2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教B版必修第一冊(cè)學(xué)案：3.2 第1課時(shí)　函數(shù)的零點(diǎn)、二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系 Word版含解析

1、3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系素養(yǎng)目標(biāo)定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1結(jié)合學(xué)過(guò)的函數(shù)圖像，了解函數(shù)零點(diǎn)、方程的解與不等式的關(guān)系2結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖像的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，了解用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值具有一般性.本節(jié)在學(xué)習(xí)中首先利用方程的解引出函數(shù)的零點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象，再把函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解與函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)三者統(tǒng)一，結(jié)合函數(shù)的圖像及性質(zhì)會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.第1課時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)、二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系必備知識(shí)探新知基礎(chǔ)知識(shí)1函數(shù)的零點(diǎn)(1)零點(diǎn)的概念：如果函數(shù)yf(x)在實(shí)數(shù)_a處的函數(shù)值等于0_，即_f(a)0_，則a為函數(shù)f(x)的零

2、點(diǎn)(2)零點(diǎn)的意義思考1：(1)函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？(2)所有的函數(shù)都有零點(diǎn)嗎？提示：(1)函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)如函數(shù)f(x)x1的零點(diǎn)是1，而不是(1,0)(2)并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn)，如函數(shù)f(x)，yx21均沒(méi)有零點(diǎn)2二次函數(shù)的零點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系設(shè)f(x)ax2bxc，方程ax2bxc0(a0)的判別式b24ac判別式000方程f(x)0的根有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解x1，x2沒(méi)有實(shí)數(shù)解函數(shù)yf(x)的圖像f(x)0的解集_x|xx1或xx2_x|x_r_f(x)0的解集_x|x1xx2_思考2：二次函數(shù)f(x)ax2bxc中，二次項(xiàng)系數(shù)a0

3、時(shí)，怎樣求不等式f(x)0的解集？提示：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a0)的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解；也可以畫出二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)的函數(shù)圖像，再求解基礎(chǔ)自測(cè)1函數(shù)yx22x的零點(diǎn)是(a)a0,2b2,0c1,0d1,0解析：函數(shù)yx22x的零點(diǎn)就是方程x22x0的實(shí)數(shù)根，解x22x0，得x10，x22.故選a2已知二次函數(shù)f(x)ax26x1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(a)aa9且a0ba9ca0或a9且a0.3下列各圖像表示的函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)的是(d)解析：選項(xiàng)d中，函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故該函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)4不等式9x26x10的解集是_x|x_.解析：不等式可化為(

4、3x1)20，因此只有x，即解集為.5若函數(shù)f(x)x2axb的零點(diǎn)是2和4，則a_2_，b_8_.解析由題意可知，2和4是方程x2axb0的兩根，.關(guān)鍵能力攻重難類型求函數(shù)的零點(diǎn)典例剖析_典例1求下列函數(shù)的零點(diǎn)：(1)yx1；(2)yx2x6.思路探究：把每一個(gè)函數(shù)解析式因式分解，化為幾個(gè)因式之積的形式，最好為一次因式，然后令每一個(gè)因式等于零再解解析：(1)令yx10，得x1，函數(shù)yx1的零點(diǎn)是1.(2)yx2x6(x3)(x2)，令(x3)(x2)0，得x2或x3，函數(shù)yx2x6的零點(diǎn)是2和3.歸納提升：函數(shù)零點(diǎn)的求法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根(2)幾何法：對(duì)于不能用求根公式

5、的方程f(x)0，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖像聯(lián)系起來(lái)，圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練_1求函數(shù)y(ax1)(x2)的零點(diǎn)解析：當(dāng)a0時(shí)，y(x2)，令y0；得x2；當(dāng)a0時(shí)，令y0，得x1，x22.當(dāng)2，即a時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為2.當(dāng)2，即a時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為，2.綜上所述，當(dāng)a0或時(shí)，所求函數(shù)的零點(diǎn)為2，當(dāng)a0且a時(shí)，所求函數(shù)的零點(diǎn)為，2.類型零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷典例剖析_典例2判斷下列函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：(1)f(x)x27x12；(2)f(x)x2；(3)f(x)思路探究：由題目可知：(1)中f(x)為二次函數(shù)，解答本題可直接判斷對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的個(gè)數(shù)；(2)中求函數(shù)的零點(diǎn)可直接解

6、相應(yīng)的方程或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟知的基本初等函數(shù)yx2與y，看兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可(3)分段函數(shù)求零點(diǎn)在每段上分別求出即可解析：(1)由f(x)0，即x27x120得4941210，方程x27x120有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根3,4，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別是3,4.(2)解法一：由f(x)0，得x20，0，x310且x0，x1.故函數(shù)f(x)x2只有一個(gè)零點(diǎn)解法二：由x20，得x2.令h(x)x2(x0)，g(x)，在同一坐標(biāo)系中畫出h(x)和g(x)的圖像，由圖可知兩函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)x2只有一個(gè)零點(diǎn)(3)當(dāng)x0時(shí)，令f(x)0，得x10，解得x1，與x0矛盾；當(dāng)x0時(shí)，令f(

