2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第12章選修4系列第2講參數(shù)方程講義理含解析

1、高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第12章選修4系列：第2講參數(shù)方程考綱解讀了解參數(shù)方程及參數(shù)的意義，掌握直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，并能利用參數(shù) 方程解決問題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）考向預(yù)測從近三年高考情況來看,本講是高考中的一個(gè)必考點(diǎn)""".""預(yù)測2020年將會(huì)考查: 參數(shù)方程與普通方程的互化及直線與橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用基礎(chǔ)知識過關(guān)1 .曲線的參數(shù)方程般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y都是某個(gè)變數(shù)t的函nd X=f t , 數(shù)01y=g t,并且對于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)Mx, y）都14x, y的變數(shù)t叫做在這條曲線上，那么

2、這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) 參變數(shù)，簡稱參數(shù).2 .常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡 普通方程參數(shù)方程才=1I Zcosa »直線 y-義=tamiQ一q） I, ? = %+山門口（t為參數(shù)）惻卜=9如（6為參數(shù)）y= rsin.0橢圓 與+ 3= 1 00）工sp為參數(shù)）才 勿I尸Mny提醒：直線的參數(shù)方程中，參數(shù) t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點(diǎn) Mx, y）到M（xo, yo）的距離.口診蜥口必1.概念辨析(t為參數(shù))的傾斜角a為30° .(x = 2 + t cos30直線y= 1+ tsin150 &

3、#176;(2)過點(diǎn)M(X0, yo),傾斜角為X= Xo+ t COS a , a的直線l的參數(shù)方程為(t為參y= yo+tsin a數(shù)).參數(shù)t的幾何意義表示：直線 l上以定點(diǎn)M為起點(diǎn)，任一點(diǎn) M(x, y)為終點(diǎn)的有向線段M0M的數(shù)量.()x = 2cos 0 ,(3)方程表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.()y=1+2sin 0(4)已知橢圓的參數(shù)方程x= 2cost , y = 4sin t(t為參數(shù))，點(diǎn)Ml在橢圓上,對應(yīng)參數(shù)t7t針點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM勺斜率為3.()答案 (1)， (2) V V X2 .小題熱身x = 1 + 2t ,(1)若直線的參數(shù)方程為(t為參

4、數(shù))，則直線的斜率為y=2-3t答案2x= 1 + 2t , 解析因?yàn)閥=2-3t,所以3x+2y= 7,此直線的斜率為x = 5cos 0 .(2)橢圓(0為參數(shù))的離心率為y = 3sin 0答案5解析x=5cos 9 , 將 C . Cy=3sin 022消去參數(shù)e ,得橢圓2+y=1.25 9所以 a2= 25, b2= 9, c2= a2 b2= 16,所以 a=5, b= 3, c=4,所以離心率C 4a-5.x= sin 9 ,(3)曲線C的參數(shù)方程為(0為參數(shù))，則曲線C的普通方程為y = cos2 0 + 1答案 y=2-2x2(-1< x<1)解析x=sin 0

5、 ,由y= cos2 9 +1(e為參數(shù))消去參數(shù)8 ,得 y= 2-2x2(-1< x< 1).經(jīng)典題型沖關(guān)題型一參數(shù)方程與普通方程的互化多維探究【舉例說明】x = 2 + t,x = 3cos a ,1 .求直線（t為參數(shù)）與曲線（a為參數(shù)）的交點(diǎn)個(gè)數(shù).y = 1 ty= 3sin ax= 2 +1 ,解將消去參數(shù)t得直線x+y1 = 0；y= - 1 -tx= 3cos a , 將y= 3sin a消去參數(shù)a ,得圓x2+y2=9.又圓心（0,0）到直線x+y1 = 0的距離d = *<3.因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn).2 .如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角0為

6、參數(shù)，求圓x2+y2x=0的參數(shù)方程.1解如圖，圓的半徑為2,1記圓心為。2, 0 ,連接cp則/ PCx= 2 0,112故 Xp= 2+2cos2 0 = cos 0 ,1 .yp= 2sin2 0 = sin 0 cos 0 ( 0 為參數(shù)).2 Ax= cos 0 , 所以圓的參數(shù)方程為(e為參數(shù)).y = sin 0 cos 0(a為參數(shù))”改為X= 3cos a ,條件探究 把舉例說明1中“曲線 y=3sin ax= 1 sin2 9 ,“其他條件不變，求兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo).y= sin 0 + cos 0 .解 由(sin 0 + cos 0 ) 2= 1 + sin2 0 =

