小學(xué)奧數(shù)教程之-多次相遇和追及問(wèn)題.教師版(22)全國(guó)通用(含答案)

1、3-1-4.多次相遇與追及問(wèn)題.題庫(kù)教師版page 18 of 183-1-4多次相遇和追及問(wèn)題削磔手 教學(xué)目標(biāo)1 .學(xué)會(huì)畫(huà)圖解行程題2 .能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問(wèn)題3 .能夠利用比例解多人相遇和追及問(wèn)題"W蚱 知識(shí)精講板塊一、由簡(jiǎn)單行程問(wèn)題拓展出的多次相遇問(wèn)題所有行程問(wèn)題都是圍繞 路程速度時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù) 雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解.【例1】 甲、乙兩名同學(xué)在 周長(zhǎng)為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑4米，問(wèn)：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到

2、出發(fā)點(diǎn)？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】1星【題型】解答【解析】 從開(kāi)始到兩人第十次相遇的這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩人共跑的路程是操場(chǎng)周長(zhǎng)的10倍，為300 10 3000米，因?yàn)榧椎乃俣葹槊棵腌娕?3.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時(shí)間內(nèi)甲共行了30003.51400米，也就 是甲最后一次離 開(kāi)出發(fā) 點(diǎn)繼 續(xù)行了 200米，可 知甲還需行3.5 4300 200 100米才能回到出發(fā)點(diǎn).【答案】100米【鞏固】 甲乙兩人在相距90米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒 2米.如果他們同時(shí)分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】1星【題型】解答【解析】17【

3、答案】17甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn) A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒 鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米？【難度】2星【題型】解答【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【解析】176【答案】176【例2】 甲、乙二人從相距 60千米的兩地同時(shí)相向而行，6時(shí)后相遇。如果二人的速度各增加1千米/時(shí)，那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇地點(diǎn)1千米。問(wèn)：甲、乙二人的速度各是多少？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】甲、乙兩人的速度和第一次為 60田=10 （千米/時(shí)），第二次為12 （千米/時(shí)），故第二次出發(fā)后 5 時(shí)相遇。設(shè)甲第一次的速度為 x千米/

4、時(shí)，由兩次相遇的地點(diǎn)相距 1千米，有6x5 （x+1）= 土， 解得x=6或x=4,即甲、乙二人的速度分別為6千米/時(shí)和4千米/時(shí)?！敬鸢浮考?、乙二人的速度分別為6千米/時(shí)和4千米/時(shí)板塊二、運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問(wèn)題【例3】 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車(chē)從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車(chē)去追他，在離家 4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？【題型】解答【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【解析】畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖：4千米4千米r X >A小明A爸爸圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4 = 4

5、（千米）.而爸爸騎的距離是 4+ 8 = 12 （千米）.這就知道，爸爸騎摩托車(chē)的速度是小明騎自行車(chē)速度的12X= 3 （倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行 80=24（千米）.但事實(shí)上，爸爸少用了 8分鐘，騎行了 4+12=16 （千米）.少騎行24-16 = 8 （千米）.摩托車(chē)的速度是83=1 （千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16= 32.所以這時(shí)是8點(diǎn)32分?！敬鸢浮?點(diǎn)32分【例4】 甲、乙兩車(chē)同時(shí)從 A地出發(fā)，不停的往返行駛于A, B兩地之間。已知甲車(chē)的速度比乙車(chē)快，并且兩車(chē)出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地。問(wèn)：甲車(chē)的速度是乙車(chē)的多少倍？【考

6、點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】2倍。解：如下圖所示，因?yàn)槊看蜗嘤龆脊残幸粋€(gè)來(lái)回，所用時(shí)間相等，所以乙車(chē)兩次相遇走的路程相等，即AC 2CB,推知AC 2AB.第一次相遇時(shí)，甲走了 AB BC 4AB,乙走了332 ，一，.、一 ，一,、AC 2 AB,所以甲車(chē)速度是乙車(chē)的 2倍。3用I-1IIf【答案】2倍 【例5】如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了 100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng).【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí)，

7、甲乙共走完1圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí)，甲乙2共走完1+1=3圈的路程.所以從開(kāi)始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為1: 3,因而第二次相22遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走的總路程的3倍，即100>=300米.有甲、乙第二次相遇時(shí)，共行走（1圈60）+300,為3圈，所以此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為 480米.2【答案】480米【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在 A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇,在D點(diǎn)第二次相遇.已知 C離A有75米，D離B有55米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)是多少米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】340【答案】340【鞏固】 如右圖，A, B是

8、圓的直徑的兩端，甲在 A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在 C點(diǎn)第 次相遇，在D點(diǎn)第二次相遇。已知 C離A有80米，D離B有60米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)?！究键c(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】第一次相遇，兩人共走了 0.5圈；第二次相遇，兩人共走了 1.5圈。因?yàn)?.5 6.5=3,所以第二次相遇時(shí)甲 走的路程是第一次相遇時(shí)甲走的路程的3倍，即 ACD AC 3 240 （米），推知AB 240 BD 180（米），圓周長(zhǎng)為 180 2 360 （米）?！敬鸢浮?60米【鞏固】 在一圓形跑道上，甲從 A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過(guò) 4分甲到達(dá) B點(diǎn)，又過(guò)8分兩人再次

