勾股定理(提高)知識講解

1、初二數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)專題、課時訓(xùn)練匯編（附詳解）勾股定理（提咼）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數(shù)形結(jié)合的思想;2. 能夠運用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）3. 通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題.【要點梳理】【高清課堂勾股定理知識要點】 要點一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a, b，斜邊長為c，那么a2 + b2=c2 .要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以

2、建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式:a2=c2-b2 , b2=c2-a2 ,c2 =(a+b)2-2ab .要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中耳辦解 = 3+擰"2 + 4肓必，所以bC£>Q方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中略嗨二- + 4込處,所以F二/+滬.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.DbC呼 = 2枷+*，所以沖".要點三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第

3、三邊;2. 用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題;3. 與勾股定理有關(guān)的面積計算;4. 勾股定理在實際生活中的應(yīng)用.【典型例題】 類型一、與勾股定理有關(guān)的證明W 1、在 ABC中，AB=AC D是BC延長線上的點，求證:【答案與解析】初二數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)專題、課時訓(xùn)練匯編(附詳解)證明：作等腰三角形底邊上的高 AE BE二EC/ AEBW AEC=90V AB=AC AEL BCAD2 -AB2 =(AE2 +DE2) -(AE2 +BE2)= AE2 +DE2 -AE2 -BE-DE2 -BE2 = (DE +BE)(DE -BE)= bdLJcd【總結(jié)升華】解決帶有平方關(guān)系的問題，關(guān)鍵是找出直角三角形，

4、利 用勾股定理進行轉(zhuǎn)化，若沒有直角三角形，常常通過作垂線構(gòu)造直角 三角形，再利用勾股定理解題.類型二、與勾股定理有關(guān)的線段長申卩2、如圖，在等腰直角三角形 ABC中，/ ABC=90 ° D為AC邊 上中點，過D點作DE丄DF，交AB于E,交BC于F,若AE=4 ,FC=3，求 EF 長.C【答案與解析】解：連接BD,CV等腰直角三角形 BD 丄 AC (三線合一),BD=CD=AD，/ ABD=45 °/ C=45°又 V DE 丄 DF,/ FDC+ / BDF= / EDB+ / BDF ,在AEDB與FDC中，'Zebd=ZcV TXCD ,ZED

5、B 二 ZFDCEDB心 FDC (ASA), BE=FC=3, AB=7，貝J BC=7 , BF=4,在 RtAEBF 中,EF2=BE2+BF2=32+42, EF=5.【總結(jié)升華】此題考查的知識點是勾股定理及全等三角形的判定，關(guān) 鍵是由已知先證三角形全等，求得 be和BF，再由勾股定理求出EF的長.舉一反三:【變式】（2015春？天津校級期中）如圖，/ C=30° pa丄OA于A ,PB丄 OB 于 B, PA=2, PB=11，求 OP 的長.初二數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)專題、課時訓(xùn)練匯編（附詳解）P【答案】 解： PA丄0A，/ C=30° P C=2 PA=4, BC=B P

6、+P C=11+4=15,V PB丄OB，/ C=30°設(shè) OB=x，貝J OC=2x,在Rt BOC中，由勾股定理得:x2+152= (2x) 2解得，x=5,即OB=5胎, OP 珂 obSpb 吐5+121=14.類型三、與勾股定理有關(guān)的面積計算申卩3、（2015?豐臺區(qū)二模）問題背景：在ABC中，AB , BC, AC三邊的長分別為Ws，帀，求這個三角形的面積.小軍同學(xué)在解答這道題時，先建立了一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形 的邊長為1）,再在網(wǎng)格中畫出格點 ABC （即 ABC三個頂點都在 小正方形的頂點處），如圖1所示.這樣不需要求出 ABC的高，借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.

7、（1）請你直接寫出 ABC的面積思維拓展:（2）如果 MNP三邊的長分別為頂，倔，請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的格點 MNP，并直接寫出 MNP的面積.S 2CB圖1【思路點撥】（1）根據(jù)圖形得出Sabc =S矩形monc Sacma Saaob Sabnc，根據(jù)面積公式求出即可；（2）先畫出符合的三角形，再根據(jù)圖形和面積公式求出即可.【答案與解析】 解：（1） ABC的面積是4.5，理由是:M./0 B團1Sa abc=S 矩形 MONC - Sa cma - Sa aob - Sa bnc=4 >3-專 >4X1- >2X1 -專 >3

8、>3=4.5,故答案為：4.5;（2）如圖2的MNP，Jl:HIH-i-iAiHldl-ll-ilFli a； ” 一 ； J： ll-ill-ll-dHHIHFI>ll-l>ll J>II>IbII J站！!.3 i111>10 1圏2MNP =S 矩形 MOAB Sa mon Sa pan S mbp=5><3丄 >5 X1 丄 >2>4丄 >3X12 2 2=7,即MNP的面積是7.【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，解此 題的關(guān)鍵是能正確畫出格點三角形，難度不是很大.舉一反三:【變式】如圖是一株

9、美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形是4、6、3、4,則最大正方形E的面積是（A. 17B. 36C. 77【答案】C 類型四、利用勾股定理解決實際問題14、（2016?貴陽模擬）一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子 底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高?（2）如果梯子的頂端下滑了 4米到A ；那么梯子的底端在水平方向【思路點撥】（1）利用勾股定理直接得出AB的長即可；（2）利用勾 股定理直接得出BC 的長，進而得出答案.【答案與解析】 解：（1）由題意得：AC=25米，BC=7米,AB=gTp=24 （米）, 答：這個梯子的頂端距地面有 24米;（2）由題意得：BA =20米,BC=二？=15 （米）, 貝y： CC = 15- 7=8 （米）， 答：梯子的底端在水平方向滑動了 8米.