《高等數(shù)學(xué)教學(xué)》201x 第四節(jié)第一型曲面積分

1、編輯ppt.,),(),(lim),(,),(),(,0,max,),(.),(),(,.,2 , 1,),(,.,:,),(),(1011111121稱稱為為積積分分曲曲面面稱稱為為被被積積函函數(shù)數(shù)其其中中即即記記作作上上的的在在曲曲面面則則稱稱極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)上上述述和和式式的的極極限限存存在在時(shí)時(shí)若若的的直直徑徑記記作作和和式式任任取取面面的的面面積積也也表表示示小小曲曲塊塊小小曲曲面面既既表表示示第第其其中中小小塊塊任任意意分分割割為為將將曲曲面面上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)是是定定義義在在的的表表達(dá)達(dá)式式偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)是是光光滑滑曲曲面面設(shè)設(shè) zyxfSfdSzyxfdSz

2、yxfzyxfSSfSfSfniSiSSSSnzyxfiniiiiininnnniniiiiiiiiin 分分第第四四節(jié)節(jié)、第第一一類類曲曲面面積積曲曲面面積積分分的的概概念念與與性性質(zhì)質(zhì)對(duì)對(duì)面面積積一一、第第一一類類)(定義、定義、,第第一一類類曲曲面面積積分分編輯ppt曲曲面面積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)對(duì)對(duì)面面積積第第一一類類)(第第一一類類曲曲面面積積分分也也有有：的的性性質(zhì)質(zhì)類類似似于于第第一一類類曲曲線線積積分分,. 5 . 4 ,. 3 ,. 2 ,. 1的的面面積積中中值值定定理理單單調(diào)調(diào)性性有有限限可可加加性性線線性性性性質(zhì)質(zhì) dS.),().1(),(. 6 dSzyxmzyx 的

3、的質(zhì)質(zhì)量量為為則則的的面面密密度度為為若若:).2(的的重重心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為 .),(),(;),(),(;),(),( dSzyxdSzyxzzdSzyxdSzyxyydSzyxdSzyxxx:)3(的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量 .),()(;),()(;),()(;),()(2220222222 dSzyxzyxIdSzyxyxIdSzyxzxIdSzyxzyIzyx編輯ppt曲曲面面積積分分的的計(jì)計(jì)算算法法對(duì)對(duì)面面積積二二、第第一一類類)(定理、定理、.),(),(1),(,),(,),(),(:).2(;),().1(22dxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxfDyxyxzzzyxfyxD

4、 則則可可以以表表示示為為曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)在在光光滑滑曲曲面面函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè).),(),(1),(,(),(),(),(:.),(),(1),),(),(),(),(:2222dxdzzxyzxyzzxyxfdSzyxfDzxzxyydydzzyxzyxzyzyxfdSzyxfDzyzyxxDzxDzy 則則可可以以表表示示為為若若則則可可以以表表示示為為若若:同理可得同理可得編輯ppt證明證明.,.,.,:,.,.,:2121niniSSSSnD 相相應(yīng)應(yīng)分分割割曲曲面面份份分分成成將將區(qū)區(qū)域域 idxdyyxzyxzSyxi ),(),(122.),(.),(),(122iiiiiiyi

5、ixzz 積積分分中中值值定定理理.),(),(:iiiiiiiSz 令令 iniiiiSfdSzyxf 100),(lim),(max1iniS iiiyiixniiiiizzzf ),(),(1),(,(lim22100.),(),(1),(,22dxdyyxzyxzyxzyxfyxD ),(1342011星星期期三三第第八八周周日日月月年年編輯ppt.10, 0, 0,所所圍圍區(qū)區(qū)域域的的邊邊界界曲曲面面和和是是由由平平面面其其中中計(jì)計(jì)算算 zyxzyxxyzdS、例例1解解xyzdSxyzdSI)(4321 . 0011 yzdSxyzdS. 0033 dSxyxyzdS;),( ,1

6、:4xyDyxyxz ,3111122dxdydxdydxdyzzdSyx dxdyyxxyxyzdSxyD )1(34 xdyyxxydx1010)1(3 xdyxyyxxdx10210)1(3 dxxyyxxx1010331221)1(3 10363)1(dxxx 10363)1(dxxx.1203514163 . 0022 zdSxxyzdS.10 , 10:xyxDxy .12031203000 I編輯ppt、例例2).0( ,:,2222ahhzazyxzdS 其其中中計(jì)計(jì)算算解解.:),(:2222222hayxDyxyxaz dxdydxdyzzdSyxayyxaxyx22222

7、222)()(11222222.222dxdyyxaa dxdyyxaayxazdSD2222221 xyDyxadxdya222 2202220harardrda 2222220)(hararada 220222harardra .ln2)ln(22022haaraaha 編輯ppt).(形形心心求求均均勻勻上上半半球球面面的的重重心心、例例3解解. 0 yx.:),(,:222222RyxDyxyxRzxy dxdyyxRyyxRxdxdyzzdSyx2222222222222211.222yxRRdxdy dSzdSz22222222222RyxRRdxdyyxRRyx .2222322

