初三幾何4角平分線輔助線.拔高(2014-2015)教師(共24頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 2015年中考解決方案角平分線輔助線拔高學(xué)生姓名：上課時(shí)間：2014.角平分線輔助線拔高自檢自查必考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一 角平分線性質(zhì)（1）角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；（2）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上（3）天然的軸對(duì)稱模型，三線合一模型知識(shí)點(diǎn)二 角平分線輔助線秘籍一：往角兩邊作垂線解讀：用角平分線上的點(diǎn)往角兩邊作垂線，這是常用的輔助線，可以利用邊角邊構(gòu)造全等 秘籍二：往角兩邊截取相等的線段解讀：在角兩邊截取相等的線段，這也是角平分線常用的輔助線，常用于解決線段和差問題 秘籍三：過角平分線上的點(diǎn)作垂線解讀：過角平分線上的點(diǎn)作垂線，常用于構(gòu)造三線合一，構(gòu)造等腰三

2、角形 秘籍四：過角平分線上的點(diǎn)作角一邊的平行線解讀：可以構(gòu)造等腰三角形，可以記作口訣：“角平分線+平行線，等角三角形現(xiàn)。 總結(jié)：往角兩邊作垂線或平行線、及截取等線段，或用四點(diǎn)共圓知識(shí)點(diǎn)三 角平分線模型模型一 兩角平分線相交模型解讀：這些是三角形角平分線的經(jīng)典題型，必須讓學(xué)生掌握這些證明過程類型一：在中，如圖1，為和的角平分線，與為 推理方法：如圖，可得，化簡(jiǎn)可得類型二：如圖2，為和的角平分線，求與之間的關(guān)系為推理方法：如圖，可得，化簡(jiǎn)可得類型三：如圖3，為和的角平分線，則與之間的關(guān)系為推理方法：如圖，化簡(jiǎn)可得模型二 對(duì)角互補(bǔ)模型條件：，AOB+DCE =180結(jié)論：難度較大，記得經(jīng)常復(fù)習(xí)（慶功

3、獨(dú)家提供，見幾何小秘籍）中考滿分必做題【練1】 在中，平分，為垂足，為的中點(diǎn)，求證： 【答案】延長(zhǎng)交于，則得，所以為中點(diǎn)，所以，所以含有角平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸作出全等三角形【練1】如圖所示，在中，為的中點(diǎn)，是的平分線，若且交的延長(zhǎng)線于，求證 【答案】題目中有角平分線和垂直的條件，因此可以考慮將圖形補(bǔ)成等腰，之后再證明是的中位線即可如圖所示，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，在和中，故，從而，而，故是的中位線，從而【練2】 如圖，在中，、分別是、的平分線，求證：【答案】如圖，作，交于，交于為等腰三角形，且平分為中點(diǎn)，且平分，且為等腰三角形，且為的中點(diǎn)又，且為中點(diǎn)，即可以發(fā)現(xiàn)四邊形為矩形，于是【練3】

4、 在中，的平分線交于，過作，為垂足，求證： 【答案】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過作交于，容易證得，且為 之中點(diǎn)，故易得【練1】如圖所示，在中，是的平分線，是的中點(diǎn)，且交的延長(zhǎng)線于，求證 【答案】如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連接、因?yàn)?，故，則因?yàn)?，故因?yàn)椋室驗(yàn)?，故因?yàn)槠椒?，故在和中，故，從而，因此【點(diǎn)評(píng)】實(shí)質(zhì)上，本題還是利用了“見到角平分線，考慮對(duì)稱圖形”的思想【練2】如圖，在中，是角平分線，垂足為求證：【答案】如圖，延長(zhǎng)交于于因?yàn)?，所以于是因?yàn)?，所以【?】如圖，已知，求證：【答案】解法一：如圖，取的中點(diǎn)，連接、，公共，解法二：如圖，延長(zhǎng)到，使，公共，是等腰三角形底邊上的中線，解法四：如圖，取、的中點(diǎn)、，

5、連接、，故，而，公共，是直角三角形【練4】 如圖，在中，的平分線交于，過作，垂足為，求證：【答案】解法一（角分線加中位線）：如圖，延長(zhǎng)、交于，過作，交于，則，解法二（角分線加中位線）：如圖，延長(zhǎng)、交于，過作交于，故有，解法三（直角三角形斜邊中線）：如圖，取的中點(diǎn)，連接交于，則是斜邊上的中線，故，有，故是的重心為的中線，故解法四（角平分線定理與面積比例）：如圖，延長(zhǎng)、交于，而，平分，故，【練1】是的角平分線，交的延長(zhǎng)線于，交于求證：【答案】由“角平分線+垂直”聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”，故恢復(fù)等腰三角形延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證得，所以為的中點(diǎn)，又，所以為的中位線，故這道題目是典型的“補(bǔ)圖”，

6、凸顯題目中的條件【練2】如圖所示，是中的外角平分線，于，是的中點(diǎn)，求證 且 【答案】如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連接在和中，故，從而、三點(diǎn)共線，且是的中點(diǎn)，是的中位線，故，且【練3】如圖所示，在中，平分，于，求證 【答案】如圖所示，延長(zhǎng)、相交于取的中點(diǎn)，連接，則，故，則容易證明，故因此【練5】 已知在中，的平分線交于，交邊上的高于，過作交于，求證：【答案】解法一：如圖，由向作垂線，垂足為，連接又，公共，又，故，而，為平行四邊形，故又，而，故，而，解法二：如圖，作，交于，又，而，故，又，即解法三：如圖，過作，垂足為過作，垂足為又，又，而，故解法四：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，過作交于，顯然，又，公共，顯然

