù)入，使e+e2=入(e1e?),即(1入)e1=一(1+入)e2.因?yàn)?入與1+入不同日為0,所以e與e2共線，這與e1,e2不共線矛盾.所以e+a與e1-e2不共線，即它們可以作為基底，該平面內(nèi)的任一向量可以用e1+e2、e1一e2表不出來.12.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量OAOBOC其中O*OB勺夾角為120。，OMOC

17、勺夾角為解析作OA=a,OB=b,則BA=a-b,10.如圖，在平行四邊形ABC珅，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AO入A日中入，答案解析設(shè)AB=a,ADb,貝UAE=2,1.a+b,AF=a+2b,30,且OA=|OB=1,|OC=243,若OC=入OAOB入，CR),求入十科的值.解如圖，以O(shè)AOB所在射線為鄰邊，08對角線作平行四邊形ODCE則OG=ODFOE在RtAOCDfr,-.IOC=2&/COD30,/OC&90,，IOD=4,|CD=2,故OD=40AOE=2OB即入=4,t=2,入+=6.-1_一，_DC_.、，AB/CDMN分別是DABC的中點(diǎn)，且=k.設(shè)AD=ei,A

18、B=62,以Bei,e2為基底表示向量DCBCMtN解方法一如圖所示,DC.-AB=62,且AB=k,.Db=kAB=ke2.一X/AB+BOCDFDA=0,-_BC=AB-CD-DA=AB+DOAD=ei+(k-1)e2.又.MNbNBB/VAM=0,且NB=-配AM=2AD,11.MN=AM-BA-NB=2/1AB+產(chǎn)k+1=-2_e2.方法二如圖所示，過C作C曰DA交AB于點(diǎn)E,交MNT點(diǎn)F.同方法一可得DC=ke2.13.在梯形ABCD,則BC=BE+EC=-(AB-DC+AD=e(k1)金,MN=MF斗系J=D2由=D1(危-而k+1Fe2.方法三如圖所示，連接MBMC同方法一可得DC=ke2,BC=ei+(k1)e2.1,1,1,k+1由MN=(MBbMC,得MN=2(MAFAB+MODC=(AB+DCn-2-e.四、探究與拓展14 .已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,向量a,b的夾角為120,且|b|=2|a|,則向量a與c的夾角為.答案90解析由題意可畫出圖形，在OABK因?yàn)?OAB=60,|b|=2|a|,所以/ABO=30,OALOB即向量a與c的夾角為90.15.設(shè)e1,e2是不共線的非零向量，且a=a2e2,b=e+3e2.(1)證明：a,b可以作為一組基底；(2)以a,b為基底，求向量c=3e1e2的分