圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).

1、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1 1橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點(diǎn)上；( 見圖 1.1)橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在F1 處放置一個熱源，那么紅外線也能聚焦于F2 處，對 F2 處的物體加熱。電影放映機(jī)的反光鏡也是這個原理。證明：由導(dǎo)數(shù)可得 切線 l 的斜率 kyxx0b2 x0，而 PF1 的斜率 k1y0，PF2 的斜率 k2y02y0x0cx0 cay0b2 x0 l 到 PF1 所成的角滿足 tank1kx0c a2 y0a2 y02b2 x02b2cx0，1 kk1b2

2、x0 y0a2b2 x0 y01a2cy0x0c a2 y0P x0 ,y0在橢圓上， tanb2，同理， PF2 到 l 所成的角滿足 tankk2b2，cy01kk2cy0 tantan，而,0,，212 雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點(diǎn)上；( 見圖 1.2)雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用13 拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖 1.3）拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車大燈等反射鏡

3、面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過轉(zhuǎn)動拋物線的對稱軸方向，控制照射方向衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對稱軸跟蹤對準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點(diǎn)，把對稱軸跟蹤對準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的BDAF2F2OF1F1圖 1.1圖 1.2圖 1.3要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

4、，首先必須將這樣一個光學(xué)實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行解釋論證。二、問題轉(zhuǎn)化及證明2 1 圓錐曲線的切線與法線的定義設(shè)直線 l 與曲線 C 交于 P ， Q 兩點(diǎn)，當(dāng)直線l 連續(xù)變動時(shí)，P ， Q 兩點(diǎn)沿著曲線漸漸靠近，一直到 P ， Q 重合為一點(diǎn)M , 此時(shí)直線 l 稱為曲線 c 在點(diǎn) M 處的切線， 過 M 與直線 l 垂直的直線稱為曲線c 在點(diǎn) M 處的法線。此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對這一問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明預(yù)備定理1. 若 點(diǎn) P( x0 , y0 ) 是 橢 圓x2y21上任一點(diǎn)，則橢圓過該點(diǎn)的切線方程為：22abx0xy0 y1。a2b222

5、x2證明： 由y1x22(122yba2 ) ，ba1°當(dāng) xa 時(shí)，過點(diǎn) P 的切線斜率 k 一定存在，且 ky '| x x ，對式求導(dǎo)：2 yy '2b2 x ，0a2 ky '|x x0b 2 x0，切線方程為yy0b2 x0( x x0 ) ，2y02y0aa點(diǎn) P(x0 , y0 ) 在橢圓x2y21 上，故x02y021，代入得x0 x y0 y1 ，2b2a2b2a2b2a而當(dāng) xa 時(shí)， y00切線方程為 xa ，也滿足式， 故 x0 xy0 y1是橢圓過點(diǎn) P(x0 , y0 )的a2b2切線方程 .預(yù)備定理2.若點(diǎn) P(x0, y0 )

6、是雙曲線x2y21 上任一點(diǎn)，則雙曲線過該點(diǎn)的切線方程為：a2b2x0 xy0 y1a2b2222證明： 由yx1y2b2 ( x1) ，2a22ba1°當(dāng) xa 時(shí)，過點(diǎn) P 的切線斜率 k 一定存在，且 ky ' |x x ，02b2 x ， kb2x0b2 x0 (x x0 ) ，對式求導(dǎo)： 2 yy 'y '|xx2，切線方程為y y0a20a y0a2 y02y222x0 xy0 y點(diǎn) P(x0 , y0 ) 在雙曲線x1上，故 x0y011 ，a2b2代入得2b2a2b2a而當(dāng) xa 時(shí)，y00切線方程為 xa ，也滿足式，故 x0 xy0 y1是

7、雙曲線過點(diǎn)P( x0 , y0 )a2b2的切線方程 .預(yù) 備 定 理 3. 若 點(diǎn) P( x0 , y0 ) 是 拋 物 線 y22 px 上 任 一 點(diǎn) ， 則 拋 物 線 過 該 點(diǎn) 的 切 線 方 程 是y0 yp( xx0 )證明： 由 y22 px ，對 x 求導(dǎo)得： 2 yy '2 pky' |x x0p，y0當(dāng) y00 時(shí)，切線方程為yyp ( x x0 ) ，即 y0 yy02pxpx0 ，y0而 y22pxyyp( xx ) ，而當(dāng)y00, x00 時(shí)，切線方程為x0 也滿足式，00000故拋物線在該點(diǎn)的切線方程是y0 yp ( xx0 ) .定理 1.橢圓