7、為平行四邊形，由另證1可知，故【練1】如圖所示，在中，于，的角平分線交與，交于，平行于交于，則_【解析】角平分線、直角過作垂直交于點(diǎn)，易證；由角度分析易知，即；則有；又可證，則，則【答案】4【練2】如圖，在中，平分交于，于交于，交于，連接求證：【答案】先證，再證【練2】如圖所示，在中，于，平分，交于，交于，在上取，連接，證明：是直角三角形【答案】過做垂直于；由角的關(guān)系易得，即；易證；，；綜合得到，得證【練3】在直角三角形中，的平分線交于自作交于，交于自作于，求證：【答案】解法一(四點(diǎn)共圓+垂徑定理)：如圖，4點(diǎn)共圓，又，故解法二（證菱形）：如圖，連接是的平分線，四邊形是菱形解法三（三線合一）：

8、如圖，公共，是的中垂線，故解法四（截長(zhǎng)補(bǔ)短）：如圖，延長(zhǎng)交于，連接，顯然，又，4點(diǎn)共圓，為等腰梯形，為等腰三角形，而，【拓展】如圖，在中，是斜邊上的高，是的平分線，交于，于，求證：【答案】解法一：如圖，過作，交于，垂足為，連接，是的中垂線又，是菱形（對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形），解法二：如圖，過作，而，故，中考真題拔高注：中考題和模擬題的幾何壓軸題經(jīng)常把角平分線的基本性質(zhì)和對(duì)稱性，和垂直平分線基本性質(zhì)結(jié)合起來考?？梢愿鶕?jù)全等得到角等推出對(duì)角互補(bǔ)，從而推導(dǎo)出四個(gè)角相等，經(jīng)常和相似結(jié)合起來出相似比，也會(huì)和圓結(jié)合起來考?！揪?】 已知，是的平分線將一個(gè)直角的直角頂點(diǎn)在射線上移動(dòng)，點(diǎn)不與點(diǎn)重合

9、.（1）如圖，當(dāng)直角的兩邊分別與射線、交于點(diǎn)、時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖，在（1）的條件下，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，且，求的值；（3）若直角的一邊與射線交于點(diǎn)，另一邊與直線、直線分別交于點(diǎn)、，且以、為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)畫出示意圖；當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng).（09年昌平一模） 【答案】（1）與的數(shù)量關(guān)系是相等過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)，易得，而，是的平分線，又， （2），又，（3）如圖1所示，若與射線相交，則； 如圖2所示，若與直線的交點(diǎn)與點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)，則 【練7】 （1）如圖1，為的角平分線，于，于，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求與的面積的比值；（2）如圖2，分別以的邊、為邊向外作等邊三角形和等邊三

10、角形，與相交于點(diǎn)，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在四邊形中，已知，且，對(duì)角線平分，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系.（10年昌平二模）【答案】（1）解：如圖1所示. 為的角平分線，于，于， , , ，.（2）答：與的數(shù)量關(guān)系為 相等 證明：如圖2，過點(diǎn)作于, 于,和都是等邊三角形，, , ,點(diǎn)在的角平分線上（3）答：【練8】 已知， 點(diǎn)P是MON的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線PA交射線OM于點(diǎn)A，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B，且使APB+MON=180.（1）利用圖1，求證：PA=PB；（2）如圖2，若點(diǎn)是與的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求PB與PC的比值；（3）若MON=60，OB=2，射線AP交ON于點(diǎn)，

11、且滿足且，請(qǐng)借助圖3補(bǔ)全圖形，并求的長(zhǎng).圖2圖1圖3 (2011昌平一模) 【答案】（1）在上截取，連接， 又 ， （2）且 ， （3）作交于， 且平分 在中 ，在中， 【練9】 已知：如圖，為銳角，平分，點(diǎn)，點(diǎn)分別在射線和上， . （1）若點(diǎn)在線段上，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，直線交直線 于點(diǎn)，求證：； （2）若（1）中的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上，（1）中的其它條件不變，猜想 的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論. （1）證明： 備用圖1 備用圖2 （2） (2014年1月西城八年級(jí)期末試題附加題)【練10】 已知和關(guān)于直線對(duì)稱(點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn))，點(diǎn)、分別是線段和線段上的點(diǎn)，且點(diǎn)在線段的垂直平分線上，聯(lián)

12、結(jié)、，交于點(diǎn) （1）如圖（1），求證：； （2）如圖（2），當(dāng)時(shí)，是線段上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論圖（1） 圖（2） (2014年1月豐臺(tái)九年級(jí)期末試題)【答案】 (1)證明：如圖1 連接點(diǎn)在線段的垂直平分線上, 和關(guān)于直線對(duì)稱 圖1(2)解：證明：如圖2，由(1)可知 AB=AD ADB=ABD=EAF 圖2，設(shè)，則過點(diǎn)F作FQED交AE于Q， GQ=EG=QE=， MQ=MG+GQ=3k+=FQED，.FM=FN【練11】 在中，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段。 （1） 若且點(diǎn)與點(diǎn)重合（如圖1），線段的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出的度數(shù)； （2） 在圖2中，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，線段的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn)，猜想的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明； （3） 對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)，重合）時(shí)，能使得線段的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的范圍。 (2012年北京中考試題)【答案】（1）補(bǔ)全圖形，見圖1； ； （2）猜想：. 證明：如圖2，連結(jié). 是的中點(diǎn)， . 點(diǎn)在直線上， . 又為公共邊， . 又， . 在四邊形中，. （3）的