混流式水輪機葉片自由曲面-延展

1、混流式水輪機葉片自由曲面-延展            摘要：傳統(tǒng)的木模圖法在表示水輪機葉片時存在表示葉片不完整和無法引入計算機輔助設(shè)計及制造的不足，為此本文提出了基于最小二乘法的非均勻有理B樣條曲線曲面延展法，解決了混流式水輪機葉片空間曲面的小區(qū)域延展問題。同時結(jié)合水輪機葉片形狀特點，利用自由曲面和解析曲面的求交法確定了葉片的延展邊界，實現(xiàn)了葉片曲面的整體造型。論文最后算例分析表明，該方法能夠得到精度較高的延展曲面，同時算法穩(wěn)定可靠。 關(guān)鍵詞：延展 求交 擬合 自由曲面 水輪

2、機葉片     混流式水輪機葉片是一個復(fù)雜的空間扭曲面，長期以來，工程上采用木模圖來表達水輪機轉(zhuǎn)輪葉片、控制葉片的加工精度和測量精度。經(jīng)過長期的應(yīng)用和發(fā)展這種空間扭曲葉片的木模圖能夠較好的滿足傳統(tǒng)的工藝制作及放樣，然而在計算機輔助設(shè)計和制造技術(shù)廣泛應(yīng)用的今天，木模圖的不足凸現(xiàn)出來1,2。首先木模圖直接面對加工制造，無法應(yīng)用于研究分析整個葉片的幾何特點和力學(xué)特性；再者無法直接把木模圖引入計算機輔助設(shè)計和制造系統(tǒng)，這大大影響葉片的設(shè)計和制造質(zhì)量。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，這種采用木模圖來表達水輪機轉(zhuǎn)輪葉片的方法已經(jīng)逐漸不能滿足當(dāng)今市場競爭的需要。隨著自由曲面造

3、型技術(shù)的發(fā)展，此項技術(shù)應(yīng)用于水輪機葉片的曲面造型初步解決了水輪機轉(zhuǎn)輪葉片的表示問題。此項技術(shù)利用已知型值點構(gòu)造非均勻有理B樣條曲線曲面，進而擬合得到葉片的空間表達方程。這種方法存在一個不足1,3,4,5，即非均勻有理B樣條曲線曲面無法定義型值點區(qū)域外的圖形，對混流式水輪機葉片的進行曲面造型時表現(xiàn)為無法擬合0-0斷面和上冠之間區(qū)域的曲面形狀。這就引出了非均勻有理B樣條曲線曲面延展問題。1 基于最小二乘法的非均勻有理B樣條曲線曲面延展法1.1 延展問題的已知條件 現(xiàn)在通用的木模圖在表示水輪機葉片時一般給出等z面的(x,y)數(shù)據(jù)6。如圖1所示，由圖可以看出，在0-0斷面以上只有一個已知型值點，即進水

4、邊與上冠的交點，有時甚至還沒有表示出這個點；同樣在16-16斷面以下也只有一個已知型值點，即出水邊與下環(huán)的交點，有時甚至還沒有表示出這個點。在這種情況下如果要得到0-0斷面以上和16-16斷面以下的葉片型值點則只能采用延展的方法。還有在整體擬合葉片時如果不能確定曲面邊界，則可能會出現(xiàn)畸變結(jié)果，如圖2所示，由圖可以看出兩點，首先葉片不完整，葉片將不能和上冠相交；另外擬合得到的葉片的空間幾何形狀與實際形狀產(chǎn)生嚴(yán)重偏差，出水邊與上冠和葉片的交線混為一體，造型失敗。這問題的解決也有賴于采用延展方法來確定曲面邊界，即進水邊、葉片與下環(huán)的交線、出水邊、葉片與上冠的交線4條空間曲線。(1)使得總誤差(3)得

5、到(5)    這是關(guān)于系數(shù)aj的線性方程組，而且是一個正則方程組，可以證明，此方程組解唯一。由此實際上得到了端部擬合曲線的多項式表示，進一步可以對其進行延長運算，得到新的端點數(shù)據(jù)。    設(shè)原有型值點集為pi(i=0,1,n),新的端點為Q，則由p    2007-04-23        i和Q構(gòu)成新的型值點集pi(i=0,1,m)，其中m=n+1。由此m個型值點重新擬合得到延長后的曲線。1.