7、2 (1 sin2 8 ),得y2= 2-x.又因?yàn)?x=1-sin2 0 £ 0,2,所以所求普通方程為y2= 2-x, xC 0,2x+y 1 = 0,解方程組y2 _2_ x得xTxT，1乖V= 2又因?yàn)榘薬©,所以交點(diǎn)坐標(biāo)為y, t .I【據(jù)例說法】1 .參數(shù)方程化為普通方程基本思路是消去參數(shù)， 常用的消參方法有：代入消元法；加減消元法；恒等式(三 角的或代數(shù)的)消元法；平方后再加減消元法等.其中代入消元法、加減消元法一般是利 用解方程組的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2 e + cos2 e = 1等.2 .普通方程化為參數(shù)方程(1)選擇參數(shù)的一般原則曲線

8、上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對簡單；當(dāng)參數(shù)取某一值時(shí)， 可以唯一確定x, y的值.(2)解題的一般步驟第一步，引入?yún)?shù)，但要選定合適的參數(shù)t;第二步，確定參數(shù)t與變量x或y的一個(gè)關(guān)系式* = "。(或丫=()(1)；第三步，把確定的參數(shù)與一個(gè)變量的關(guān)系式代入普通方程F(x, y) = 0,求得另一關(guān)系y= g(t)(或x=(Ht),問題得解.【鞏固遷移】3（t為參數(shù)），與曲線 C：x = 1 + W，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l :4y=5t2x= 4k ,（k為參數(shù)）交于A, B兩點(diǎn)，求線段 AB的長.y= 4k解 將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得 4x-3

9、y=4,將曲線C的參數(shù)方程化為普通4x-3y=4,方程，得y2=4x,聯(lián)立方程2y = 4x,x = 4, 解得y= 41x = 4，y = - 1.1 ，一1 ，一所以 A(4,4) , B4, - 1 或 A 4, 1 , B(4,4)所以 AB=、4 4 4 之+4+ 12=.題型二參數(shù)方程的應(yīng)用多維探究【舉例說明】角度1利用參數(shù)方程解最值問題x= cos 0 ,1.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線G的參數(shù)方程為（0 0,2兀）,曲y= 3sin 0x= - 2 + t cos線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.y=t sin（1）求曲線G, G的普通方程；（2）求曲線G上一點(diǎn)P到曲線G的距

10、離的最大值.解（1）由題意知，曲線 C的普通方程為x2+y9=1, 9曲線Q的普通方程為 3x+y+2d3=0.（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cos a , 3sin a）,則點(diǎn)P到直線Q的距離| 'x/scos a + 3sin a + 2V3|d=2 .ina + " + 252, 兀一兀一廠所以當(dāng) sin a + = 1, gp 0C 時(shí)，dmax= 2M3,即點(diǎn)P到曲線G的距離的最大值為 2p<角度2參數(shù)幾何意義的應(yīng)用x = 2cos 0 ,2. (2018 全國卷n )在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(0y=4sin 9x = 1 +1 cos a , 為參數(shù)

11、)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).y=2+tsin a(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.22解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為 t+y7=1.4 16當(dāng)cos a wo時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y=tan a x+2 tan a ,當(dāng)cos a = 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x= 1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1 +3cos2a )t2 +4(2cos a +sin a)t 8=0.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為 t1, t2,則 t 1 + t 2= 0.4 2co

12、s a + sin a又由得t 1 + t 2= .221 + 3cos a故2cos a + sin a = 0,于是直線l的斜率k= tan a = - 2.【據(jù)例說法】x = Xo+ t cos a ,1 .設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線的參數(shù)方程在交點(diǎn)問y = yo+tsin a題中的應(yīng)用(1)若M, M是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，對應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2,則1MM| MM2| = 111t 2| ,|MM| = | 12 -11| = 7 tz+ 11 2 4t 1t2.(2)若線段MM的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M, M, M3對應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2, t3,則t3=±2&a

