考研數(shù)農(nóng)真題及解析

1、.2010 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試農(nóng)學(xué)門類聯(lián)考數(shù)學(xué)一、選擇題： 18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙 指定位置上 .exe3( )(1) 設(shè)函數(shù) f x，則x 3x e(A) x 3 及 x e 都是 f x 的第一類間斷點(B) x 3 及 x e都是 f x 的第二類間斷點(C)x3 是 fx 的第一類間斷點，xe 都是 fx 的第二類間斷點(D)x3 是 fx 的第二類間斷點，xe 都是 fx 的第一類間斷點x(2) 曲線 yx42 的凸弧區(qū)間是()(A), 8(B)8, 4(C)4,4(D)4,

2、(3)設(shè)函數(shù) fx， gx 具有二階導(dǎo)數(shù)，gx0a, gx00, g x0 ，則 fgx在x0 取極大值的一個充分條件是()(A)fa0(B)fa0(C)fa0(D)fa0設(shè) 函 數(shù) fx0,1上連續(xù)，0fx1 ， 且1x dx1(4)在 區(qū) 間f， 記021111I10fx1f ydxdy ， I 20fx1f ydxdy ，0011I30fxfydxdy ，則()0(A) I1I 2I3(B) I1I 3I 2(C) I2I1I 3(D) I3I 2I1(5)設(shè)向量組I :1,2 ,Lr可由向量組II :1 ,2 ,Ls 線性表示，下列命題正確的是;.()(A) 若向量組I 線性無關(guān)，則r

3、s(B) 若向量組 I 線性相關(guān)，則rs(C) 若向量組II 線性無關(guān)，則rs(D) 若向量組 II 線性相關(guān)，則rs(6) 設(shè) A 為 4 階實對稱矩陣，且 A2A 0，若 A 的秩為 3，則 A相似于( )1111(A)(B)11001111(C)(D)1100X1,1 上的均勻分布， 事件 A0 X11，則( )(7)設(shè)隨機變量服從BX，4(A)P AB0(B)P ABP A(C)P AP B1(D)P ABP AP B(8)設(shè) X1 ,K , X n 使來自總體 N, 20 的簡單隨機樣本， 記統(tǒng)計量 T1 nXi2，則n i 1ET()(A)2(B)2(C)22(D)22二、填空題：

4、9-14 小題，每小題4 分，共 24 分，請將答案寫在答題紙指定位置上 .xx.(9) limxxa(10)曲線 y2x2sin x的水平漸近線的方程為y.cos xx2(11)已知一個長方形的長x 以 0.2m/s 的速率增加， 寬 y 以 0.3m/s 的速率增加， 當(dāng) x12m ，y 5m時，其面積增加的速率為.;.函數(shù) zy x1的全微分 dz(12)y在點 1,e1,e.(13)設(shè) A111， AT 為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，則行列式AT A.123(14)設(shè)隨機變量 X 的概率分布為 P X kk 1, k 1,2,L ，其中 01，若1P X25，則PX3.9三、解答題：15 23

5、小題，共94 分 .請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)( 本題滿分10 分)設(shè)函數(shù)f( )ln tan xexcos2x ，求 f ( )x22(16)( 本題滿分 10分)2計算定積分0x cosxdx(17)( 本題滿分 11分 )設(shè)某農(nóng)作物長高到0.1 m 后，高度的增長速率與現(xiàn)有高度y 及1y 之積成比例 (比例系數(shù) k 0)，求此農(nóng)作物生長高度的變化規(guī)律(高度以 m 為單位 ).(18)( 本題滿分 11分 )計算二重積分sin()，其中區(qū)域（）22.Ixxy dxdyDx, yxy 2, x 1D(19)( 本題滿分10 分)1x1證明

6、： 1e( x0) .x(20)( 本題滿分 10 分)a112設(shè) A 0a 10，111a1已知線性方程組Ax有 2 個不同的解，求a 的值和方程組 Ax的通解 .;.(21)( 本題滿分 11 分 )111設(shè) A24a， 6 是 A 的一個特征值，335(I) 求 a 的值； (II) 求 A 的全部特征值和特征向量 .(22)( 本題滿分 10分)設(shè)二維隨機變量(X , Y) 的概率分布為Y101X010a311b14121且 p XY 1|X0求.3(I) 常數(shù) a, b ； (II) C ov( X ,Y) .(23)(本題滿分11 分 )Xx ,1 x 1,2，求設(shè)隨機變量的概率密

7、度為令fxYX 10,其他。(I) Y 的概率密度 fY y ; (II) P1 Y3.22010 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試農(nóng)學(xué)門類聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題： 18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙 指定位置上 .;.(1)設(shè)函數(shù) fexe3( )xx，則x 3e(A)x3 及 xe 都是 fx的第一類間斷點 .(B)x3 及 xe都是 fx的第二類間斷點 .(C)x3 是 fx 的第一類間斷點，xe 都是 fx(D)x3 是 fx 的第二類間斷點，xe 都是 fx答案： C的第二類間斷點.的第一類間