9、相遇。甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】由題意知，甲行4分相當(dāng)于乙行6分。從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行 12分， 而乙行12分相當(dāng)于甲行8分，所以甲環(huán)行一周需 12+8= 20 （分），乙需204X6 = 30 （分）?！敬鸢浮?0分，30分板塊三、多次相遇與全程的關(guān)系1 .兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程； 第2次相遇，共走3個(gè)全程; 第3次相遇，共走5個(gè)全程;第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了 N米，以后每次都走 2N米。2 .同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程

10、；第2次相遇，共走4個(gè)全程；第3次相遇，共走6個(gè)全程； 第N次相遇，共走2N個(gè)全程;3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差【例6】甲、乙兩車(chē)分別同時(shí)從 A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇.求A、B兩地間的距離是多少千米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】畫(huà)線段示意圖（實(shí)線表示甲車(chē)行進(jìn)的路線，虛線表示乙車(chē)行進(jìn)的路線）：甲軍J * 2A r-By-. t 乙車(chē)第：次制遇第2次相遇可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車(chē)行了一個(gè)A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車(chē)共

11、行了三個(gè)A、B兩地間的距離.當(dāng)甲、乙兩車(chē)共行了一個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車(chē)行了 95千米，當(dāng)它們共行三個(gè) A、B兩地間的距離時(shí)，甲車(chē)就行了3個(gè)95千米，即95X3=285 （千米），而這 285千米比一個(gè) A、B兩地間的距離多 25千米，可得：95X3-25=285-25=260（千米）.【答案】260千米【鞏固】 甲、乙二人以均勻的速度分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距 B地3千米處第二次相遇，求 兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】4X3=12千米，通過(guò)畫(huà)圖，我們發(fā)現(xiàn)

12、甲走了一個(gè)全程多了回來(lái)那一段，就是距 B地的3千米，所 以全程是12-3=9千米，所以?xún)纱蜗嘤鳇c(diǎn)相距 9- （3+4） =2千米。【答案】2千米【鞏固】 甲、乙二人以均勻的速度分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距 B地5千米處第二次相遇，求 兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】4千米【答案】4千米【鞏固】 甲、乙二人以均勻的速度分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地6千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地4千米處第二次相遇，求兩人

13、第5次相遇地點(diǎn)距 B多遠(yuǎn).【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】12千米【答案】12千米【鞏固】 甲、乙二人以均勻的速度分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距 B地3千米處第二次相遇，求 第三次相遇時(shí)共走了多少千米 .【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】90千米【答案】90千米【鞏固】 甲、乙二人以均勻的速度分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地3千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距 B地2千米處第二次相遇，求 第2000次相遇地點(diǎn)與第 2001次

14、相遇地點(diǎn)之間的距離.【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】4千米【答案】4千米【鞏固】 甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地18千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地13千米處第二次相遇，求AB兩地之間的距離.【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】41千米【答案】41千米【鞏固】 甲、乙兩車(chē)同時(shí)從 A, B兩地相向而行，在距 B地54千米處相遇。他們各自到達(dá)對(duì)方車(chē)站后立 即返回原地，途中又在距 A地42千米處相遇。求兩次相遇地點(diǎn)的距離。【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】24千米。提示：第一次相

15、遇兩車(chē)共行了A, B間的一個(gè)單程，其中乙行了 54千米；第二次相遇兩車(chē)共行了 A, B間的3個(gè)單程，乙行了 54X3= 162 (千米)，乙行的路程又等于一個(gè)單程加42千米。故A, B間的距離為16242= 120 (千米)?！敬鸢浮?20千米【鞏固】 湖中有A, B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個(gè)來(lái)回。兩人分別從A, B兩島同時(shí)出發(fā)，他們第一次相遇時(shí)距 A島700米，第二次相遇時(shí)距 B島400米。問(wèn)：兩島相距多遠(yuǎn)？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】1700米?！敬鸢浮?700米【例7】 A、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B間往返長(zhǎng)跑。甲每分鐘跑300

16、 米，乙每分鐘跑 240米，在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng)。甲、乙兩人在第幾次相遇時(shí)A地最近？最近距離是多少米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試【解析】30X(300+240)登400=6.75個(gè)全程，相遇3次，把全程分成9份，第一次相遇，甲跑 5份，第二次相遇甲跑15份，距離A3份，第三次相遇甲跑 25份距離A7份，所以第二次相遇距離 A最近，最 近為 2400MX3=800 米?！敬鸢浮?00米【鞏固】A、B兩地相距950米。甲、乙兩人同時(shí)由 A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)。甲步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行 150米。則甲、乙二人第 次迎面相遇時(shí)距 B地最近?！?/p>

17、考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試【解析】 半小時(shí)，兩人一共行走 40 150 30 5700米，相當(dāng)于6個(gè)全程，兩人行程每2個(gè)全程就會(huì)有一次相遇，而兩人的速度比15: 4,所以相同時(shí)間內(nèi)兩人的行程比為15: 4,那么第一次相遇甲走了全程的_J_ 2 芻，距離B 11個(gè)全程，第二次相遇甲總行程 16距離Ba 個(gè)全程，第三次 當(dāng)15 41919191919距離互個(gè)全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時(shí)距離B地最近。19【答案】第二次例8 如圖8,甲、乙兩艘快船不斷往返于 A、B兩港之間。若甲、乙同時(shí)從A港出發(fā)，它們能否同時(shí)到達(dá)下列地點(diǎn)？若能，請(qǐng)推出它們何時(shí)到達(dá)該地