8、22RRRRRdxdyRyx ).,0 ,0(2RM重重心心編輯ppt.,)(2222222表表面面的的八八面面體體為為內(nèi)內(nèi)接接于于球球面面其其中中計(jì)計(jì)算算azyxazyxdSzyx 、例例4 dSzyx)(222解解.24)(12222 dSzdSzyx.0 ,0:),(,:1xayaxDyxyxaz .3111122dxdydxdydxdyzzdSyx dxdyyxadSzyxD2222)(324)( dxyxadyyxadxaxaxaa00331020)()(324)(324.32)( )(38)(384044103axadxxaaa 1)(8222dSzyx編輯ppt、例例5.)(22

9、222 RzyxdSzyx求求解解 22222222)222()(2222RzyxRzyxdSyxxzxyzyxdSzyxI.)222(4)222(22222222222242 RzyxRzyxRzyxdSyxxzxyRdSyxxzxydSR 2222222222222)(2)222(RzyxRzyxRzyxyxdSdSzyxdSyxxzxy是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于面面對(duì)對(duì)稱稱關(guān)關(guān)于于球球面面xzyxyozRzyx)(2 ,2222 2222; 0)(2RzyxdSzyx是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于面面對(duì)對(duì)稱稱關(guān)關(guān)于于球球面面yyxxozRzyx2 ,2222 022222 RzyxyxdS0)2

10、22(2222 RzyxdSyxxzxy.44RI 編輯ppt分分第第五五節(jié)節(jié)、第第二二類類曲曲面面積積曲曲面面積積分分的的概概念念與與性性質(zhì)質(zhì)對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)一一、第第二二類類)(定義、定義、否否則則稱稱為為單單側(cè)側(cè)曲曲面面。為為雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面則則稱稱曲曲面面終終不不變變其其法法向向量量的的指指向向始始回回到到原原處處動(dòng)動(dòng)且且不不翻翻越越曲曲面面的的邊邊界界上上連連續(xù)續(xù)移移若若當(dāng)當(dāng)該該點(diǎn)點(diǎn)在在向向量量任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)并并作作該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法的的面面上上在在是是光光滑滑曲曲面面設(shè)設(shè)雙雙側(cè)側(cè)、單單側(cè)側(cè)曲曲面面,)( 、曲曲面面?zhèn)葌?cè)定定向向定定義義)(.)(),(曲曲面面?zhèn)葌?cè)則則稱稱該該雙雙側(cè)側(cè)曲曲

11、面面為為定定向向的的法法向向量量即即給給出出曲曲面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)正正側(cè)側(cè)當(dāng)當(dāng)雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面選選定定一一側(cè)側(cè)為為編輯ppt經(jīng)經(jīng)曲曲面面指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量不不可可壓壓縮縮的的穩(wěn)穩(wěn)定定流流體體流流),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 設(shè)設(shè)穩(wěn)穩(wěn)定定流流的的流流速速場(chǎng)場(chǎng)為為：,如如圖圖所所示示)cos,cos,(cosPr000 nndSnvdSvojddSn指指定定側(cè)側(cè)的的單單位位法法向向量量是是曲曲面面其其中中上上的的流流量量面面積積微微元元dSRQPdzyxRzyxQzyxPv )coscoscos(),(),(),(, 指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量為為流流經(jīng)經(jīng)曲曲面面穩(wěn)穩(wěn)定定

12、流流于于是是編輯ppt定義、定義、:,),(),(),(,)cos,cos,(cos,0分分別別為為上上的的三三個(gè)個(gè)則則曲曲面面上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)是是定定義義在在和和指指定定側(cè)側(cè)上上的的單單位位法法向向量量曲曲面面為為是是雙雙側(cè)側(cè)光光滑滑曲曲面面設(shè)設(shè) zyxRzyxQzyxPn dSzyxRdxdyzyxRdSzyxQdzdxzyxQdSzyxPdydzzyxP cos),(),(cos),(),(cos),(),( .cos),(cos),(cos),(),(),(),(dSzyxRzyxQzyxPdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyzyxRdzdxzyxQdyd

13、zzyxP),(),(),(第第二二類類曲曲面面積積分分編輯ppt.),(),(),(:),(),(),(dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPzyxRzyxQzyxPv 的的流流量量為為則則通通過過有有向向曲曲面面設(shè)設(shè)穩(wěn)穩(wěn)定定流流的的流流速速場(chǎng)場(chǎng)為為：0cos),(),(,0cos),(),(,0cos),(),(,222 dSzyxRdxdyzyxRzdSzyxQdzdxzyxQydSzyxPdydzzyxPx 則則軸軸直與直與上每一點(diǎn)的法向量均垂上每一點(diǎn)的法向量均垂顯然：若顯然：若則則軸軸直與直與上每一點(diǎn)的法向量均垂上每一點(diǎn)的法向量均垂顯然：若顯然：若則則軸軸直與直與上每一點(diǎn)的法向量均垂上每一點(diǎn)的法向量均垂顯然：若顯然：若編輯ppt第第二二類類曲曲面