數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及常用結(jié)論

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及常用結(jié)論、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列得基本公式通項(xiàng)公式：anai (n 1)d（從第 1 1 項(xiàng)a1開(kāi)始為等差）anam(n m)d（從第 m m 項(xiàng)am開(kāi)始為等差）anamndanam(n m)ddanamn m前n項(xiàng)與公式：Snn(aian)na1d22（2）證明等差數(shù)列得法方定義法：對(duì)任意得n n,都有an 1and（d d 為常數(shù)）an為等差數(shù)列等差中項(xiàng)法：2an1anan 2（n nN）an為等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：an= = pn+qpn+q （p p , q q 為常數(shù)且 p pz0 0）前n項(xiàng)與公式法：Snpn2qn（p p , q q 為常數(shù)）即：關(guān)于 n n 得不含常數(shù)

2、項(xiàng)得二次函數(shù)（3）常用結(jié)論若數(shù)列an，bn為等差數(shù)列，則數(shù)列ank，kgan，a.bn,ka.b（k k， b b 為非零常數(shù)）均為等差數(shù)列、若 m+n=p+qm+n=p+q (m(m, n n, p p, ,q qN) )，則a.am= =apaq、特別得，當(dāng) n+m=2kn+m=2k 時(shí)，得anam= =2ak在等差數(shù)列an中，每隔 k k（k kN）項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)得順序排列，所得得數(shù)列仍an為等差數(shù)列即：通項(xiàng)公式位 n n 得一次函數(shù)，公差dp，首項(xiàng)ajp qan為等差數(shù)列若數(shù)列an為等差數(shù)列，則記Ska1a2比，S2kSkak 1ak 2a2k,為等差數(shù)列，且公差為（k+1k+1）

3、d d（例如：a-i,a4,a7,a10仍為公差為 3d3d 得等差數(shù)2a3k，則Sk,SkSk,SkSk仍成等差數(shù)列，且公差為kd d右Sn為等差數(shù)列an得前 n n 項(xiàng)與，則數(shù)列也為等差數(shù)列、n求Sn最值得方法:QIIII :求前n項(xiàng)與Snpn qn得對(duì)稱(chēng)軸，再求出距離對(duì)稱(chēng)軸最近得正整數(shù)k,當(dāng)n k時(shí)，Sk為最值，就是最大或最小，通過(guò)Sn得開(kāi)口來(lái)判斷。二、等比數(shù)列(1)等比數(shù)列得基本公式(2)證明等比數(shù)列得法方SskS2ka2k 1a2k 2anS1,(n1)SiSi 1,(n 2)此性質(zhì)對(duì)任何一種數(shù)列都適用I I：若a100，公差 d0d0，則當(dāng)akak0時(shí)，則Sn有最大值，且Sk最大;

4、0若印0d0,則當(dāng)akak 10時(shí)，則Sn有最小值，且Sk最小;0通項(xiàng)公式：ana1qn 1(從第 1 1 項(xiàng)a1開(kāi)始為等比)n manamq(從第 m m 項(xiàng)am開(kāi)始為等差)前n項(xiàng)與公式：Sn旦Q1 qn g(q1)，Snna1,(q1)若數(shù)列an為等差數(shù)列，則記Ska1a2比，S2kSkak 1ak 2a2k,(3)常用結(jié)論定義法：對(duì)任意得n n,都有an 1qan(an0)乩q(q(q 0)0)an為等比數(shù)列an等比中項(xiàng)法:2anan 1an 1(an Qn 10 0)an為等比數(shù)列通項(xiàng)公式法:anaqn 1(a,q是不為0的常數(shù))an為等比數(shù)列若數(shù)列an，bn為等比數(shù)列，則數(shù)列，kga

5、n，an2，n1，務(wù)03anbn(k(k 為非零常數(shù)) )均為等比數(shù)列、若 m+n=p+q(mm+n=p+q(m， n n, p p, q qN*) ),貝UangPm= =apq、2特別得，當(dāng) n+m=2kn+m=2k 時(shí)，得angpm= =ak在等比數(shù)列an中，每隔 k(kk(kN) )項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)得順序排列，所得得數(shù)列仍為等若數(shù)列an為等差數(shù)列，則記三、求任意數(shù)列通項(xiàng)公式an得方法(累加法：若 an滿(mǎn)足an+i=an+f(n)利用累加法求：ana1(a2aj (a?a?) (a4a?)例題：若 a11，且 an 1an2n，求：an練習(xí)題：若數(shù)列 an滿(mǎn)足 an1an2n 10，且

6、 a10比數(shù)列，且公比為qk 1側(cè)如：a1,a4,a7,a10仍為公比3q得等比數(shù)列) )Skaia2ak，S2kS久1% 2a2k，S3kS2ka2k 1a2k 2a3k，則Sk，S2kSk，S3kS2k仍成等比數(shù)列，且公差為q(anan 1)(2(2)累乘法：若 an滿(mǎn)足 an1f (n) an利用累乘法求：anana 亞)gAQ)ga1a?a3宀)an 1例題：在數(shù)列an中，a112，an 1n 1+- an，求：an、n練習(xí)題：在數(shù)列an中，a11且annan 1，求：an(提示:1 2 3 .n n!)(3)遞推公式中既有 Sn，又有 an用逐差法Sn=1anSnSn1n 2特別注意