6、4 葉片邊界的確定 上冠、下環(huán)均是旋轉(zhuǎn)曲面，我們把這兩個旋轉(zhuǎn)曲面的解析方程稱為延展邊界限定方程。利用上述方法延長葉片軸面截線，用延長結(jié)果分別和上冠、下環(huán)旋轉(zhuǎn)曲面求交，即用延長后的曲線擬合方程與延展邊界限定方程聯(lián)立求解，得到兩個交點。按此方法分別用由出水邊向進水邊的各葉片軸面截線與上冠、下環(huán)旋轉(zhuǎn)曲面求交，得到兩組有序交點，這兩組有序交點就是葉片與上冠、下環(huán)交線的節(jié)點，由此可以順利的擬合得到葉片與上冠、下環(huán)交線，即葉片的兩個邊界。    2 數(shù)值計算及結(jié)果分析2.1 延展算法的驗證 在延展時我們只考慮曲面的數(shù)學(xué)特性，即只要求延展后的曲線、曲面和原曲線、原曲面

7、具有共同的階數(shù)，連續(xù)性可導(dǎo)致一致，避開了復(fù)雜的物理特性。延展算法的數(shù)學(xué)模型建立在這一立場之下的。同時考慮到延展邊界的不統(tǒng)一性，延展邊界限定方程必須事先在程序中引入，無法在操作界面實現(xiàn)時修改，又因為延展邊界方程對延展結(jié)果起決定性作用，因此在程序中輸入邊界方程前應(yīng)反復(fù)驗證其正確性，否則結(jié)果將發(fā)生嚴(yán)重畸變。下面以一個空間二次曲面為例，對本文的延展算法進行驗證并進行誤差分析。    驗證曲面方程：X2+Y2-4.0Z=。    已知：Z=R2/4.0(R=1.0、2.0、3.0、9.0)共9條等Z線，分別記為1、2、3、8

8、、9斷面，每條等Z線上分布9個型值點。    分別進行向Z=0.0平面邊界進行延展，結(jié)果如表1表3。表1 利用原有型值點不作任何變動進行向Z=0.0邊界進行延展得到 XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對誤差123456789 0.0037290.003229410.0018645-2.38566E-09-0.0018645-0.00322941-0.003729-0.00322941-0.00186449 0.00.00186450.003229410.0037290.003229410.0018645-4.77131E-09-0.00186

9、451-0.003229410.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.003729    2007-04-23        0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.003729    本算法中擬合曲線的

10、階數(shù)定為K=3，即延長點僅近似保持了離延長點最近的4個已知型值點的曲線幾何性質(zhì)或4條已知型值點等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)。如表3對于表1是從等Z線1-1延長至Z=0.0平面，保持了4-4、3-3、2-2、1-1等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)，R絕對誤差為0.003729；對于表2是從等Z線2-2延長至Z=0.0平面，保持了5-5、4-4、3-3、2-2等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)，R絕對誤差為0.007947；對于表3是從Z線3-3延長至Z=0.0平面，保持了6-6、5-5、4-4、3-3等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)，R絕對誤差為0.02079。表2 隱去z=0.25等線數(shù)據(jù)，即利用2、3、4、9斷面進行向Z=0.0

11、邊界進行延展得到 XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對誤差123456789 0.0079470.00688230.0039735-5.08416E-09-0.00397351-0.00688231-0.007947-0.0068823-0.00397349 0.00.00397350.006882310.0079470.00688230.00397349-1.01683E-080.00397351-0.00688231 0.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.007947 0.00.00.

12、00.00.00.00.00.00.0 0.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.007947 表3 隱去z=0.25、z=1.0等線數(shù)據(jù)，即利用3、4、9    2007-04-23        斷面進行向Z=0.0邊界進行延展得到 XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對誤差1234567890.020790.01800470.010395-1.33006E-08-0.01

13、0395-0.0180047-0.02079-0.0180047-0.0103950.00.0103950.01800470.020790.01800470.010395-2.66011E-08-0.010395-0.01800470.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.00.00.00.00.00.00.00.00.00.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.02079    由上面的結(jié)果可