8、斷點.詳解： limexe31lim exe31 lim exe3,x 3x 3 x e 3 e x 3 x 3 3 e x 3 1 3 elimexe3eee3lim1,x e x 3x ee3 x e x ex 3 是 f x 的第一類間斷點 ,x e 是 f x 的第二類間斷點 .x(2) 曲線 yx42 的凸弧區(qū)間是()(A),8.(B)8,4.(C)4,4.(D)4,.答案： Ax詳解： yx4x4y2x160 ,2 , y3 ,x4x44在, 8 上，曲線是凸的(3) 設(shè)函數(shù) fx ， gx具有二階導(dǎo)數(shù)，g x0a, gx00, gx0，則 fg x在x0 取極大值的一個充分條件是

9、()(A) fa0 .(B)f a0 .(C)fa0 .(D)f a0 .答案： B詳解：f gxfgxgx,fgxfgxgx2g xgx ,gx00 ，得：f由于;.f g x0f g x0g x0f a g x00 .由于 gx00 ，所以fa0(4)設(shè)函數(shù) fx在區(qū)間 0,1上連續(xù)， 0fx1，且1xdx1 ，記f021111I 100f x1fydxdy ， I 20fx 1fydxdy ，0I 311fxfydxdy ，則()00(A)I 1I 2I3 .(B) I1I 3I 2 .(C) I2I1I 3 .(D) I3I 2I1 .答案： D詳解：I11fx dx11fy dy1f

10、x dx11fx dx00001111I 20f x dx01 f y dy0f x dx1 f x dx0I311110f x dx0f y dyf x dx0f x dx ,0由于0fx1，所以fxfx，1fx1fx1f x dx1f x dx ，11 fx dx11 f x dx ， I1I 2 .0000111fxdx11x dx11fxdx ，且1xdx又01dxf0f2.00011fxdx1xdx ,0f0I 2I 3 ,I1I 2I 3(5)設(shè)向量組I: 1,2 ,Lr可由向量組II:1 ,2 ,Ls 線性表示，下列命題正確的是()(A)若向量組 I線性無關(guān)，則 rs .(B)若

11、向量組 I線性相關(guān)，則 rs .(C) 若向量組 II線性無關(guān)，則 rs .(D)若向量組 II 線性相關(guān)，則 rs .答案： A詳解：由于向量組 I 能由向量組 II 線性表示，所以 r (I )r ( II ) ，即r ( 1,L , r )r ( 1 ,L , s)s若向量組 I線性無關(guān)，則r (1,L ,r )r，所以 rr (1 ,L,r )r ( 1,L , s )s ，即r s ，選 (A).(6) 設(shè) A為 4 階實對稱矩陣，且A2AO ，若 A 的秩為 3，則 A 相似于();.11(A)1.(B)1.110011(C)1.(D)1.1100答案： D詳解：設(shè)為 A 的特征值

12、，由于A2A 0，所以20，即 (1)0，這樣 A 的特征值為-10A為實對稱矩陣， 故A可相似對角化， 即A :， r ( A)r ()3 ，或 。由于11因此，1，即 A:1。1100(7)設(shè)隨機變量 X 服從1,1 上的均勻分布， 事件 A0X1 ，BX1，則 ()4(A)P AB0.(B)P ABP A .(C)P AP B1.(D)P ABP AP B .答案： D11111詳解： P(AB)P(0xxP(0x41;)281444P( A)P(0x1)211)1 (1 )1P(B)P(x444424P( AB)P( A) P(B)(8)設(shè) X1,K, X n 使來自總體 N,20 的

13、簡單隨機樣本，記統(tǒng)計量T1nXi2，n i 1則 ET()(A)2 .(B)2 .(C)22 .(D)22 .;.答案： C詳解： ETE( 1 nXi2 )1 E(nXi2 )1n DX i E2 (X i )2u2n i 1ni1n所以選擇 C 項二、填空題：9-14 小題，每小題4 分，共 24分，請將答案寫在答題紙指定位置上 .xx.(9) limx x a答案： eaxxa詳解： limlim 1x ax axxaxxaxaaea(10)曲線 y2x2sin x的水平漸近線的方程為 y.cos xx2答案： y22x2sin x2sin x20詳解： limx2cosxx2lim02

14、xxcosx11x2(11)已知一個長方形的長x 以 0.2m/s 的速率增加， 寬 y 以 0.3m/s 的速率增加， 當(dāng) x12m ，y5m時，其面積增加的速率為.答案：4.6m2 / s詳解：設(shè) xx(t ), y y(t ) ，由題意知，在 tt0 時刻 x(t0 )12, y(t0 )5 ，且 x (t0 )0.2, y (t0 ) 0.3 ，又 S(t)x(t ) y(t ) ，所以 S (t )x (t ) y(t )x(t ) y (t)所以S (t0 )x (t0 ) y(t0 ) x(t0 ) y (t0 ) 0.2 5 12 0.3 4.6(12)函數(shù) zy x1在點1,

