小學(xué)奧數(shù)教程整除與分類計(jì)數(shù)綜合教師版全國(guó)通用

1、5-2-3.整除與分類計(jì)數(shù)綜合第3頁(yè)/共6頁(yè)刖磔作 知識(shí)框架1 .熟練掌握整除的性質(zhì)；2 .運(yùn)用整除的性質(zhì)解計(jì)數(shù)問(wèn)題;3 .整除性質(zhì)的綜合運(yùn)用求計(jì)數(shù)目W蚱 知識(shí)點(diǎn)撥一、常見(jiàn)數(shù)字的整除判定方法1 . 一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除； 一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就能被4或25整除； 一個(gè)數(shù)的末三位能被8或125整除，這個(gè)數(shù)就能被8或125整除；2 . 一個(gè)位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除； 一個(gè)數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除；3 .如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除,那么這個(gè)數(shù)能被11整除.4 .如果一個(gè)整數(shù)的

2、末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除,那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除.【備注】（以上規(guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.）二、整除性質(zhì)性質(zhì)1如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被 c整除.即如 果 c I a,c | b,那么 c | (a).性質(zhì)2如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除.即如果 b I a,c I b,那么 c I a.用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除.即如果bc I a,那么 b I a, c I a.性質(zhì)4如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a

3、定能被b與c的乘積整除.即如果b I a, c I a,且(b, c)=1,那么bc I a.例如：如果 3 I 12, 4 I 12,且(3, 4)=1,那么(3M) I 12.性質(zhì)5如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除.如果b | a,那么bm 1am (m為非0整數(shù))；性質(zhì)6如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除.如果 b | a ,且 d | c ,那么 bd | ac;的M比例題精講模塊一、利用整除的性質(zhì)分類枚舉【例1】在方框中填上兩個(gè)數(shù)字，可以相同也可以不同，使4口32篷9的倍數(shù).請(qǐng)隨便填出一種，并檢查自己填的是否正確；一共有多少種滿足條件的填法？

4、【考點(diǎn)】利用整除的性質(zhì)分類枚舉【難度】3星【題型】解答【解析】一個(gè)數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是 9的倍數(shù)，即4 口 3 2 口 是9的倍數(shù)，而4 3 2 9,所以只需要兩個(gè)方Ig中的數(shù)的和是 9的倍數(shù). 依次填入3、6,因?yàn)? 3 3 2 6 18是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù)； 經(jīng)過(guò)分析容易得到兩個(gè)方框內(nèi)的數(shù)的和是9的倍數(shù)，如果和是9,那么可以是(9,0); (8,1); (7,2); (6,3); (5,4); (4,5); (3,6); (2,7); (1,8); (0,9), 共10種情況，還有(0,0)和(9,9),所以一共有12種不同的填法.【答案】(1) 43326

5、, (2) 12種【例2】用1, 9, 8, 8這四個(gè)數(shù)字能排成幾個(gè)被11除余8的四位數(shù)？ 【考點(diǎn)】利用整除的性質(zhì)分類枚舉【難度】4星【題型】解答【解析】現(xiàn)在要求被11除余8,我們可以這樣考慮：這樣的數(shù)加上 3后，就能被11 整除了.所以我們得到 幺個(gè)數(shù)被11除余8”的判定法則：將偶位數(shù)字相加 得一個(gè)和數(shù)，再將奇位數(shù)字相加再加 3,得另一個(gè)和數(shù)，如果這兩個(gè)和數(shù)之 差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)是被11除余8的數(shù)；否則就不是.要把1, 9, 8, 8排成一個(gè)被11除余8的四位數(shù)，可以把這4個(gè)數(shù)分成兩組，每組2個(gè) 數(shù)字.其中一組作為千位和十位數(shù)，它們的和記作A；另外一組作為百位和 個(gè)位數(shù)，它們之和加上