8、上一個點(diǎn)P 的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)P 處的法線平分 （圖 2.1）已知：如圖，橢圓C 的方程為 x2y2 1， F1, F2 分別是其左、右焦點(diǎn)，l 是過橢圓上一點(diǎn)P( x0 , y0 )a2b2x 軸于 D ，設(shè)的切線， l ' 為垂直于 l 且過點(diǎn) P 的橢圓的法線，交F2 PD,F1 PD，求證：.證法一 ：在 C : x2y2y1 上， P(x0 , y0 )C ，22abx0 xy0 y則過點(diǎn) P 的切線方程為：a2b21， l ' 是通過點(diǎn)F1DF2lP 且與切線 l 垂直的法線，x則 l ': (y0x0x0 y0 (11) ，lP2 ) x(2 )

9、2a2bab法線 l ' 與 x 軸交于 D ( c )2 x0 ,0)，a |F1D |c2x0c,| F2 D |cc2x0 ，|F1D|a2cx0，又由焦半徑公式得：22| F2 D | a2cx0aa|PF1 |aex0 ,| PF2 |aex0 ， | F1D |PF1|， PD是F1PF2 的平分線，|F2D |PF2|，90，故可得證法二 ：由證法一得切線l 的斜率 ky ' |xxb2 x0 ，而 PF1 的斜率 k1y0， PF2 的斜率0a2 yx0c0y0b2 x0k2y0， l到 PF1 所成的角' 滿足：tan'k1kx0c a2 y0

10、a2 y02b2 x02b2cx0x01 kk12x0 y0(a2b2 ) x0 y0a2cy0c1b( x0c)a2 y0 P(x0 , y0 ) 在橢圓 C : x2y21 上， tan'b2，a2b2cy0同理， PF2 到 l 所成的角' 滿足 tankk2b2， tan' tan'1kk2 cy0而 ','(0,)， ''2證法三： 如圖，作點(diǎn) F3 ，使點(diǎn) F3 與 F2 關(guān)于切線 l 對稱，連結(jié) F1，F(xiàn)3交橢圓 C于點(diǎn)P'下面只需證明點(diǎn)P 與 P' 重合即可。一方面，點(diǎn) P 是切線 l 與橢圓 C

11、的唯一交點(diǎn)，則 | PF1 | PF2|2a ，是 l 上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和的最小值（這是因?yàn)閘 上的其它點(diǎn)均在橢圓外） 。另一方面，在直線 l 上任取另一點(diǎn)P''，|P'F1| P'F2 |P'F1|P'F3 |F1F3 | |P''F1 |P''F2 |即 P ' 也是直線 AB 上到兩焦點(diǎn)的距離這和最小的唯一點(diǎn)，從而P 與 P'重合，即而得證定理 2雙曲線上一個點(diǎn)P 的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P 處的切線平分（圖2.2 ）；已知：如圖，雙曲線 C 的方程為 x2y21 ， F1 ， F2

12、 分別是其左、右焦點(diǎn)，l 是過雙曲線 C 上的一a2b2點(diǎn) P(x0 , y0 ) 的 切 線 ， 交 x 軸 于 點(diǎn) D ， 設(shè)F1 PD，F(xiàn)2 PDyL求證：P22證明： C : x2y2 1，兩焦點(diǎn)為F1(c,0)， F2 (c,0)abFDFx(c 2a 2b 2 ) ， P(x0 , y0 ) 在雙曲線上，則過點(diǎn)P 的切線x0 xy0 y21 ，切線 l 與 x 軸交于 D( a ,0) 。圖 2.222abx0由雙曲線的焦半徑公式得：|PF1| c x0a |,| PF2| c x0 a | ， 雙 曲 線 的 兩 焦 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 F (c ,0) ， F( c ,0) ， 故

13、aaa ca c|PF1| c x0a |DF1|a|DF1 | |x0| a x0 a |,| DF2 | |x0 | ax0a |,|PF2 |cx0a |DF2 |a故，切線 l 為FP F 之角分線。定理 3拋物線上一個點(diǎn)P的焦半徑與過點(diǎn)P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點(diǎn)P處法線平分（圖2.3 ）。L已知：如圖，拋物線 C 的方程為為 y 24cx ，直線 l 是過拋物線上一y點(diǎn) P(x0 , y0 ) 的切線，交 x 軸于 D ，DPF, PDF，P反射線 PQ 與 l 所成角記為，求證：Dx如圖 ，拋物線 C 的方程為 C : y2證明：4cx ，點(diǎn) P( x0 , y0 ) 在