15、e的全微分 dz.y1,e答案： dx1e2 dy;.詳解：因為 zy x1，所以 z1,e11，且變形為yeyzy x1exln y1對上式兩端微分，有zdyydzexln yln ydxx1dyyxln ydxx dyyy所以dzy x ln y dxxy xyz dyyy2所以dz 1,edx12dye(13)設(shè) A111， AT 為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，則行列式AT A.123答案： 0詳解： AT A是 3 階矩陣， A 為23矩陣r ( AT A) r ( A) 2,ATA 0(14)設(shè)隨機變量 X 的概率分布為P Xk1k11,2,L ，其中 01，若, kP X25，則PX3.9答

16、案： 427詳解： P(X2)P( X1)P( X2)(1)1 1(1)2 1(1)225得1 ,5( 舍 )933P( X3)(1)21 (11) 243327三、解答題：15 23 小題，共94 分 .請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15) (本題滿分 10分)設(shè)函數(shù)f() ln tan xexcos2x ，求 f( ) .x22詳解： f (x)ln tan xe x cos 2x12x1則 f (x)sec2e x cos2x e x(2sin 2x)tanx222csc xe x cos2x2e x sin 2xLL4分;.所以f ( x)c

17、ot x csc xe x cos2xe x 2sin 2 x2( e x sin 2xe x 2cos 2x)cot x csc xe x (4sin 2x3cos 2x)L L 8 分所以f ()3e 2L L 10 分2(16) ( 本題滿分 10 分)2計算定積分x cosxdx0詳解：令 tx, xt 2 ,dx2tdt所以 I0t cost 2tdt 2t 2d sin tLL4分02t 2 sin t4t sin tdtLL6分00=04td cost4t cost 0 40costdtLL8分4LL 10分(17) ( 本題滿分 11 分)設(shè)某農(nóng)作物長高到0.1 m 后，高度的

18、增長速率與現(xiàn)有高度y 及 1y 之積成比例 (比例系數(shù) k0)，求此農(nóng)作物生長高度的變化規(guī)律(高度以 m 為單位 ).詳解：由題意得dyky(1 y)LL4分dtdykdt ，所以 lnyC1即y(1 y)kty 1Cekty 0.1mL L解得 yCekt11代入初始條件y(0)0.1解得 C9所以化簡得ektL Lyekt99 分11 分(18) ( 本題滿分 11 分)計算二重積分sin( )，其中區(qū)域（）22.IxxydxdyDx, y xy 2, x 1D詳解： Ix sin(xy)dxdyxdxdysin(xy)dxdyDDD因為 D 關(guān)于 x 軸對稱，且sin(xy)dxdy 的

19、被積函數(shù)為y 的奇D;.函數(shù)，所以sin( xy)dxdy0L L 3 分D又因為xdxdy 2xdxdy2 4 d2rdr L Lr cos6 分DD10sec24 cosd2r2drsec024221cosd4422103cos233cos033cos442 cosd422d3sec003422333(19) ( 本題滿分 10 分)x 1證明： 11e( x 0) .x1 1x 1證明：令 F ( x)(x0)x對等式兩邊同時取對數(shù)，ln F ( x)( x 1)ln(11)x對等式兩邊同時求導(dǎo)數(shù)得：1F '(x) ln(11 ) ( x 1)11F ( x)x1x21xdLL

20、8分L L 11分ln(1 1 )1xxL L3 分又因為 x0 時,ln(1x)xln(11 )11F '( x) ln(11 )10xxF ( x)xx又 Q F (x)0 ,F'(x)0F ( x) 單調(diào)遞減L L7 分又 lim F (x)lim (11 ) x 1lim (1 1 ) x (11)lim (1 1 )xlim (1 1) exxxxxxxxxx所以 F (x)e,(11 )x 1eL L10 分x(20)( 本題滿分10 分);.a112設(shè) A 0a 10，111a1已知線性方程組Ax有 2 個不同的解，求a 的值和方程組Ax的通解 .詳解：已知Ax有 2 個不同的解r ( A)r ( A,)3又 A 0 (a 1)2 ( a 1) 0知 a1或-1L L當(dāng) a 1時， r ( A)1r ( A, )2 此時 Ax無解L La110131112111221(A, )02 0102 0101021111000000004 分6 分x1x33332x112x1x311原方程組等價為2 ，即x2xx 012232x2x312x3x303121Ax的通解為 x k 0， k 為任意常數(shù)。LL10分210(21) ( 本題滿分 11 分)111設(shè)