6、3記作B.我們要適當(dāng)分組，使得能被 11整除.現(xiàn)在只有下面4種分組法：偶位奇位1,89,81,98,89,81,88,81,9經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，只有第種分組法滿足前面的要求：A189, B983 20,B A 11能被11整除.其余三種分組都不滿足要求.根據(jù)判定法則還可以知 道，如果一個(gè)數(shù)被11除余8,那么在奇位的任意兩個(gè)數(shù)字互換，或者在偶 位的任意兩個(gè)數(shù)字互換得到的新數(shù)被11除也余8.于是，上面第種分組中，1和8任一個(gè)可以作為千位數(shù)，9和8中任一個(gè)可以作為百位數(shù).這樣 共有4種可能的排法：1988, 1889, 8918, 8819.【答案】4種可能的排法：1988, 1889, 8918, 881

7、9【例3】在1至2019這2019個(gè)自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共 有多少個(gè)？【考點(diǎn)】利用整除的性質(zhì)分類枚舉【難度】4星【題型】解答【解析】1到2019這2019個(gè)自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有 丑竺133個(gè)，3和7的倍數(shù) 15有空”95個(gè),5和7的倍數(shù)有 空08 57個(gè)，3、5和7的倍數(shù)有 儂 19個(gè).所 2135105以，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的共有133 19 95 19 57 19 228個(gè).【答案】228【例4】有些數(shù)既能表示成3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和； 還能表示成5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.請(qǐng)你找出 700至1000之間，所有滿足 上述要求的數(shù)，并

8、簡(jiǎn)述理由.【考點(diǎn)】利用整除的性質(zhì)分類枚舉【難度】4星【題型】解答【解析】3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被 3整除；4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠 被2整除，且除以2所得的商是奇數(shù)，也就是說(shuō)它不能被 4整除，除以4 所得余數(shù)為2; 5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被 5整除.3、2、5的最小 公倍數(shù)是30,所以滿足上述三個(gè)條件的最小的數(shù)是 30. 3、4、5的最小公 倍數(shù)是60,所以60的整數(shù)倍加上30就可以滿足條件.700 60 11 40,所以 第3頁(yè)/共6頁(yè)第一個(gè)符合題意的數(shù)是750 60 12 30,最大的一個(gè)數(shù)是990 60 16 30,共計(jì) 16 12 1 5個(gè)數(shù)，分別為 750、810、8

9、70、930、990.【答案】750、810、870、930、990.模塊二、利用整式拆分進(jìn)行分類枚舉【例5】在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有多 少個(gè).【考點(diǎn)】利用整式拆分進(jìn)行分類枚舉【難度】4星 【題型】解答【解析】?jī)晌粩?shù)字中能被11整除的數(shù)字是11、22、99這些數(shù)字中顯然沒(méi)有這 樣的數(shù).三位數(shù)，設(shè)這個(gè)三位數(shù)為近，有a b c 13和a c b 11 ,顯然有a c 12, b 1,所以就有 913, 814, 715, 616, 517, 418, 319 這 7 個(gè).四位 數(shù)，設(shè)這個(gè)四位數(shù)為abcd , (1)有a b c d 13和(a c) (b

10、d) 11中，若a c 12, b d 1則a 3或4有2種組合，b和d有2種.因此有4種；有 abcd 13和(b d) (a c) 11, a c 1, b d 12,則只能 a 1, c 0, b和 d 有7種組合.綜上所述，這樣的數(shù)有7 4 7 18個(gè).觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原則，有目的、有計(jì)劃的先安排 與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲(chóng)等，孩子一邊觀察，一邊提問(wèn)，興趣很濃。我提供的觀察 對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)行觀察， 保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f(shuō)得正確。

11、在觀察過(guò)程中指導(dǎo)。我注 意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察， 觀察與說(shuō)話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼 兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問(wèn)幼兒烏云是什么樣子的，有 的孩子說(shuō)：烏云像大海的波浪。有的孩子說(shuō) 烏云跑得飛快?！蔽壹右钥隙ㄕf(shuō) 這是 烏云滾滾?！碑?dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他 這叫電光閃閃?！苯又變郝?tīng)到雷聲驚 叫起來(lái)，我抓住時(shí)機(jī)說(shuō)：這就是雷聲隆隆。”一會(huì)兒下起了大雨，我問(wèn)： 雨下得怎樣？”幼兒說(shuō)大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握傾盆大雨”這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗誦自編的一首兒歌