13、mp; (3)若直線l上的線段 MM的中點(diǎn)為 M(x。，yo),則11 + t2= 0, 11t2<0.2 .圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用有關(guān)圓或圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解.提醒：對于形如 X-X0+at，(t為參數(shù))，當(dāng)a2+b2wi時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才y = yo + bt能利用t的幾何意義解題.【鞏固遷移】1.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為P =2,在以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)Q極軸為X軸的y=x =（t為參數(shù)）.（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;x = cos a ,(2)已知曲線Wy

14、=2sin a（a為參數(shù)），若M為曲線W上任意一點(diǎn)，求M到直線l的最小距離.x= 2 t，解由y= 34+t（t為參數(shù)）消去參數(shù)t,得y= x+3/5.即直線l的普通方程為x-y+ 3-/5= 0.因?yàn)?p2=x2+y2,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2 = 4.（2）由已知可設(shè) M（cos a , 2sin a ）（ a為參數(shù)），則點(diǎn)M到直線l的距離|cos a 2sin a + 3aJ5| 乖cos啦 = 取35=7W.：2所以點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為2. （2018 河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”二模x= a+ t，Ra, 1),其參數(shù)方程為y= 1 + 嗎(其中 tan 3=2),）在

15、平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線（t為參數(shù)，ae R） .以O(shè)為極點(diǎn)，x軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 P cos2 e +4cos e P = 0.(2)求曲線。的普通方程和曲線 G的直角坐標(biāo)方程；已知曲線G與曲線。交于A B兩點(diǎn)，且|AB = 8,求實(shí)數(shù)a的值.x= a+方t ,（1）二,曲線C1的參數(shù)方程為廣,2y=1+ 2 t（t為參數(shù)，aCR）,G過點(diǎn)軸的正半，曲線G的普通方程為x-y-a+ 1 = 0.;曲線C2的極坐標(biāo)方程為p cos2 0 + 4cos 0 p=0,正半軸建立的平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為P cos 8 + 4 p cos 8 p =0

16、,，x + 4x x y = 0, 即曲線G的直角坐標(biāo)方程為y2=4x.(2)設(shè)A, B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為ti, t2,2y =4x,得 t22A/2t + 28a= 0. = ( 2也)2 4(2 8a)>0,即 a>0,t 1 + t 2= 2f2 , Y根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知t it 2= 2 8a,| AB = 111 12| =弋 11 +12 2 4t it 2 =北8- 8 1 4a- = 32a= 8, a= 2.題型三極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【舉例說明】 _ . _ 兀(2019 貴州聯(lián)考)已知在一個(gè)極坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為2, y .(1)

17、求出以C為圓心，半徑長為 2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)；(2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，Q5, ，3), M是線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的普通方程.解(1)如圖，設(shè)圓C上任意一點(diǎn).一_ _兀 .一兀N0, 8 ),則/ AOC= 0 不或至。.33由余弦定理得，.2.八.4+ p -4 p cos 0 - V =4,3-一一 兀所以圓C的極坐標(biāo)萬程為 P = 4cos e -.(2)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1 , 3),可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)F(1 +2cos a , V3 +2sin

18、 a),又令Mx, y),由Q5,-4),M是線段PQ的中點(diǎn)，得點(diǎn) M的軌跡的參數(shù)方程為6 + 2cos a x=,2x = 3 + cos a ,(a為參數(shù))，即y 2sin ay=sin a(a為參數(shù))，點(diǎn)M的軌跡的普通方程為(x3)2+丫2=1.I【據(jù)例說法】極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的解題策略(1)求交點(diǎn)坐標(biāo)、距離、線段長.可先求出直角坐標(biāo)方程，然后求解.(2)判斷位置關(guān)系.先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程，然后再作出判斷.(3)求參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合的問題.一般是先將方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直 角坐標(biāo)方程來研究問題.【鞏固遷移】x= 2+ t ,(2017 全國卷出)在直角坐標(biāo)系 xOy中，直線11的參數(shù)方程為(t為參y= ktx = 2+ rm數(shù))，直線12的參數(shù)方程為m( m為參數(shù)).設(shè)l 1與12的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化y = k時(shí)，P的軌跡為曲線C(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l 3： p (cos 0 +sin 0 )-表=0, M為l3與C的交點(diǎn)，求 M的極徑.解(1)消去參數(shù)t得11的普通方程l1： y=k(x 2)；，, 一 ，一、1消去參數(shù)m得12的普通萬程12 ： y=k( x+