7、：該公式對(duì)一切數(shù)列都成立。2再求出：所以：an5n就是首項(xiàng)a511，公比 q 2 得等比數(shù)列(4)若 an滿(mǎn)足 an 1panq,( p q)，則兩邊加：x角，在提公因式p，構(gòu)造出一個(gè)等比數(shù)列，再出求:an例題：已知數(shù)列an, 滿(mǎn)足:an 12an1，且al1，求：an習(xí)題1：已知數(shù)列an滿(mǎn)足:an 13an1 且 a11 ,求:an習(xí)題2：已知數(shù)列an滿(mǎn)足:a12，且Snann，求：an(5)若 an滿(mǎn)足 an 1npanP，則兩邊同時(shí)除以：pn 1,構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列,例題：已知 an滿(mǎn)足：a11 an 12an2n1，求：an解：an 12an2n 1靜-，既有：為a2n22n 12n所

8、以：歩就是首項(xiàng)為:-得等差數(shù)列2an11n-n- (n 1)-2222習(xí)題1:已知 an 13an3n 1且印 1，求:所以：an2nn 2n1an習(xí)題 2 2：已知an 12an3 2n 1且a11，求:an(六)待定系數(shù)法：若an滿(mǎn)足以下關(guān)系:an n1kan nf n都可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)變成一個(gè)等比數(shù)列來(lái):溫馨提示：提k，對(duì) f (n)待定系數(shù)例題1：已知數(shù)列an滿(mǎn)足 an 12an3 5n，a16，求數(shù)列an得通項(xiàng)公式、解: an 1x 5n 12(anx 5n)an 12an3x5n，與原式對(duì)應(yīng)得，x 1an15n12(an5n)i 1an 15廠nan51既有：an5n2n 1an5

9、n2n例題2:已知數(shù)列an滿(mǎn)足 an 13an2n4,ai1,求數(shù)列an得通項(xiàng)公式、解：an 1x 2n 1y3(anx2ny)an 13anx 2n2y,所以:與原式對(duì)應(yīng)得:_ _n 1_an 15 22所以：an5 2n既有：an5 2n顛倒法：若anan 1C ananan 1anx 5, y3(an5 2n2)an 1an5 2n 125 2n22 就是首項(xiàng)為:a15 21213，公比 q 3 得等比數(shù)列13 3n1滿(mǎn)足：an 1an 1anCC ananan13 3n15 2n先，用顛倒法;anC 1C anC anCan例題1:已知例題2:已知丄，所以:Can 12 anan2an

10、 1an（八）倒數(shù)換元法1 BanCan 1A an然后再用兩邊加:例題：若數(shù)列an解:an 12anan3就是以首項(xiàng)為：丄，公差ana1-得等差數(shù)列C，且ai3an3an1:若數(shù)列C 丄旦A anA2，求：an，且a11，求:an滿(mǎn)足：或者待定系數(shù)法既可求出P 1滿(mǎn)足:an 1an1，求:anan 1anBanC則顛倒變成，再顛倒就可得到:anan3an 121，兩邊加:an21得:an 13 丄2 an1法同上;(1)錯(cuò)位相減求與主要適用于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積得數(shù)列得前n項(xiàng)與；或者就是等差與 等比得商得前n項(xiàng)與；(就是商得時(shí)候，適當(dāng)轉(zhuǎn)變一下就變成了乘積形式)。既:設(shè) an為等差數(shù)列，bn

11、為等比數(shù)列，求：anbn或亞得前 n n 項(xiàng)與常用此方法(色都轉(zhuǎn)變?yōu)閎n乘積形式)n 項(xiàng)與 Tn(2n 1)3n 1(2)裂項(xiàng)相消求與1an 12（-an1）丄 1an 11所以:an既有:1an若用待定系數(shù)法:an1就是首項(xiàng)為:2（3）n 112（2） aan2anan3an 13 丄2 ana112，公比:13an 12an 1anan32 anq -得等比數(shù)列;22nan 1|（）11X與原式子對(duì)應(yīng)得x 1，然后得方2習(xí)題：已知 3an 1an2an 1an且 a11， 求:an四、求前n項(xiàng)與Sn得方法bn例題1:已知數(shù)列 an2n，數(shù)列bn得前 n 項(xiàng)與 Sn2n，求數(shù)列anbn得前例

12、題2: 求數(shù)列 an3n 1得anbn得前 n 項(xiàng)與 Sn2n習(xí)題1: 求: Sn23227 23. （3n 2）2n習(xí)題 2 2：設(shè)數(shù)列an，求an得前 n n 項(xiàng)與Sn例題：求數(shù)列 an侖)得前n項(xiàng)與 Sn適用于an-得形式，變形為：ann (n k)n (n k)例題：求數(shù)列 an侖)得前n項(xiàng)與 Sn(3)、分組法求與：有些數(shù)列就是與可以分成幾部分分開(kāi)求，在進(jìn)行加減;例題：求an3n 2n1得前n與Sn？習(xí)題 1 1:已知an就是一個(gè)遞增得等差數(shù)列且a2a445,務(wù)as14 , a.前 n n 項(xiàng)與為&數(shù)列bn22n 1得前 n n 項(xiàng)與為Sn，求數(shù)列Cnan2bn得前 n n 項(xiàng)與Tn(3)、倒序求與：若akan