7、x)0，得x10，解得x1，與x0矛盾，函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)歸納提升：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)解方程法：轉(zhuǎn)化為解方程f(x)0，方程有幾個(gè)根，函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)圖像交點(diǎn)法：畫出函數(shù)yh(x)與yg(x)的圖像，根據(jù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程h(x)g(x)有幾個(gè)根，或函數(shù)yh(x)g(x)有幾個(gè)零點(diǎn)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練_2已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x1)21，則滿足ff(a)的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為(d)a2b4c6d8解析： 作出f(x)的圖像，如圖，令f(t)，結(jié)合圖像知，t有4個(gè)值，記為t1，t2，t3，t4，易知2t11，1t20,0t31,1t42.觀察圖像可知，f(a)t1有2個(gè)實(shí)

8、根，f(a)t2有2個(gè)實(shí)根，f(a)t3有4個(gè)實(shí)根，f(a)t4沒(méi)有實(shí)根，故f(a)ti(i1,2,3,4)共有8個(gè)實(shí)根，即滿足ff(a)的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為8.類型已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)典例剖析_典例3已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2|x1|xa，若函數(shù)yf(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(1，)_.思路探究：把函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y2|x1|x與ya的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求出參數(shù)a的范圍解析：函數(shù)f(x)2|x1|xa有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y2|x1|x與ya有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)分別作出函數(shù)y2|x1|x與ya的圖像，如圖所示由

9、圖易知，當(dāng)a1時(shí)，兩函數(shù)的圖像有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，)歸納提升：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)的方法1直接法：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，通過(guò)解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍2數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)f(x)的解析式變形，將f(x)0轉(zhuǎn)化為h(x)g(x)(h(x)，g(x)的圖像易畫出)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)h(x)，g(x)的圖像，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練_3已知函數(shù)f(x)若方程f(x)有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(b)a(1,2b1，)c1,2)d1,2解析：當(dāng)x2時(shí)，令(x1)2，解得x11，x21，故f(x)在x2時(shí)有兩

10、個(gè)不同的實(shí)根又方程f(x)有三個(gè)不同的實(shí)根，則x2時(shí)，f(x)有一個(gè)實(shí)根，由f(x)，得x2k2，所以k1.類型解簡(jiǎn)單的高次不等式典例剖析_典例4求函數(shù)f(x)(x2)(2x1)(3x7)(x3)的零點(diǎn)，并作出函數(shù)的圖像的示意圖，寫出不等式f(x)0和f(x)0的解集解析：函數(shù)的零點(diǎn)為3，2，函數(shù)的定義域被這四個(gè)點(diǎn)分為五部分，每一部分函數(shù)值的符號(hào)如下表：x(，3)f(x)所以函數(shù)的示意圖如圖：根據(jù)函數(shù)的圖像，知不等式f(x)0的解集為(，3，不等式f(x)0的解集為.歸納提升：解簡(jiǎn)單高次不等式的一般步驟(1)將不等式右邊化為0，左邊分解因式(2)計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的根，求出函數(shù)的零點(diǎn)(3)列表，判斷

11、函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)(4)根據(jù)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)，畫出函數(shù)的示意圖(5)根據(jù)函數(shù)圖像與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練_4求函數(shù)f(x)(x2)(3x2)(2x4)的零點(diǎn)，并作出函數(shù)的圖像的示意圖，寫出不等式f(x)0和f(x)0的解集解析：函數(shù)的零點(diǎn)為2，2，函數(shù)的定義域被這三個(gè)點(diǎn)分為四部分，每一部分函數(shù)值的符號(hào)如表：x(，2)f(x)所以函數(shù)的示意圖如圖：根據(jù)函數(shù)的圖像，知不等式f(x)0的解集為(，2)，不等式f(x)0的解集為(2，)類型一元二次方程根的分布問(wèn)題典例剖析_典例5關(guān)于x的一元二次方程x2(m1)x10在區(qū)間0,2上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析：設(shè)f(x)x

12、2(m1)x1，x0,2，若f(x)0在區(qū)間0,2上有一個(gè)實(shí)數(shù)解，f(0)10，f(2)0或又f(2)22(m1)21，m.若f(x)0在區(qū)間0,2上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則即m1.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m|m1對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練_5若函數(shù)f(x)ax2x1的負(fù)零點(diǎn)有且僅有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析：當(dāng)a0時(shí)，f(x)x1，令f(x)0，得x1，符合題意；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)圖像開口向上，又f(0)10，結(jié)合二次函數(shù)的圖像知符合題意；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)圖像開口向下，又f(0)10，x0，從而有14a0，即a.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.課堂檢測(cè)固雙基1函數(shù)yx22x3的零點(diǎn)是(d)a(1,0)，(3,0)bx1cx3d1和3解析：令x22x30得(x3)(x1)0，所以x11，x23.2關(guān)于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)的條件是(d)abcd解析：由于不等式ax2bxc0的解集為全體實(shí)數(shù)，所以與之相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)yax2bxc的圖像恒在x軸下方，則有3二次函數(shù)yx24x3在y0時(shí)