12、：藍(lán)天高，白云飄，鳥(niǎo)兒飛，樹(shù)兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。 ”這樣抓住特征見(jiàn)景生情，幼兒不僅 印象深刻，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，在發(fā) 展想象力中發(fā)展語(yǔ)言。如啄木鳥(niǎo)的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀一樣，給大樹(shù)開(kāi)刀治病。通過(guò)聯(lián)想，幼兒能夠生動(dòng)形象地描述觀察對(duì)象。【答 案】18個(gè)【例6】 教書(shū)先生”恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到 晚清的學(xué)堂，教書(shū)先生”那一行當(dāng)怎么說(shuō)也算是讓國(guó)人景仰甚或敬畏的一 種社會(huì)職業(yè)。只是更早的 先生”概念并非源于教書(shū)，最初出現(xiàn)的 先生”一 詞也并

13、非有傳授知識(shí)那般的含義。孟子中的 先生何為出此言也？ ”；論 語(yǔ)中的 宥酒食，先生饌國(guó)策中的 先生坐，何至于此？ ”等等， 均指 先生”為父兄或有學(xué)問(wèn)、有德行的長(zhǎng)輩。其實(shí)國(guó)策中本身就有 先 生長(zhǎng)者，有德之稱”的說(shuō)法。可見(jiàn) 先生”之原意非真正的 教師”之意，倒 是與當(dāng)今 先生”的稱呼更接近?？磥?lái)，先生”之本源含義在于禮貌和尊稱， 并非具學(xué)問(wèn)者的專稱。稱 老師”為 先生”的記載，首見(jiàn)于禮記？曲禮， 有 從于先生，不越禮而與人言”，其中之 先生”意為 年長(zhǎng)、資深之傳授 知識(shí)者”，與教師、老師之意基本一致。在 1、2、3、42019這2019 個(gè)數(shù)中有多少個(gè)自然數(shù)a能使2019+a能被2019-a整除

14、?！究键c(diǎn)】利用整式拆分進(jìn)行分類枚舉【難度】4星【題型】解答【解析】我國(guó)古代的讀書(shū)人，從上學(xué)之日起，就日誦不輟，一般在幾年內(nèi)就能識(shí)記幾千 個(gè)漢字，熟記幾百篇文章，寫出的詩(shī)文也是字斟句酌，瑯瑯上口，成為滿腹經(jīng)綸 的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天，我們念了十幾年書(shū)的高中畢業(yè)生甚至 大學(xué)生，竟提起作文就頭疼，寫不出像樣的文章呢？呂叔湘先生早在1978年就 尖銳地提出：中小學(xué)語(yǔ)文教學(xué)效果差，中學(xué)語(yǔ)文畢業(yè)生語(yǔ)文水平低，十幾 年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語(yǔ)文是2749課時(shí)怡好是30%,十年的時(shí)間，二千 七百多課時(shí)，用來(lái)學(xué)本國(guó)語(yǔ)文，卻是大多數(shù)不過(guò)關(guān)，豈非咄咄怪事！ 尋根究底， 其主要原因就是腹中無(wú)物。特別是寫

15、議論文 ，初中水平以上的學(xué)生都知道議 論文的 三要素”是論點(diǎn)、論據(jù)、論證，也通曉議論文的基本結(jié)構(gòu) ：提出問(wèn) 題一一分析問(wèn)題一一解決問(wèn)題，但真正動(dòng)起筆來(lái)就犯難了。知道 是這樣就 是講不出為什么”。根本原因還是無(wú)米”下鍋”。于是便翻開(kāi)作文集錦之類 的書(shū)大段抄起來(lái)，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不參考作文書(shū)就很難寫 出像樣的文章。所以，詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中學(xué)生作文的 通病。要解決這個(gè)問(wèn)題，不能單在布局謀篇等寫作技方面下功夫，必須認(rèn)識(shí)到 死記硬背”的重要性，讓學(xué)生積累足夠的 米”。本題考察代數(shù)知識(shí)的綜合技巧，是一道難度較大的題目。要使得 2019+a能被2019-a整除，我們可以技巧,我們