14、該拋F物線上，則過點(diǎn)P 的切線為yyp( xx ) ，切線 l 與x軸交于00圖 2.3D( x0 , 0)，焦點(diǎn)為 F (c ,0) ，(同位角 )， | PF | (x0c)2y02| x0c |,| DF| | x0 c |， | PF | | DF |，通過以上問題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過的知識證明的。那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應(yīng)用呢？三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用3 1 解決入射與反射問題例 1.設(shè)拋物線 C : y2x ，一光線從點(diǎn)A (5，2) 射出，平行 C 的對稱軸，射在 C上的 P 點(diǎn)，經(jīng)過反射后，又射到C 上的 Q 點(diǎn)，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為_， Q 點(diǎn)的

15、坐標(biāo)為 _ 。解：如圖，直線AP 平行于對稱軸且A (5 ，2)，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 4， 2），反射線 PQ 過點(diǎn) F (1 ,0) ，設(shè) Q(t 2 ,t ) ，4則t218 ，解得： t1，Q(1 ,1 )t21158648444圖 3.1.1例 2.已知橢圓方程為x2y21，若有光束自焦點(diǎn)A (3 ， 0) 射出，經(jīng)二次2516反射回到 A點(diǎn)，設(shè)二次反射點(diǎn)為B,C ，如圖 3.1.2所示，則 ABC 的周長為。解：橢圓方程為x2y21 中， c225 169 ，2516 A (3 ，0) 為該橢圓的一個焦點(diǎn)，自A (3 ，0) 射出的光線 AB 反射后，反射光線 AC定過另一個焦點(diǎn)A

16、 (-3 ，0)故 ABC 的周長為： ABBA 'A 'CCA 4a4520。圖 3.1.2例 3. 雙曲線x2y2AC，已知 A2 )1(42C :，88，又F (4， 0) ，若由 F 射至 A 的光線被雙曲線C 反射，反射光通過P(8, k ) ，則 k =。解：入射線 FA 反射后得到的光線AP 的反向延長線定過雙曲線的另一個焦點(diǎn) F '( 4,0)， k22k3 23 2128解決一類“距離之和”的最值問題張奠宙教授說“在一般情況下，光線在傳播過程中，總是選擇最近的路線從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺”圖 3.1.3層面上的結(jié)論，但卻為我

17、們研究一類“距離之和”取值范圍問題時(shí)指明了思考的方向，從而解決了一個從“想不到”到“想得到”的關(guān)鍵問題。如果再輔以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這種“經(jīng)驗(yàn)、感覺”依然是很有價(jià)值的、不可替代的。 ”我讀了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見到而又覺得復(fù)雜的一類最值問題。x2y21， F1 、 F2 為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q (2，1) ， P 是 C 上的動點(diǎn)，求例 4 已知橢圓 C：925MF1 MQ 的取值范圍。yyyP 1'P 1QQF1OF2xF 1OF2xF1OP2 'P2P2P1QF2x圖 3.2.2圖 3.2.3圖 3.2.1（一）分析猜想：（ 1）經(jīng)計(jì)算，

18、點(diǎn)在橢圓內(nèi) , 由于橢圓是封閉圖形，因此MF1 MQ 應(yīng)該有一個封閉的取Q（2，2）值范圍，既有最小值也有最大值。（ 2）同樣根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從F1 射出被橢圓反射后經(jīng)過點(diǎn) Q 的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（如圖3.2.1 ，光線從 FPQ ），二是被下半橢圓反射（如圖3.2.2，光線從 FPFQ ），究竟哪種11122情況距離之和更小呢？顯然，根據(jù)橢圓定義，圖3.2.1 中的 PF11PQ12a (2a 為橢圓長軸長 ) ，而圖 3.2.2中的 P2 F1PQ22a，可見圖3.2.1所示的情況距離之和更小。但是，

19、最大值又是多少呢？圖3.2.2所示的光線又有什么特點(diǎn)呢？將圖 3.2.1.和圖 3.2.2中的光線反射路線合并圖3.2.3，由于 PQP FPQPF1是定值221114a (a為橢圓長半軸長 ) ，而 PQPF1由前面知最小，由此猜測PQP F 可能就是最大值。11221（二）證明PF1PQ是最小值。11如圖 3.2.2，連接 Q F2，延長交橢圓于P2 ，在橢圓上另取一點(diǎn)P2 ， 由橢圓定義知：P2QQF2PF1|P2F1P2 F2 | （*） ，因?yàn)?| P2F2 | |PQ2QF2 |，代入（ * ）式得：PQ2QF2| P2 F1 | | P2 F1 PQ2 QF2 | ，所以， PQ

