初中數(shù)學：實際問題與二次函數(shù)-詳解與練習

1、2初中數(shù)學專項訓練：實際問題與二次函數(shù)、利用函數(shù)求圖形面積的最值問題一、圍成圖形面積的最值1、只圍二邊的矩形的面積最值問題例 1、(1)如圖 1，用長為 18 米的籬笆（虛線部分）和兩面墻圍成矩形苗 圃。設矩形的一邊長為 x （米），面積為 y （平方米），求 y 關于 x 的 函數(shù)關系式；當 x 為何值時， 所圍成的苗圃面積最大最大面積是多少 的代數(shù)式表示出矩形的長與寬。（米），則寬為（18- x）（2）分析：關鍵是用含 x 解：（1）設矩形的長為（米） ，根據(jù)題意，得:x(18 x)x218x；又x018x00 x x 18即當 yx(18x)x218x中,a= -1 y zz/J圖2(米

2、),根據(jù)題意，得:50 xx(丁)25x；又即當x0C x x 0,.y 有最小值，即當xb105甘時，y2 224ac b42 25 102252= 12,故兩個正方形面2a2min4a4 2積的和不可能是12cm2.練習 1、如圖，正方形 EFGH 的頂點在邊長為 a 的正方形 ABCD 的邊上，若 AE=x,正方形 EFGH 的面積為 y.(1)求出 y 與 x 之間的函數(shù)關系式；正方形 EFGH 有沒有最大面積若有，試確定E 點位置；若沒有，說明理由故當 x=25 米時，養(yǎng)雞場的面積最大，養(yǎng)雞場最大面積為由題意解得:Xi16,x24二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題例題 1 如圖（

3、1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在 I 時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面 2m ,水面寬 4m .如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關系式是 _ .12y = _ _x.2【解析】試題分析：由圖中可以看出，所求拋物線的頂點在原點，對稱軸為 用待定系數(shù)法求解試題解析：設此函數(shù)解析式為：y二ax2,a 1 0；那么（2, -2）應在此函數(shù)解析式上.則-2 = 4a1即得a = -1,212那么y = - x.2考點：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式練習 1某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA, O 恰在水面中心，安置在柱子頂端 A 處的噴頭向外噴水， 水流

4、在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過 OA 的任一平面上，拋物線形狀如圖（1）所示圖（2）建立直角坐標系，水流噴出的高度y （米）與水平距離 x （米）之間的關系（1）柱子 OA 的高度是多少米（2）噴出的水流距水平面的最大高度是多少米（3）若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外2 .一座橋如圖，橋下水面寬度 AB 是 20 米，高 CD 是 4 米.要使高為 3 米的船通過，則其寬度須不超過多少y 軸，可設此函數(shù)解析式為：y=ax2,利圖（1）圖35, a 10 0,b2a(1) 如圖 1,若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系iDE* y/AC(

5、0)e 1求拋物線的解析式;要使高為 3 米的船通過，則其寬度須不超過多少米要使高為 3 米的船通過，則其寬度須不超過多少米三、禾I用拋物線解決最大利潤問題例題 1 某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè). 李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件 售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量 y(件)與銷售單價 x(元)之間的關系可近似的看做一次函數(shù):(1 )設李明每月獲得利潤為 w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤(2)如果李明想要每月獲得2 000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元(3 分)20 元的護眼臺燈.銷y = 10 x + 500.6 分)(3)物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32

6、 元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元(成本=進價 埒肖售量)(3 分)答案：(1) 35; (2) 30 或 40; (3) 3600.【解析】試題分析：(1)由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數(shù),根據(jù)利潤=(定價-進價)沌肖售量，從而列出關系式； (2)令 w=2000 ,然后解一元二次方程，從而求出銷售單價；(3)根據(jù)函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最低成本即可.試題解析：(1)由題意得出：W x 20 y x 20 10 x 50010 x2700 x 10000,米.部分當銷售單價定為 35 元時，每月可獲得最大利潤