18、點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由：(1) A 港口；(2) B 港口;（3）在兩港口之間且距離 B港30千米的大橋。甲=營(yíng)水防連 乙二梆水牖建50km 浦商港頻18（*jn水同度jOkin【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯。五年級(jí)。二試【解析】（1）甲往返一次的時(shí)間是18018030 10 300乙往返一次的時(shí)間是18018050 10 50013.5 h ,.5 h ，2)13.5和7.5的最小公倍數(shù)是 67.5,所以，在甲、乙出發(fā)后的67.5a a 1,2j|小時(shí)，它們又同時(shí)回到A港。設(shè)甲、乙能同時(shí)到達(dá) B港，此時(shí)，甲、乙各完成了m,n次往返（5分）m, n是自然數(shù)）畀13-1

19、8050 107.5n9m 1 5n。當(dāng)m的個(gè)位數(shù)是6或1時(shí)，有滿(mǎn)足上式的自然數(shù)甲、乙出發(fā)后18+67.5小時(shí)，它們同時(shí)到達(dá)港口。n。，最小的=1,最少需要（10 分）4.5+13.5=18小時(shí)。則在（3）設(shè)甲、乙能同時(shí)到達(dá)大橋，且分別完成了若此時(shí)甲、乙向下游行駛，則m,n次往返（m,n是自然數(shù)）。15015013.5m 30 1050 10135m 12.5 75n ,7.5n ,沒(méi)有滿(mǎn)足上式的自然數(shù) m,n o 若此時(shí)甲、乙向上游行駛，則1803013.5m30 10 30 10135m 22.5 75n ,18050 1030 7.5n ,50 10沒(méi)有滿(mǎn)足上式的自然數(shù) m,n o若此時(shí)

20、甲向上游行駛，乙向下游行駛，則1803030 10 30 10即 27m 7 15n15013.5m 一50 107.5n沒(méi)有滿(mǎn)足上式的自然數(shù) m,n o若此時(shí)甲向下游行駛，乙向上游行駛，則15013.5m30 109 m 5n1803050 10 50 107.5n當(dāng)m的個(gè)位數(shù)是0或5時(shí)，有滿(mǎn)足上式的自然數(shù) n,所以在甲、乙出發(fā)后的15013.5 5c 3.75 67.5c c 0,1,2,30 10小時(shí)，它們同時(shí)到達(dá)大橋?！敬鸢浮?1) 67.5a a 1,2, 口小時(shí)(2) 18+67.5 小時(shí)150一(3) 13.5 5c 3.75 67.5c c 0,1,2,小時(shí)30 10【例9】

21、甲、乙二人進(jìn)行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時(shí)開(kāi)始游，直到一方追上另一方為止，追上者為勝。已知甲、乙的速度分別為1.0米/秒和0.8米/秒。問(wèn)：（1）比賽開(kāi)始后多長(zhǎng)時(shí)間甲追上乙？ （2）甲追上乙時(shí)兩人共迎面相遇了幾次？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】（1） 250秒；（2） 4次。提示：（2）甲、乙分別游了 5個(gè)和14個(gè)單程，故迎面相遇 4次。【答案】（1） 250秒；（2） 4次【例10】甲、乙兩車(chē)分別從 A,B兩地出發(fā)，并在 A, B兩地間不斷往返行駛。已知甲車(chē)的速度是15千米/時(shí)，乙車(chē)的速度是 25千米/時(shí)，甲、乙兩車(chē)第三次相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)相差

22、100千米。求A , B兩地的距離?！究键c(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】200千米。第一次相遇時(shí)，兩車(chē)共走1個(gè)單程，其中乙車(chē)占 二5 3。第三次相遇時(shí)，兩車(chē)共15 25 8走5個(gè)單程，乙車(chē)走了 5 3 1工（個(gè)）單程；第四次相遇時(shí)，兩車(chē)共走7個(gè)單程，乙車(chē)走了 7另2588887 51（個(gè)）單程；因?yàn)榈诙?、四次相遇地點(diǎn)相差7 2 1 1 （個(gè)）單程，所以 A, B兩地相距8 821一，.100 200 （千米）。 2【答案】200千米【例11】 歡歡和樂(lè)樂(lè)在操場(chǎng)上的 A、B兩點(diǎn)之間練習(xí)往返跑，歡歡的速度是每秒8米，樂(lè)樂(lè)的速度是每秒5米。兩人同時(shí)從 A點(diǎn)出發(fā)，到達(dá) B點(diǎn)后返回，已知他

23、們第二次迎面相遇的地點(diǎn)距離AB的中點(diǎn)5米，AB之間的距離是?！究键c(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)【解析】130米。第二次應(yīng)面相遇，兩人合計(jì)跑了4個(gè)全程，速度比試8:5 ,所以歡歡跑了 4 32 213 1313-16.全程為51 -130米2 13【答案】130米【例12】甲、乙兩車(chē)同時(shí)從 A、B兩地相對(duì)亦開(kāi)出，兩車(chē)第一次距A地32千米處相遇，相遇后兩車(chē)?yán)^續(xù)行駛，各自達(dá)到 B、A兩地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米處相遇，則 A、B兩地間的距離是 千米?！究键c(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，6年級(jí)，二試【解析】第一次相遇，兩車(chē)行駛的距

