梁彎曲內(nèi)力及強(qiáng)度計(jì)算

1、第6章 梁彎曲內(nèi)力及強(qiáng)度計(jì)算§6-1 彎曲切應(yīng)力梁受橫彎曲時(shí)，雖然橫截面上既有正應(yīng)力 ，又有剪應(yīng)力 。但一般情況下，剪應(yīng)力對(duì)梁的強(qiáng)度和變形的影響屬于次要因素，因此對(duì)由剪力引起的剪應(yīng)力，不再用變形、物理和靜力關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，而是在承認(rèn)正應(yīng)力公式（6-2）仍然適用的基礎(chǔ)上，假定剪應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件導(dǎo)出剪應(yīng)力的計(jì)算公式。1矩形截面梁對(duì)于圖6-5所示的矩形截面梁，橫截面上作用剪力Q。現(xiàn)分析距中性軸z為y的橫線aa1上的剪應(yīng)力分布情況。根據(jù)剪應(yīng)力成對(duì)定理，橫線aa1兩端的剪應(yīng)力必與截面兩側(cè)邊相切，即與剪力Q的方向一致。由于對(duì)稱的關(guān)系，橫線aa1中點(diǎn)處的剪應(yīng)力也必與Q的方向

2、相同。根據(jù)這三點(diǎn)剪應(yīng)力的方向，可以設(shè)想aa1線上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向皆平行于剪力Q。又因截面高度h大于寬度b，剪應(yīng)力的數(shù)值沿橫線aa1不可能有太大變化，可以認(rèn)為是均勻分布的?；谏鲜龇治觯勺魅缦录僭O(shè)：1）橫截面上任一點(diǎn)處的剪應(yīng)力方向均平行于剪力 Q。2）剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布?；谏鲜黾俣ǖ玫降慕猓c精確解相比有足夠的精確度。從圖6-6a的橫彎梁中截出dx微段，其左右截面上的內(nèi)力如圖6-6b所示。梁的橫截面尺寸如圖6-6c所示，現(xiàn)欲求距中性軸z為y的橫線aa1處的剪應(yīng)力 。過aa1用平行于中性層的縱截面aa1cc1自dx微段中截出一微塊（圖6-6d）。根據(jù)剪應(yīng)力成對(duì)定理，微塊的縱截面上存在均勻

3、分布的剪應(yīng)力 。微塊左右側(cè)面上正應(yīng)力的合力分別為N1和N2，其中N1=IdA=A*My1M*dA=Sz *IzIzA（a）N2=IIdA=A*(M+dM)y1(M+dM)*dA=Sz (b) *IzIzA*II)為面積A中距中性軸式中，A為微塊的側(cè)面面積，I(為 y1處的正應(yīng)力，Sz=*AydA。 1*由微塊沿x方向的平衡條件x=0，得N1+N2bdx=0 （c）將式（a）和式（b）代入式（c），得dM*Szbdx=0 Iz*dMSz故 = dxbIz因dM=Q,=，故求得橫截面上距中性軸為 y處橫線上各點(diǎn)的剪應(yīng)力為 dx*QSz= （6-3） bIz式（6-3）也適用于其它截面形式的梁。式中

4、，Q為截面上的剪力； Iz為整個(gè)截面對(duì)中性軸z的慣性矩；b為橫截面在所求應(yīng)力點(diǎn)處的寬度；Sy為面積A對(duì)中性軸的靜矩。對(duì)于矩形截面梁（圖6-7），可取dA=bdy1，于是hy*S=y1dA=A*zbh2by1dy1=(y2) 24這樣，式（6-3）可寫成Qh2(y2) =2Iz4（圖6-7b）。上式表明，沿截面高度剪應(yīng)力 按拋物線規(guī)律變化在截面上、下邊緣處，y=±h,=0；在中性軸上，z=0，剪應(yīng)力值最大，其值為 23Q （6-4） max=2A式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪應(yīng)力是其平均剪應(yīng)力的倍。2圓形截面梁在圓形截面上（圖6-8），任一平行于中性軸的橫線aa1兩端處，剪應(yīng)力的方

5、向必切于圓周，并相交于y軸上的c點(diǎn)。因此，橫線上各點(diǎn)剪應(yīng)力方向是變化的。但在中性軸上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向皆平行于剪力Q，設(shè)為均勻分布，其值為最大。由式（6-3）求得max=式中A=4Q （6-5） 3A4d2，即圓截面的最大剪應(yīng)力為其平均剪應(yīng)力的倍。 3工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼緣組成。式（6-3）的計(jì)算結(jié)果表明，在翼緣上剪應(yīng)力很小，在腹板上剪應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化，如圖6-9所示。最大剪應(yīng)力在中性軸上，其值為maxQ(Sz)max= dIZ式中（Sz）max為中性軸一側(cè)截面面積對(duì)中性軸的靜矩。對(duì)于軋制的工字鋼，式中的鋼表中查得。計(jì)算結(jié)果表明，腹板承擔(dān)的剪力約為（0.950.97）

6、Q，因此也可用下式計(jì)算max的近似值 Iz*(Sz)max可以從型maxQ h1d式中h 1為腹板的高度，d為腹板的寬度。§6-2 彎曲強(qiáng)度計(jì)算根據(jù)前節(jié)的分析，對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí),主要考慮彎矩的影響，因截面上的最大正應(yīng)力作用點(diǎn)處，彎曲剪應(yīng)力為零，故該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)。為保證梁的安全，梁的最大正應(yīng)力點(diǎn)應(yīng)滿足強(qiáng)度條件max=Mmaxymax （6-6） Iz式中為材料的許用應(yīng)力。對(duì)于等截面直梁，若材料的拉、壓強(qiáng)度相等，則最大彎矩的所在面稱為危險(xiǎn)面，危險(xiǎn)面上距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。此時(shí)強(qiáng)度條件（6-6）可表達(dá)為max=式中 Mmax （6-7） WzWz=Iz （6-8） ymax

7、稱為抗彎截面系數(shù)（或抗彎截面模量），其量綱為長(zhǎng)度3。國(guó)際單位用m3或mm3。對(duì)于寬度為 b、高度為 h的矩形截面，抗彎截面系數(shù)為=bh （6-9） Wz=h26直徑為 d的圓截面，抗彎截面系數(shù)為 bh32Wz=d4=d332 （6-10）內(nèi)徑為 d，外徑為 D的空心圓截面，抗彎截面系數(shù)為D4Wz=(1)4=D332d(1)， =D （6-11） 4軋制型鋼（工字鋼、槽鋼等）的 Wz可從型鋼表中查得。對(duì)于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度相差甚大，所以要對(duì)最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)分別進(jìn)行校核。根據(jù)式（6-7），可以解決三類強(qiáng)度問題，即強(qiáng)度校核，截面設(shè)計(jì)和許用載荷計(jì)算。需要指出的是，對(duì)于某些特殊情形，如梁的跨度較小或載荷靠近支座時(shí)，焊接或鉚接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力較差（木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層）等，還需進(jìn)行彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。等截面直梁的max一般發(fā)生在 Q