宇宙速度的正確認(rèn)識(shí)

1、宇宙速度的正確認(rèn)識(shí)江蘇省南通市第二中學(xué)陳雅在天體運(yùn)動(dòng)和衛(wèi)星發(fā)射中，宇宙速度是個(gè)非常重要的概念。一般教材中都給出了三個(gè)宇宙速度的定義和數(shù)值：第一宇宙速度（亦稱環(huán)繞速度）是指物體（衛(wèi)星）離開地面繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的最小發(fā)射速度，大小為；第二宇宙速度(亦稱脫離速度)是物體掙脫地球引力的束縛而成為繞太陽運(yùn)行的人造行星，或飛到其他行星上去的飛船所具有的最小速度，大小為；第三宇宙速度(亦稱逃逸速度)是物體要進(jìn)一步掙脫太陽的引力束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去所必須具有的最小速度，大小為。本文將對(duì)這三個(gè)宇宙速度的推導(dǎo)過程及所涉及的參考系等問題進(jìn)行闡述。由于一般教材中都對(duì)第一宇宙速度的推導(dǎo)有詳細(xì)的解釋，所以

2、本文對(duì)此略過。 1第二宇宙速度的推導(dǎo) 11利用功能關(guān)系推導(dǎo) 一個(gè)航天器在它的燃料燒完后脫離地球的過程中，該系統(tǒng)符合機(jī)械能守恒的條件。物體在地面開始運(yùn)動(dòng)到脫離地球引力范圍（相當(dāng)于上升到無限遠(yuǎn)處）的過程中，克服引力做功，動(dòng)能減少，所以初始動(dòng)能必須不小于脫離過程中克服引力所做的功。  但同一物體在不同高度處所受地球引力并不相等，隨著物體高度的增加，地球引力將逐漸減弱。因此，功的數(shù)值不是簡單地用就可以計(jì)算的。這里介紹兩種方法，一是用元功積分的思想，二是用微分的思想。  方法一：根據(jù)萬有引力定律，如果用G表示萬有引力恒量，M表示地球的

3、質(zhì)量，m表示物體的質(zhì)量，r表示物體離地心的距離，R為地球半徑。則物體在離地心r處所受地球引力為，則在物體上升dr的過程中，克服引力做功為   對(duì)上式積分，積分限為從R積到， 所以， 結(jié)合、可以得到 把Nm2/kg2，kg，m帶入上式即可計(jì)算出第二宇宙速度的大小為km/s 方法二：如圖2所示，設(shè)物體m從地球E的引力場中從P0處移動(dòng)到Pn處。因各處的引力不等，我們可把P0Pn的一段距離分成許多極小的等分x。P0、P1、P2、 Pn和地球中心的距離分別為r0、r1、r2、 rn；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通過每一等分時(shí)物體克服地球

4、引力所做的功，這些功的總和，就是物體從P0移動(dòng)到Pn克服地球引力所做的功。  物體在Pi處所受的引力為，因?yàn)镻i和Pi+1相距極近，物體在Pi 、Pi+1間所受萬有引力的平均值可以近似地等于兩處引力的比例中項(xiàng)，即：； 物體從Pi移動(dòng)到Pi+1的過程中克服萬有引力所做的功為： ； 則物體從P0移動(dòng)到Pn整個(gè)過程中克服萬有引力所做的功為：  所以使物體從地球表面r 0=R處出發(fā)而脫離地球，即到達(dá)rn  =處，克服引力做功為，與方法一推導(dǎo)的結(jié)果一致。 應(yīng)該指出，物體從P0處移動(dòng)到Pn處克服萬有引力所做的功，在數(shù)

5、值上就等于物體在P0和Pn兩處物體與地球組成的系統(tǒng)的重力勢(shì)能之差，表達(dá)式就表示物體在離地心r處時(shí)具有的重力勢(shì)能。 12利用動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo) 設(shè)物體以初速度地球表面沿鉛垂方向離開地球，地球引力F（為位置坐標(biāo)的函數(shù)），初始條件為， 列運(yùn)動(dòng)微分方程 即 對(duì)上式做分離變量的變換，并代入初始條件，進(jìn)行積分 得                 即    

6、;  式表明了物體速度隨位置（x）的變化規(guī)律。如果，則不論x為多大，甚至達(dá)無窮大，速度v永遠(yuǎn)不會(huì)為零。可見欲使物體上拋后一去不返，其最小速度（即第二宇宙速）為km/s。 2第三宇宙速度的推導(dǎo) 仿照上面推導(dǎo)第二宇宙速度的任一方法，注意到kg，日地距離m，并且物體是從地球表面而非太陽表面開始向外運(yùn)動(dòng)的，可得到物體脫離太陽系引力的最小速度為km/s。 怎么不是167km/s？ 問題在于在研究第二宇宙速度時(shí)物體是從地面拋出的，速度是相對(duì)于地面而言的，即以地球?yàn)閼T性系。而在研究第三宇宙速度時(shí)，是以太陽為慣性系，所以上面得到的是相對(duì)于太陽的。而地球本身在繞

7、太陽做公轉(zhuǎn)，其公轉(zhuǎn)速度km/s，如果物體順著地球運(yùn)動(dòng)的軌道切向飛出的話，便可借助于地球的公轉(zhuǎn)線速度，因而只需422298124 km/s就行了。但是，物體要飛出太陽系，要克服太陽的引力，首先要掙脫地球引力的束縛才行，故物體在地面上應(yīng)該具有的動(dòng)能為   所以167km/s。 至此我們分析了宇宙速度的推導(dǎo)過程，并明確了宇宙速度均是相對(duì)于地球而言的。因此，諸如“地球公轉(zhuǎn)速度298km/s比167km/s大，為什么地球不離開太陽系？”這樣的問題便迎刃而解了。 需要指出的是，在擺脫地球束縛的過程中，在地球引力的作用下物體實(shí)際上并不是直線飛離地球，而是按拋物線飛行，脫離地球引力后在太陽引力作用下繞太陽運(yùn)行。擺脫太陽引力的