24、離總和等于AB兩地距離；第二次相遇，兩車(chē)行駛的距離總和等于AB兩地距離的三倍。所以，第二次相遇時(shí)，兩車(chē)各自行駛的距離也分別等于第一次相遇時(shí)行駛的距離的三倍。第一次相遇時(shí)，甲車(chē)行駛 32千米；第二次相遇時(shí)，甲車(chē)行駛?cè)痰亩稖p64千米。所以，全程的二倍減 64千米等于96千米，全程為80千米?！敬鸢浮?0【例13】 小明和小紅兩人在長(zhǎng) 100米的直線跑道上來(lái)回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒.他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎面相遇了多少次？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】第一次相遇時(shí)，兩人共跑完了一個(gè)全程，所用時(shí)間為： 1

25、00 （6 4） 10（秒）.此后，兩人每相遇 一次，就要合跑 2倍的跑道長(zhǎng)，也就是每 20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了12 60 10 710（秒）.求出710秒內(nèi)兩人相遇的次數(shù)再加上第一次相遇，就是相遇的總次數(shù).列 式計(jì)算為：100（64）10（秒），（126010）（102）35|10,共相遇 35 136（次）。注：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路Mk .【答案】36次 【例14】A、B兩地間有條公路，甲從 A地出發(fā)，步行到 B地，乙騎摩托車(chē)從 B地出發(fā)，不停地往返于A、B兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追

26、上甲，問(wèn)：當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙追上甲幾次？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】甲-AAFEB v乙第一次相遇 第一次追上由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100 80 20（分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段FA的長(zhǎng)度再加上線段 AE的長(zhǎng)度，即等于甲在（80 100）分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速 度是甲的9倍（180 20）,則BF的長(zhǎng)為AF的9倍，所以，甲從A到B ,共需走80 （1 9） 800 （分 鐘）乙第一次追上甲時(shí)，所用的時(shí)間為100分鐘，且與甲的路程差為一個(gè) AB全程.從第一次追上甲時(shí)開(kāi)始，乙每次追上甲的路程差就是兩個(gè)AB全程，因此，追及時(shí)間也變?yōu)?00分鐘

27、（100 2）,所以，在甲從 A到B的800分鐘內(nèi)，乙共有 4次追上甲，即在第 100分鐘，300分鐘，500分鐘 和700分鐘.【答案】第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘【例15】甲、乙兩人分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的-,二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，3甲到B地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點(diǎn)距第三次相遇的地點(diǎn)是100千米，那么，A、B兩地相距 千米.【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】由于甲、乙的速度比是 2:3,所以在相同的時(shí)間內(nèi)，兩人所走的路程之比也是2:3.第一次相遇時(shí)，兩人共走了一個(gè) AB的長(zhǎng)，所以可以把 AB的長(zhǎng)看作5份，甲、乙

28、分別走了 2份和3份；第 二次相遇時(shí)，甲、乙共走了三個(gè) AB ,乙走了 2 3 6份；第三次相遇時(shí)，甲、乙共走了五個(gè) AB , 乙走了 2 5 10份.乙第二次和第三次相距 106=4（份）所以一份距離為：100F=25 （千米）， 那么A、B兩地距離為：5X25= 125 （千米）【答案】125千米【鞏固】 小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩人第一 次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追上也算作相遇），則甲、乙兩地的距離為 千米.【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【解析】由于兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由

29、于本題中追上也算相遇，所以 兩人第二次相遇可能為迎面相遇，也可能為同向追及.如果第二次相遇為迎面相遇，如下圖所示，兩人第一次在A處相遇，第二次在 B處相遇.由于第一次相遇時(shí)兩人合走 1個(gè)全程，小王走了 3千米；從第一次相遇到第二次相遇，兩人合走2個(gè)全程，所以這期間小王走了3 2 6千米，由于A、B之間的距離也是 3千米，所以B與乙地的距離為（6 3） 2 1.5千米，甲、乙兩地的距離為 6 1.5 7.5千米；李乙王Fr李甲|I1乙AB如果第二次相遇為同向追及，如上圖，兩人第一次在A處相遇，相遇后小王繼續(xù)向前走，小李走到甲地后返回， 在B處追上小王.在這個(gè)過(guò)程中，小王走了 6 3 3千米，小李

30、走了 6 3 9千 米，兩人的速度比為 3:9 1:3 .所以第一次相遇時(shí)小李也走了9千米，甲、乙兩地的距離為9 3 12千米.所以甲、乙兩地的距離為 7.5千米或12千米.【答案】7.5千米或12千米【鞏固】A, B兩地相距540千米。甲、乙兩車(chē)往返行駛于 A,B兩地之間，都是到達(dá)一地之后立即返回， 乙車(chē)較甲車(chē)快。設(shè)兩輛車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車(chē)第三次相遇為止，乙車(chē)共走了多少千米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】第一次相遇，甲乙總共走了2個(gè)全程，第二次相遇，甲乙總共走了 4個(gè)全程，乙比甲快，相遇又在P點(diǎn)，所以可以根據(jù)總結(jié)和畫(huà)圖推出：從第一次相