7、.（2） 由題意，得：10 x2700 x 10000 2000,解這個方程得： xi=30，x2=40.李明想要每月獲得 2000 元的利潤，銷售單價應定為30 元或 40 元.（3）Ta10 0，拋物線開口向下 當 30Wxw4 時,W2000. /x 32 當 30wx3000的代數(shù)式填表：租出的車輛數(shù)_ 未租出的車輛數(shù)_租出每輛車的月收 _所有未租出的車輛每月的維護 _益費(3) 若你是該公司的經(jīng)理，你會將每輛車的月租金定為多少元，才能使公司獲得最大月收益請求出公司的 最大月收益是多少元.初中數(shù)學專項訓練：實際問題與二次函數(shù)參考答案一、1(1) y=2x2-2ax+a2(2)有當點 E

8、 是 AB 的中點時，面積最大【解析】本題考查了二次函數(shù)的應用(1)先由AAS 證明 AEFADHE,得出 AE=DH=x 米，AF=DE= (a-x)米，再根據(jù)勾股定理，求出E 巴即可得到 S 與 x 之間的函數(shù)關系式；(2) 先將(1)中求得的函數(shù)關系式運用配方法寫成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.解：T四邊形 ABCD 是邊長為 a 米的正方形，/A=ZD=9C , AD= a 米.四邊形 EFGH 為正方形，/FEH=90 , EF=EH在厶 AEF 與厶 DHE 中，/A=ZD, /AEF=ZDHE=90-DEH, EF=EHAEFADHE(AAS), AE=DH=x 米, A

9、F=DE=(a-x)米，- y=EF2=A+AF2=x2+ ( a-x)2=2x2-2ax+ a2,2即 y=2x2-2ax+ a2；(2)Ty=2x2-2ax+ a2=2 (x-)2+旦24當 x=a時，S 有最大值.2故當點 E 是 AB 的中點時，面積最大.二、練習 1595（1）（2）（3）442【解析】本題考查了二次函數(shù)的應用（1） 本題需先根據(jù)已知條件把 x=0 代入拋物線的解析式，從而得出y 的值，即可求出答案.（2）通過拋物線的頂點坐標求得（3） 本題需先根據(jù)已知條件把 y=0 代入拋物線求出所要求的式子，再得出x 的值，即可求出答案.解：（1 ）把 x=0 代入拋物線的解析式

10、【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可； 根據(jù)題意得出 y=3 時，求出 x 的值即可;（2）構造直角三角形利用 BW2=BC?+CW2，求出即可；在 RT WGF 中，由題可知， WF=, WG=-仁，根據(jù)勾股定理知： GF2=WF2- WG2,求出即可.5得：y=，即柱子4(2)由題意得：當5OA 的高度是42x=1)=1時，y=4,即水流距水平面的最大高度(3)得:把 y=0 代入拋物線25x 2x=0,解得,4X1=丄（舍去，不合題意）,25X2=2故水池的半徑至少要5米才能使噴出的水流不至于落在池外22. (1)y25X24；10；(2)；4 7.試題解析： （1）2

11、axc,橋下水面寬度AB 是 20 米，高 CD 是 4 米， A (-100a10, 0), B( 10, 0), D (0, 4), c 4,解得:25，412拋物線解析式為：y4;要使高為 3 米的船通過，y 3，則312x25解得:x 5, EF=10 米;（2）設圓半徑 r 米，圓心為W, BWBG+CW,-r2(r 4)2102，解得：r 14.5； 在 RTAWGF 中，由題可知， WF=, WG=-仁，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2- WG2, 即卩 GR=- =28,所以GF=27，此時寬度 EF=4、7米.考點：1二次函數(shù)的應用；2 垂徑定理的應用.三、1. (1) y=-

12、3x+240; (2)w=-3x2+360 x-9600; (3)定價為 55 元時，可以獲得最大利潤是1125 元.【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意知銷售量y(只)與銷售價 x(元/只)之間的函數(shù)關系式為 y=90-3 ( x-50) =-3x+240;根據(jù)“總利潤=每件商品的利潤X銷售量”可知w= (x-40) y= (x-40) (-3x+240) =-3x2+360 x-9600 ;求獲得最大利潤，也就是求函數(shù)W=-3X2+360X-9600 的最大值.試題解析：(1) y=90-3 (x-50)即 y=-3x+240;(2) w= (x-40) y= (x-40) (-3x+240)