20、2| P2F1 | |P2F1PQ2 | 。猜想得證。（三）計(jì)算：綜上所述，只需求出|F2Q|(42) 242210 ，可得最小值為 2a | F2Q | 102 10 ，最大值為 2a | F Q |102 10.2例 5已知雙曲線 C： x2y21 ， F1 、 F2 為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn) Q(4, 9) ，M 是 C 上的動點(diǎn)，32求 MF2MQ 的取值范圍。分析猜想： 經(jīng)計(jì)算， Q 點(diǎn)在雙曲線右支開口內(nèi)部。 由于雙曲線是不封閉曲線， 顯然 MF2MQ 可以無限大，故要求MF2MQ 的取值范圍，關(guān)鍵是求出MF2 MQ 的最小值。根據(jù)光線的“最近傳播”特點(diǎn)，我們猜想：從F1 射出經(jīng)雙曲線

21、反射后經(jīng)過點(diǎn)Q 的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的，再結(jié)合雙曲線的光學(xué)性質(zhì) （從一個焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓周反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點(diǎn)），可作出從F1射出被雙曲線反射后經(jīng)過點(diǎn)Q的光線：連接FQ，與雙曲線的交點(diǎn)即為使得MF2MQ1最小的點(diǎn)，設(shè)為P 點(diǎn)，光線從 F2PQ 。（見圖 2）（二）證明：如圖 2：按猜想作出點(diǎn)P ，由于所求點(diǎn)P 顯然不在雙曲線的左支上（此時(shí)顯然距離之和不會最小） ，故在右支上另取一點(diǎn) P ，由雙曲線定義知： PF1PF2| PF1PF 2 |，即PF1 |PF2PF1PF2 | ，因?yàn)?PF1PQ| PQP F1 |，兩邊同加PF2 得：所以 PF1PQPF2|

22、PQPF 1PF2 | PQ PF1PF2 |，4PQ故 PQPF2| PQPF 2 |，猜想得證。2P'（三）計(jì)算：由題意知9-5F 1OF 2 F1( 2,0), Q(4,) ，2-2 |PQ | |PF| |FQ | |FP| |PF |2112|FQ | (|FP| PF|)|FQ | 2A11-4=112=1=例 6已知拋物線 C： y24x2圖 3.2.5， F 是其焦點(diǎn)，點(diǎn) Q(2,1)，M 是 C 上的動點(diǎn)，求 MFMQ 的取值范圍。 。分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒有最大值，因此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)（從焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射光線與對稱軸平

23、行，反之也成立），結(jié)合光線的 “最近傳播”我們猜想：過Q 與對稱軸平行的直線與拋物線的交點(diǎn)可能就是使距離之和最小的點(diǎn)， 設(shè)為 P 點(diǎn)（見圖 3.2.6 ）?？捎蓲佄锞€的定義證明猜想是正確的。5特點(diǎn)，且PF PQ 33 3 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問題時(shí)起簡捷作用。光線反射總是滿足反射定律 （入射角等于反射角） ，光線被曲線反射也不例外，此時(shí)的法線就是過反射點(diǎn)的曲線的切線的垂線?？梢?，曲線的切線和與曲線有關(guān)的反射問題有著密切聯(lián)系。以橢圓為例：如圖 3.3.1，l 是過橢圓周上一點(diǎn)P 的橢圓的切線， m 是 P 點(diǎn)處的法線，光線從 F（ F ）12射出被橢圓反射經(jīng)過F（F），滿足 1=

24、 2，且 3= 4。21l2P4123F 1OF25m-2圖 3.3.2圖 3.3.1例 7已知 l 是過橢圓x2y21上一動點(diǎn) P 的橢圓 C 的動切線， 過 C 的左焦點(diǎn) F1 作 l 的垂線，C：12求垂足 Q 的軌跡方程。16分析：如圖3.3.2，本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運(yùn)算相當(dāng)繁瑣。由于l 是橢圓的切線，切點(diǎn)為P ，聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：l 是F1 PF2 的外角平分線， F1 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) F2在 F2 P 的延長線上。這樣，由于PF1| PF2| ，故 |F1 F2PF1PF2 |2a 8，而 Q、O分別是 F1 F1、F2F2 的中點(diǎn)，所以 QO4。從而 Q點(diǎn)軌跡是以 O 為圓心、以4 為半徑的圓。即點(diǎn) Q 的方程為 x2y 2163 4 在生產(chǎn)生活中的作用例 8某種碟形太陽能熱水器的外形示意圖如圖3.4.1 ，其中 F 為加熱點(diǎn)；碟形反射壁是拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；拋物線以 cm 為單位的設(shè)計(jì)尺寸如圖 3.4.2 為了達(dá)到最佳加熱效果，F(xiàn) 應(yīng)距碟底多少？Fy解：以碟形內(nèi)壁底為原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為x 軸，5開口方向?yàn)?x 軸的正向， 建立坐標(biāo)系如圖 3.4.2 ，則內(nèi)壁拋物線方程為 y22px 據(jù)所示尺寸， 拋物線過坐標(biāo)為 (40,85)