31、遇到第二次相遇，乙從第一個(gè) P點(diǎn)到第二個(gè) P點(diǎn)，路程正好是第一次的路程。所以假設(shè)一個(gè)全程為 3份，第一次相遇甲走了 2份乙走了 4份。第二次相遇，乙正好走了 1份到B地，又返回走了 1份。這樣根據(jù)總結(jié)：2個(gè)全程里乙走了 （540與） %=180 >4=720千米，乙總共走了 720 M=2160千米?！敬鸢浮恳铱偣沧吡?2160千米【例16】 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村 2千米處第二次相遇.問(wèn)他們兩人第四次相遇的地 點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【

32、解析】畫(huà)示意圖如下.3.5 >3=10.5 （千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2 = 8.5 （千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（3+2+2）倍的行程.其中張走了3.5 >7 = 24.5 （千米）,24.5=8.5 + 8.5 + 7.5 （千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1 （千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.【答案】第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米【例17】A, B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)步行到 B地，乙騎摩托車(chē)從 B地出發(fā)不停頓地往返于

33、A, B兩地之間。他們同時(shí)出發(fā)，80分后兩人第一次相遇，100分后乙第一次超過(guò)甲。問(wèn)：當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙追上甲幾次？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】4次。提示：如下圖所示，C, D點(diǎn)分別為乙第一次遇到和超過(guò)甲的地點(diǎn)。甲從 A到C用了 80分，到D用了 100分，乙從C到A又到D用了 20分，可見(jiàn)乙20分走了甲需180分走的路，即 己的速度是甲的9倍。2 0分 嘮分I'ia【答案】4次【例18】電子玩具車(chē) A與B在一條軌道的兩端同時(shí)出發(fā)相向而行，在軌道上往返行駛。已知 A比B的速 度快50%,根據(jù)推算，第20072007次相遇點(diǎn)與第20082008次相遇點(diǎn)相距58厘米，軌

34、道長(zhǎng)厘米。【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)，1試【解析】A, B兩車(chē)速度比為(1 50%) :1 3: 2。第20072007次相遇點(diǎn)的位置在：3 (2 20072007 1) 5(mod10)；第 20082008 次相遇點(diǎn)的位置在：3 (2 20082008 1) 3(mod10)。所以這條軌道長(zhǎng) 58 (5 3) 5 145 (厘米)?！敬鸢浮?45板塊四、解多次相遇問(wèn)題的工具柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間-距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相遇的次數(shù)”，相遇的地點(diǎn)”，以

35、及由相遇的地點(diǎn)求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。 如果不畫(huà)圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易?！纠?9】每天中午有一條輪船從哈佛開(kāi)往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開(kāi)往哈佛.輪船在 途中均要航行七天七夜.試問(wèn)：某條從哈佛開(kāi)出的輪船在到達(dá)紐約前(途中)能遇上幾艘從紐 約開(kāi)來(lái)的輪船？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】這就是著名的柳卡問(wèn)題.下面介紹的法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡斯圖姆給出的一個(gè)非常直觀巧妙的解法.他先畫(huà)了如下一幅圖:這是一張運(yùn)行圖.在平面上畫(huà)兩條平行線，以一條直線表示哈佛，另一條直線表示紐約.那么， 從哈佛或紐約開(kāi)

36、出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來(lái)表示.圖中的每條線段分別表示每條船 的運(yùn)行情況.粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點(diǎn)即為與對(duì)方開(kāi)來(lái)輪 船相遇的情況.從圖中可以看出，某天中午從哈佛開(kāi)出的一條輪船(圖中用實(shí)線表示)會(huì)與從紐約開(kāi)出的15艘輪船相遇(圖中用虛線表示).而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發(fā)時(shí)遇到(從紐約剛到 達(dá)哈佛)，1艘是到達(dá)紐約時(shí)遇到(剛好從紐約開(kāi)出)，剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時(shí)間是每天中午和子夜.如果不仔細(xì)思考，可能認(rèn)為僅遇到7艘輪船.這個(gè)錯(cuò)誤，主要是只考慮以后開(kāi)出的輪船而忽略了已在海上的輪船.【答案】15艘【鞏固】 一條

37、電車(chē)線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔 5分鐘有一輛電車(chē)從甲站發(fā)出開(kāi)往乙站，全程要走15分鐘.有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車(chē)線路騎車(chē)前往甲站.他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車(chē)到達(dá)乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē).到達(dá)甲站時(shí)，恰好又有一輛電車(chē)從甲站開(kāi)出.問(wèn)他從乙站到甲站用了多少分鐘？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】先讓學(xué)生用分析間隔的方式來(lái)解答：騎車(chē)人一共看到12輛車(chē)，他出發(fā)時(shí)看到的是 15分鐘前發(fā)的車(chē)，此時(shí)第 4輛車(chē)正從甲發(fā)出.騎車(chē) 中，甲站發(fā)出第 4到第12輛車(chē)，共9輛，有8個(gè)5分鐘的間隔，時(shí)間是 5 8 40 （分鐘）.再引導(dǎo)學(xué)生用柳卡的運(yùn)行圖的方式來(lái)分析：第一步：