13、 =-3x2+360 x-9600;當 xw60, y 隨 x 的增大而減小，當 x=55 時，w最大=1125所以定價為 55 元時，可以獲得最大利潤是1125 元.考點：(1) 一次函數(shù)；(2) 二次函數(shù).2. (1)w 2x2120 x 1600; (2)該產(chǎn)品銷售價定為每千克30 元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤 200 元.【解析】試題分析：(1)根據(jù)銷售額=銷售量X肖售價單 X,列出函數(shù)關系式；(2)用配方法將(2)的函數(shù)關系式變 形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值.試題解析:(1)由題意得：wx20 yx 20 2x 802x2120 x 1600， w 與 x 的函數(shù)關系式為：

14、w2x2120 x1600.(2)w2x2120 x16002 x230200，- 2V0 ,當 x=30 時，w 有最大值.w 最大值為 200.答：該產(chǎn)品銷售價定為每千克30 元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200 元.考點：1.二次函數(shù)的應用；2由實際問題列函數(shù)關系式；3二次函數(shù)的最值.3 .見解析【解析】 試題分析：(1)因為當 x=1 時，y=；當 x=3 時，y=,代入y ax2bx(2)設購進 A 產(chǎn)品 m 噸，購進 B 產(chǎn)品(10-m )噸，銷售 A、B 兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為W 元，根據(jù)題意可列函數(shù)關系式為：W=+ (10-m) =+3= ( m-6)2+，因為 0，根

15、據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知當m=6 時，W 有m a b 1.4a0.得解得9a 3b 3.6b1.5，所以，二次函數(shù)解析式為y=+;最大值，試題解析：(1)：當 x=1 時，y=;當 x=3 時，y=，a b 1.49a 3b 3.6所以，二次函數(shù)解析式為 y=+；3 分(2)設購進 A 產(chǎn)品 m噸，購進 B 產(chǎn)品(10-m)噸，銷售 A、B 兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為W 元，則 W=+( 10-m) =+3=( m-6)2+，/ 0,當 m=6 時，W 有最大值，購進 A 產(chǎn)品 6 噸，購進 B 產(chǎn)品 4 噸，銷售 A、B 兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是萬元.考點： 1 .待定系數(shù)法求解析式

16、 .2.二次函數(shù)性質(zhì) .4.(1)政府這個月為他承擔的總差價為600 元；(2)當銷售單價定為 30 元時，每月可獲得最大利潤 4000；(3)銷售單價定為 25 元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500 元.【解析】試題分析：(1)根據(jù)每月銷售量y(件)與銷售單價X(元)之間的關系可求得每月銷售量，又由單價和 成本間關系得到每件節(jié)能燈的差價，則可得到總差價 .(2)求每月可獲得最大利潤，即為求該二次函數(shù)的最 大值，將二次函數(shù)配方法，可得該函數(shù)的最大值.(3)w 3000同時滿足x 25，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)知道，k 0 隨 x 的增大而減小，當 x = 25 時，該函數(shù)有最大值時，p有最小

17、值 500.試題解析：(1)當 x= 20 時，y 10 x 50010 20 500 300， 300?(12 10)= 300? 2 600，政府這個月為他承擔的總差價為 600 元。22(2) 依題意得，w= x-1010 x+ 500 = 10 x2+ 600 x- 5000= -10 x-302+4000，Q a= - 10 0，當 x= 30 時，w有最大值 4000.當銷售單價定為 30 元時，每月可獲得最大利潤 4000.(3)由題意得：10 x2+ 600 x-5000 3000，解得： x1= 20 ， x2= 40.Q a= - 10 300Q設政府每個月為他承擔的總差價

18、為p元，p 12 1010 x 50020 x 1000.Q k = - 20 0 ,p隨 x 的增大而減小.當 x= 25 時，p有最小值 500.銷售單價定為 25 元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500 元.解得0.11.5II3000LZA o直線x=3025.( 1) (220 10 x); (2)w 10 x320 x 2200(3)當 x=14 時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大是 320 元.【解析】試題分析：用含x的式子表示文具店這種簽字筆平均每周的銷售量為(220 10 x)個，列出函數(shù)關系式w (220 10 x)( x 10)，再運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，由題意可知10 x 14所以 x=14時，W最大為 320.試題解析：(1) (220 10 x);(2)w (220 10 x)(x 10)3 分10 x2320 x 22005 分w10 x2320 x 220010(x 16)23606 分由題意可知10 x 14,9 分當 x=14 時，w w最大為 320.當 x=14 時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大是320 元.考點：1.根據(jù)實際問題列函數(shù)關系式