38、在平面上畫(huà)兩條平行線分別表示甲站與乙站.由于每隔5分鐘有一輛電車(chē)從甲站出發(fā)，所以把表示甲站與乙站的直線等距離劃分，每一小段表示5分鐘.乙站-otiOO-e0a9中09-0o YaS-第二步：因?yàn)殡娷?chē)走完全程要15分鐘，所以連接圖中的 1號(hào)點(diǎn)與P點(diǎn)（注意：這兩點(diǎn)在水平方向上正好有3個(gè)間隔，這表示從甲站到乙站的電車(chē)走完全程要15分鐘），然后再分別過(guò)等分點(diǎn)作一簇與它平行的平行線表示從甲站開(kāi)往乙站的電車(chē).乙茄"O 一 聲 0 cl e 一, 0 口 口 A-白 。 O上第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發(fā)的騎車(chē)人在途中遇到十輛迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē)，那么從P點(diǎn)引出的粗線必須和 10條平行線相交，這

39、正好是圖中從2號(hào)點(diǎn)至12號(hào)點(diǎn)引出的平行線.育8個(gè)間隔從圖中可以看出，騎車(chē)人正好經(jīng)歷了從P點(diǎn)到Q點(diǎn)這段時(shí)間，因此自行車(chē)從乙站到甲站用了5 8 40 （分鐘）.對(duì)比前一種解法可以看出，采用運(yùn)行圖來(lái)分析要直觀得多！【答案】40分鐘【例20】甲、乙兩人在一條長(zhǎng)為 30米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米.如 果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】采用運(yùn)行圖來(lái)解決本題相當(dāng)精彩！首先，甲跑一個(gè)全程需 30 1 30 （秒），乙跑一個(gè)全程需30 0.6 50行圖如下（實(shí)線表甲，虛線表示乙，那么實(shí)虛兩線交點(diǎn)就

40、是甲乙相遇的地點(diǎn)）（秒）.與上題類(lèi)似，畫(huà)運(yùn)乙甲甲,乙甲，從圖中可以看出，當(dāng)甲跑5個(gè)全程時(shí)，乙剛好跑3個(gè)全程，各自到了不同兩端又重新開(kāi)始，這正好是一周期150秒.在這一周期內(nèi)兩人相遇了分鐘，正好是四個(gè)周期，也就相遇了 5 4 20 （次）【答案】20次一個(gè)周期內(nèi)共有5次相遇，其中第1, 2,4, 5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇.5次，所以?xún)扇伺?0【例21】A、B兩地位于同一條河上,B地在A地下游100千米處.甲船從 A地、乙船從B地同時(shí)出發(fā),相向而行，甲船到達(dá) B地、乙船到達(dá) A地后，都立即按原來(lái)路線返航.水速為2米/秒，且兩船20千米，那么兩船在靜水中的速度是在靜水中的速度相同.如果兩船

41、兩次相遇的地點(diǎn)相距米/秒.【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，復(fù)賽，高年級(jí)組【解析】本題采用折線圖來(lái)分析較為簡(jiǎn)便.如圖，箭頭表示水流方向，A C E表示甲船的路線，B D F表示乙船的路線，兩個(gè)交點(diǎn)M、N就是兩次相遇的地點(diǎn).由于兩船在靜水中的速度相同，所以?xún)纱捻標(biāo)俣群湍嫠俣榷挤謩e相同，那么兩船順?biāo)写湍嫠写玫臅r(shí)間都分別相同，表現(xiàn)在圖中，就是 BC和DE的長(zhǎng)度相同，AD和CF的長(zhǎng)度那么根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可以知道，M點(diǎn)距BC的距離與N點(diǎn)距DE的距離相等，也就是說(shuō)兩次相遇地點(diǎn)與A、B兩地的距離是相等的.而這兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米，所以第一次相遇時(shí)，兩船分別走了 100

42、 202 40千米和100 40 60千米，可得兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣戎葹?0: 40 3: 2.而順?biāo)俣扰c逆水速度的差為水速的2倍，即為4米/秒，可得順?biāo)俣葹?4 3 2 3 12米/秒，那么兩船在靜水中的速度為12 2 10米/秒.【答案】10米/【例22】A、 B兩地相距1000米，甲從 A地、乙從 B地同時(shí)出發(fā)，在 A、 B兩地間往返鍛煉.乙 跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行 60米.在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距B地最近（從后面追上也算作相遇）？最近距離是多少？0481216202428 S2【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】甲、乙的運(yùn)行圖如上，圖中

43、實(shí)現(xiàn)表示甲，虛線表示乙，兩條線的交點(diǎn)表示兩人相遇.在30分鐘內(nèi)，兩人共行了 （150 60） 30 6300 米，相當(dāng)于6個(gè)全程又300米，由圖可知，第 3次相遇 時(shí)距離 A地最近，此時(shí)兩人共走了3個(gè)全程，即1000 >3 =3000千米，用時(shí)3000+ （ 150+60）=100/7 分鐘，甲行了 60X100/7=6000/7 米， 相遇地點(diǎn)距離 B地1000-6000/7 143米.【答案】143【鞏固】A、 B兩地相距 950米.甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí).甲步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地最近？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度

44、】3星【題型】解答【解析】 半小時(shí)內(nèi)，兩人一共行走（40+ 150） X 30 =5700米，相當(dāng)于 6個(gè)全程，兩人每合走2個(gè)全程就會(huì)有一次相遇，所以?xún)扇斯灿?次相遇，而兩人的速度比為40 :150= 4 :15 ,所以相同時(shí)間內(nèi)兩人的行程比為 4 :15,那么第一次相遇甲走了全程的42 _8，距離B地11/19個(gè)全程；15 419第二次相遇甲走了 16/19個(gè)全程，距離 B地3/19個(gè)全程；第三次相遇甲走了24/19個(gè)全程，距離B地5/19個(gè)全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時(shí)距離B地最近.【答案】第二次【鞏固】 A、B兩地相距950m,甲、乙兩人同時(shí)從 A地出發(fā)，往返 A、B兩地跑步90分

45、鐘.甲跑步的 速度是每分鐘40m;乙跑步的速度是每分鐘 150m.在這段時(shí)間內(nèi)他們面對(duì)面相遇了數(shù)次，請(qǐng)問(wèn) 在第幾次相遇時(shí)他們離 B點(diǎn)的距離最近？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】950 150 40) 5 (分鐘).甲、乙兩人合走一個(gè)全程需要5分鐘，每合走2個(gè)全程相遇一次，所以總共相遇90 (5 2) 9次.而甲每10分鐘走40 10 400 ( m)并且與乙相遇一次，因?yàn)?950 3 400 7 50 (m)也就是當(dāng)甲、乙兩人第 7次相遇時(shí)甲離 B地50m為最小，在第7次相 遇時(shí)他們離B點(diǎn)距離最近.【答案】第7次【鞏固】 A、 B兩地相距 2400米，甲從 A地、乙從 B地同時(shí)

46、出發(fā)，在 A、 B兩地間往返鍛煉.甲 每分鐘跑300米，乙每分鐘跑 240米，在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng).甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距A地最近？最近距離是多少？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】第二次，800米【答案】第二次，800米板塊五、多次相遇問(wèn)題一一變道問(wèn)題【例23】甲、乙兩車(chē)同時(shí)從同一點(diǎn)A出發(fā)，沿周長(zhǎng)6千米的圓形跑道以相反的方向行駛.甲車(chē)每小時(shí)行駛65千米，乙車(chē)每小時(shí)行駛 55千米.一旦兩車(chē)迎面相遇，則乙車(chē)立刻調(diào)頭；一旦甲車(chē)從后面追上乙車(chē)，則甲車(chē)立刻調(diào)頭，那么兩車(chē)出發(fā)后第 11次相遇的地點(diǎn)距離 A點(diǎn)有多少米？(每一次 甲車(chē)追上乙車(chē)也看作一次相遇 )【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】2星【題

47、型】解答【解析】第一次是一個(gè)相遇過(guò)程，相遇時(shí)間為：6 (65 55) 0.05小時(shí)，相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)：55 0.05 2.75 千米.然后乙車(chē)調(diào)頭，成為追及過(guò)程，追及時(shí)間為：6 (65 55) 0.6小時(shí)，乙車(chē)在此過(guò)程中走的路程為：55 0.6 33千米，即5圈又3千米，那么這時(shí)距離 A點(diǎn)3 2.75 0.25千米.此時(shí)甲車(chē)調(diào)頭，又成為相遇過(guò)程，同樣方法可計(jì)算出相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)0.25 2.75 3千米，然后乙車(chē)掉頭，成為追及過(guò)程，根據(jù)上面的計(jì)算，乙車(chē)又要走5圈又3千米，所以此時(shí)兩車(chē)又重新回到了 A點(diǎn)，并且行駛的方向與最開(kāi)始相同.所以，每4次相遇為一個(gè)周期，而11 4 2|3,所以第11次相遇

48、的地點(diǎn)與第 3次相遇的地點(diǎn)是 相同的，與A點(diǎn)的距離是3000米.【答案】3000米【例24 下圖是一個(gè)邊長(zhǎng) 90米的正方形，甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲逆時(shí)針每分行75米，乙順時(shí)針每分行45米.兩人第一次在 CD邊(不包括C,D兩點(diǎn))上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】?jī)扇说谝淮蜗嘤鲂?60 (75 45) 3分，其間乙走了 45 3 135 (米).由此知，乙每走 135米兩人相遇一次，依次可推出第7次在CD邊相遇(如圖，圖中數(shù)字表示該點(diǎn)相遇的次數(shù))【答案】第7次【例25如圖所示，甲、乙兩人從長(zhǎng)為400米的圓形跑道的 A點(diǎn)背向出發(fā)跑步。 跑道右半部

49、分(粗線部分) 道路比較泥濘，所以?xún)扇说乃俣榷紝p慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒 4米。兩人一直跑下去，問(wèn)：他們第 99次迎面相遇的地方距 A點(diǎn) 還有 米。A【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】 本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時(shí)間分別相同，那么兩人所用的總時(shí)間也就相同，所以，兩人同時(shí)出發(fā)，跑一圈后同時(shí)回到 A點(diǎn)，即兩人在 A點(diǎn)迎面相遇，然后再?gòu)?A 點(diǎn)出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期.在第一個(gè)周期內(nèi)，兩人同時(shí)

50、出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點(diǎn)前肯定有一次迎面相遇，這是兩人 第一次迎面相遇，然后回到出發(fā)點(diǎn)是第二次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個(gè)相遇點(diǎn)第三次相 遇，再回到出發(fā)點(diǎn)是第四次相遇 可見(jiàn)奇數(shù)次相遇點(diǎn)都是途中相遇的地點(diǎn)，偶數(shù)次相遇點(diǎn)都是 A點(diǎn).本題要求的是第99次迎面相遇的地點(diǎn)與 A點(diǎn)的距離，實(shí)際上要求的是第一次相遇點(diǎn)與A點(diǎn)的距離.對(duì)于第一次相遇點(diǎn)的位置，需要分段進(jìn)行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到跑完正常道路時(shí)，乙才跑了 200 8 4 100米，此時(shí)兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此時(shí)兩人速度相同，所以再各跑50米可以相遇.所以第一次相遇時(shí)乙跑了100 50 150米，這就

51、是第一次相遇點(diǎn)與 A點(diǎn)的距離，也是第 99次迎面相遇的地點(diǎn)與 A點(diǎn)的距離.【答案】150米 【例26】如圖，學(xué)校操場(chǎng)的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有 200米路程相重.甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時(shí)針?lè)较蚺?，乙以每?米的速度沿小跑道順時(shí)針?lè)较蚺?，兩人同時(shí)從兩跑道的交點(diǎn)A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí)，甲共跑了多少米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，甲、乙只可能在AB右側(cè)的半跑道上相遇.易知小跑道上 AB左側(cè)的路程為100米，右側(cè)的路程為200米，大跑道上AB的左、右兩側(cè)的路程均是200米.我們將甲、乙的行程狀況分析清楚.當(dāng)甲第一次到達(dá) B

52、點(diǎn)時(shí)，乙還沒(méi)有到達(dá)B點(diǎn)，所以第一次相遇一定在逆時(shí)針的BA某處.而當(dāng)乙第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，所需時(shí)間為200 4 50秒，此時(shí)甲跑了 6 50 300米，在離B點(diǎn)300 200 100米處.乙跑出小跑道到達(dá)A點(diǎn)需要100 4 25秒，則甲又跑了 6 25 150米，在A點(diǎn)左邊 (100 150) 200 50 米處.所以當(dāng)甲再次到達(dá) B處時(shí)，乙還未到B處，那么甲必定能在 B點(diǎn)右邊某處與乙第二次相遇.從乙再次到達(dá) A處開(kāi)始計(jì)算，還需(400 50) (6 4) 35秒，甲、乙第二次相遇，此時(shí)甲共跑了50 25 35 110秒.所以，從開(kāi)始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6 110 660米.【答案】660米

53、【例27 下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米，小圓直徑 30厘米。兩只甲蟲(chóng)同時(shí)從 A點(diǎn)出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問(wèn)：當(dāng)小圓上甲蟲(chóng)爬了幾圈時(shí)，兩 只甲蟲(chóng)首次相距最遠(yuǎn)？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】5星【題型】解答所以在小圓甲蟲(chóng)跑了A的直徑另一直徑端點(diǎn)B,2【解析】我們知道，大小圓只有一個(gè)公共點(diǎn) （內(nèi)切），而在圓上最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)為直徑兩端，所以當(dāng)一只甲蟲(chóng)在A點(diǎn)，另一只在過(guò)于是小圓甲蟲(chóng)跑了 30n,大圓甲蟲(chóng)跑了 48（m+ - ）= 48m + 242因?yàn)樗俣认嗤韵嗤瑫r(shí)內(nèi)路程相同，起點(diǎn)相同， 所以 30n = 48m+ 24;即5n=8m+4,有不定方程知識(shí)，解出有

54、 n=4, m=2, 所以小甲蟲(chóng)跑了 2圈后，大小甲蟲(chóng)相距最遠(yuǎn)?！敬鸢浮啃〖紫x(chóng)跑了 2圈后，大小甲蟲(chóng)相距最遠(yuǎn)【例28如圖所示，甲沿長(zhǎng)為 400米大圓的跑道順時(shí)針跑步，乙則沿兩個(gè)小圓八字形跑步（圖中給出跑動(dòng)路線的次序：1 2 3 4 1 ll|lll）o如果甲、乙兩人同時(shí)從 A點(diǎn)出發(fā)，且甲、乙二人的速度分 別是每秒3米和5米，問(wèn)兩人人相遇的時(shí)間是出發(fā)后 秒。【考點(diǎn)】行程問(wèn)題【難度】5星【題型】解答【解析】 從圖中可以看出，甲、乙兩人只有可能在A、B兩點(diǎn)處相遇（本題中，雖然在 B處時(shí)兩人都是順時(shí)針，但是由于兩人的跑道不同，因此在此處的相遇不能看作是追及）從A到B,在大圓周上是半個(gè)圓周，即 200米；在小圓周上是整個(gè)小圓圓周，也是 200米.兩人 的速度之比為3:5 ,那么兩人跑200米所用的時(shí)間之比為 5:3 .設(shè)甲跑200米所用的時(shí)間為 5個(gè) 時(shí)間單位，則乙跑 200米所用的時(shí)間為 3個(gè)時(shí)間單位.根據(jù)題意可知，1個(gè)時(shí)間單位為c40 G200 3 5 秒. 3可以看出，只有甲跑的時(shí)間是5個(gè)時(shí)間單位的整數(shù)倍時(shí)，甲才可能在 A點(diǎn)或B點(diǎn)，